2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十四（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十四（含解析），共13页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题十四
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解）
典例1、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.
（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；
（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.
随堂练习：设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值．
典例2、在数列中，已知，()．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．
随堂练习：已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
典例3、已知数列的前n项和，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．
随堂练习：已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式．
（2）的前多少项和最大？
（3）设，求数列的前n项和.
随堂练习：已知数列满足，设.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
典例5、已知数列的前项和为，点在直线上．
（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；
（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知等差数列的前n项和为.
（1）若数列为等差数列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范围.
典例6、已知数列的前项和为，，______.指出、、…中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，，当且时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
人教A版数学--数列专题十四答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2）．
解:（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵， 所以，是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，， ∴．
当时，，
∵，所以，的通项公式为．
∴，，，，，．
当时，，即，
也就是说，数列从第项起，是递减数列．
所以，实数的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意得： 设数列的公比为．由，得
，即
成等差数列
，即，解得，或（舍去）
．
（2）由，当时，，两式相减得，，
对也成立 所以
设
当n为奇数时，可递减数列，所以
当n为偶数时，为递增数列，所以
所以的最小值为4．
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）10．
解:（1）证明：由，得，从而，
∴，又， 故数列为等比数列；
（2）解：由（1）得，故，
∴，
，
令，则，解得，
∵， ∴．
故使得的整数n的最小值为10；
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最小值为.
解: （1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为
典例3、答案：（1）证明见解析；（2）n的最大值为4．
解:（1）证明：∵，
∴当时，，即，
当时，，则，整理得，
∵，即．
当时，，又 ∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
（2）由（1）得， ∴．
∴
∴
由，得，故， ∴n的最大值为4．
随堂练习：答案：（1）；
（2）正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2).
解：（1）依题意，有，代入，
得，解得，所以，
设等比数列的公比为q，则， 解得或.
又单调递减，所以，，于是．
（2）由（1）知，，所以．
则
因为，所以又，
所以，所以m=1，2．
当m=1时，由，解得n=1；
当m=2时，由，解得n=1，2．
综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2)．
典例4、答案：（1） （2）前16项或前17项的和最大 （3）
解：（1）因为，当时，
当时，所以，
经检验当时也成立，所以；
（2）令，即，所以，
故数列的前17项大于或等于零．
又，故数列的前16项或前17项的和最大．
（3）由（2）知，当时，；
当时，，
所以当时，．
当时，
．
故．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以，由，
所以，且，
所以数列以为首项，以1为公差的等差数列， 所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以当或时取得最小值，且
典例5、答案：（1），， （2）-15
解：（1），则， 当时，；当时，；
而，∴，.
（2），当时，，当时，，
故.
随堂练习：答案：（1）；（2）或.
解: （1）∵数列为等差数列，设其公差为，
∴， ∴，
∴当时，
当时也应成立，此时，故
此时，.
（2）∵为等差数列，首项为，
∴，，
∴， ∴，
整理得，，
上述方程对有解，故， ∴.
典例6、答案： ①②均能得到最大.
解: 因为，故， 故.
当时，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，故，也即是
故，所以为等差数列.
若选①，
因为，，故，
故，，故最大.
若选②，则，故，解得，
故，故，故最大.
随堂练习：答案： （1）；（2）不存在.
解：（1）当且时，有，可得，
由，满足该式，
可得当时，有，平方后可得
当且时，有
可化为 有
由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
有 故数列的通项公式为
（2）由题意有
又由（1）可知
有
由，有，，有
可得
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.