2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十（含解析），共14页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题十
知识点一 等比中项的应用,裂项相消法求和,分组（并项）法求和,等差数列通项公式的基本量计算
典例1、记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
典例2、已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求.
随堂练习：已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）设是数列的前项和，求．
典例3、已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和
典例4、已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
随堂练习：已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.
①，；②；③. 从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
（1）求； （2）求数列的前项和.
典例5、在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求； （2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
随堂练习：设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和．
参考公式：．
典例6、在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足__________，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和．
随堂练习：已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
（1）求； （2）若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
人教A版数学--数列专题十答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当且时，，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）得：，
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
典例2、答案： （1）； （2）.
解：（1）设的公差为，则
∴，∵，∴，
∴的通项公式为.
（2）由（1）得，
.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题，可得，
又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）可得，
∴．
典例3、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，当时，，
当时，由， 可得，
两式相减， 可得，
化简整理，得， 也满足上式，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，．
（2）由（1），可得，
则
．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）∵，，成等差数列，
∴， ∴，
设数列的公差为， ∴， ∴，
∵，解得：，
∵， ∴，，
∴；
（2）∵，
∴数列的前n项和为．
典例4、答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）∵，则，即
故数列是首项和公差都为2的等差数列， ∴，即
（2）选①：
∵，
∴.
选②：
∵，则有：
当时，；
当时，； ∴.
选③：
∵，
∴.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）选①
因为，所以当为奇数时，；
同理，当为偶数时，. 所以.
选②
因为，（*）所以当时，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以数列是首项为1的常数列， 所以.
选③
因为，所以，
所以数列是首项为的常数列，
所以，所以当时，.
当时，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为， 则有：，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，所以，又，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
所以，所以．
若选择条件②：因为，所以．
当时，，整理得，，
所以， 累乘得，，
当时，，符合上式， 所以．
若选择条件③：因为，所以，即，
所以，所以数列为常数列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，结合参考公式
可得
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）.
解：（1）若选①：数列的前n项和.
当时，，
当时，，上式仍成立， ∴的通项公式为．
若选②：且，.
由可得，所以是和的等差中项，
所以是等差数列.
设公差为，则由，可得，所以.
所以的通项公式为．
（2）设的公比为. 由（1）知，
又，所以， 即，又，所以，
所以，的通项公式为.
则，
所以
．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为
选择①：由题意得，
故，解得， 所以.
选择②：由题意得，即
解得， 所以.
选择③：由题意得，
故，解得， 所以.
（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为
，
由当为偶数时，，
得数列的前项中偶数项的和为：
，
故.