2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十三（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十三（含解析），共13页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题十三
知识点一 写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例1、在数列中，，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求．
随堂练习：已知数列各项均为正数，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求．
典例2、已知数列的前n项和分别是，若
（1）求的通项公式；
（2）定义，记，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，求数列的前n项和为．
典例3、数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和．
随堂练习：已知数列满足，
（1）令，求，及的通项公式；
（2）求数列的前2n项和.
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解）
典例4、已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．
随堂练习：已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
典例5、已知数列的首项，且满足N*）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若＜100，求满足条件的最大正整数n．
随堂练习：已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
典例6、已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式和；
（2）若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，.
（1）数列的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项.
人教A版数学--数列专题十三答案
典例1、答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以
即数列是以首项为，公比为的等比数列
故，即
（2）
随堂练习：答案： （1）； （2）20.
解：（1）由得：，而，
因此，即数列是首项，
公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，则有，
所以.
典例2、答案：（1）， （2）
解：（1）由，可得
所以是以为首项，以为公比的等比数列
所以，即
又，所以
所以
（2）满足上式，所以
由
当时，；当时，
所以，所以
当时，
当时，
综上，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）当时，，则，令，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，从而；
（2）因为，
所以
．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），两式相除得：，
当时，
，
当时，
，
综上所述，的通项公式为：
（2）由（1）知：
数列的前20项和：


随堂练习：答案： （1），， （2）
解：（1）由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
典例4、答案： （1）, （2）
解：（1）因为数列的前n项和为， 所以当时，；
当时，，
满足上式，故.
所以，从而,化为，
又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且，
又，解得或（舍），从而.
（2）不等式转化为，即，
记，，
当时，，从而单调递减，所以.
因此使不等式成立的所有正整数组成的集合为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
所以，又， 所以， 所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
， ，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又 所以
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）， ，
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，
，
若，则，
令，所以在上单调递增，
且， 所以满足条件的最大正整数．
随堂练习：答案： （1），；（2）或.
详解:（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得， 因为，故或.
典例6、答案： （1）， （2）
解：（1）为等差数列，且，，即，
又公差，．，
所以，．
（2），，
，①
，②
①②得
，
，， ，
，且， 时，，
又，时，，
存在，使得对任意，总有成立．
，， 实数的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题设，，可得，
所以.
（2）由（1）知：，
若使为数列中的项，则必须为整数且m为正整数，
因此得或，
当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去；
当时，，符合题意， 所以.