2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题二（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题二（含解析），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和；
（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
随堂练习：已知数列{}的前n项和满足：．
（1）求数列{}的前3项；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和．
典例2、已知数列中，．
（1）证明：数列和数列都为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
随堂练习：在数列中，，
（1）设，求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
典例3、已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和.
（3）已知数列，，若数列的前项和为，求证：.
随堂练习：已知数列的前项和，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和；
（3）若存在，使得成立，求实数的最小值．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项
典例4、已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）-若数列的前项和为，求证：
随堂练习：已知为等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若为的前项和，求.
典例5、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）设 ，数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知正项数列满足，且，设.
（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
典例6、已知数列的前项和满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）数列，，满足，，且，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．
人教A版数学--数列专题二答案
典例1、答案：（） （2） （3）最大值为，最小值为
解：（1）因为点在函数的图像上，所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
（2）解法1：，
==，
解法2：， ①
， ②
①-② 得 ， ；
（3）
记的前n项和为，
则=，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析； （3）.
解：（1）当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
（2）由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，=
令，
①
②
则①②得
，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
典例2、答案： （1）证明见解析. （2） （3）.
解：（1）由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
则， 所以
，
也符合上式， 所以.
（3），
令， ，
两式相减得 ，
所以.
所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）由条件可知：，， ，
，；
（2）由第（1）问可知，，
当时，， 当时，， 当时，，
当时，，
以上各式相加，得，
，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，
设数列的通项公式，前项和为，
，
两式相减，得，
，
数列的前项和.
典例3、答案： （）1（） （2） （3）证明见解析.
解：（1）解：因为数列是等差数列， 所以，．
依题意，有，即 解得，．
所以数列的通项公式为（）．
（2）由题意：，
∴
（3）证明：由（1）可得．所以，
．
因为，所以．
因为，所以数列是递增数列．
所以．所以．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当时，，
当时，， 两式相减并化简得（），
当时，上式也符合， 所以.
（2）数列满足，，
则，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，
所以，
设数列满足，且前项和为，
,,
两式相减得，
所以.
设数列满足，则的前项和，
所以.
（3）依题意，存在，使得成立，
，则只需求的最小值.
，
当或时，取得最小值为. 所以的最小值为.
典例4、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由已知，时，，
与已知条件作差得： 所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所
.得证.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）∵. ∴，
∴， ∴；
当时，满足上式， 所以；
（2）由（1）可得，
∴.
典例5、答案： （1）；，；（2）.
解:（1）

即有，
上式对也成立，则；
为公比设为的等比数列，，．
可得，，则，即，，；
（2），
前项和为，
， 即，可得递增，则的最小值为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
因为， 所以，
所以，且，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即，
即，可得，，
所以时，，
即， 而此时时，，
所以；
（2）由（1），所以，
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）
解：（1）由题意知，，
两式相减得，， 故，，
两式相减得，
即，可知数列为等差数列，
又，则，解得，
又因为，所以，等差数列的公差，故．
（2）由题易知，又因为，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因为，所以，，
当时，也符合，所以，，则，
．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3），证明见解析．
解:（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an， 当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），
又a1=1≠0，则an≠0，所以，
可得， 累乘得n≥2时，，
n=1时，a1=1也满足上式， 所以数列的通项公式为an=n．
（2）设，
则=
=，
所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， 所以，即．
（3），
则Tn=c1+c2+c3+…+cn=
=
所以．