2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题三（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题三（含解析），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题三
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知为等差数列，为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：；
（3）对任意的正整数，设求数列的前项和．
随堂练习：已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
典例2、在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和；
（3）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最小值．
随堂练习：已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
（1）求的通项公式；
（2）已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
典例3、已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列，，求前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比
数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求正整数的值；
（3）记，求数列的前项和．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例4、已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，．
（1）求；
（2）记，求数列的前2n项和．
随堂练习：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例5、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列满足：，求数列的前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，
．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若设的前项和为，求．
典例6、已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的通项，求数列的前n项和．
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．
人教A版数学--数列专题三答案
典例1、答案：（1），；（2）证明见解析；（3）.
解: (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1. 从而的通项公式为.
由， 又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(2)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而， 所以.
(3)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
随堂练习：答案： （1），； （2）； （3）．
解：（1）依题有,因为，解得：
．数列是等差数列,设其公差为,，解得：.
（2）数列与数列都是递增数列, ,
,,
新数列的前50项和为:.
（3）∵，
设 ,
，
，
两式相减有
,
∴. ∴
.
.
典例2、答案：（1） （2） （3）9
解：（1）设公差为，则，解得，
所以；
（2）由题意，所以，
；
（3）由（1），
，，
相减得，
，由，得，
令，则，
设， 则，
当时，，
当时，，即，
当时，，
，，， 所以当时，，当时，，
当时，递减，当时，递增，
，，， 因此当时，，当时，，
所以满足的的最小值是9，即的最大值是9．
随堂练习：答案： （1） （2）（i）Tn；（ii）证明见解析
解：（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，
偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）（i），
，
；
（ii）， ，则；
（时等号成立） 当时，
设，
；
综上，当时，.
典例3、答案：（1） （2） （3）
解：（1）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
（2），所以，， 所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
（3）由题意可得，，
所以，
.
随堂练习：答案：（1），； （2）4； （3）.
解：（1）依题意，，解得，则，
设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，
有，而，解得，，
所以数列和的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，，，
依题意，，整理得，而，解得，
所以正整数n的值是4.
（3）由（1）知，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，，
，
数列的前项和.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，所以①，
又是等比数列， 所以，
因为，所以②，
又，故由①②联立解得，
又是等差数列，所以 为定值，即为定值，
故为等比数列，首项，公比， 所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
即是以1为首项，4为公差的等差数列，
令，则，
记的前n项和为， 所以，
数列数列的前2n项和为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设公差为，则，即，
因为，，成等比数列，所以，
即，整理得，
因为所以，代入，解得， 所以.
（2）,
所以
.
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，
所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，
偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.
.
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
或是正项等比数列， ， ．
（2）由（1）知， ，
．
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）设数列的公比为q，
因为，即，得，解得或，
当时，，不合题意，舍去，所以，
由，解得，所以，
对于，因为①，
当时，，则，
当时，②，
由①－②得，即，
又，也适合上式，故，，
采用累乘法求通项得， 所以．
（2）由（1）可得：，则，
则数列的前n项和，
①当为偶数，时，
采用分组求和：，
， 所以；
②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，
此时，
当时，，也适合上式， 所以.
综上所述，．
随堂练习：答案：（1） （2）2150
解：（1）依题意， 当时，，解得，
由， 当时，有，
作差得：， 所以，
因为， 所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以.
（2）由（1）得，， 又，同时， 所以
所以
．
所以的前50项和为2150．