2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题四（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题四（含解析），共18页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题四
知识点一 数列新定义
典例1、对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
（1）已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
随堂练习：已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
典例2、已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
随堂练习：已知无穷数列满足：①；②（；
；）.设为所能取到的最大值，并记数列.
（1）若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）若，求数列的前100项和.
典例3、对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
（1）若序列为1，2，3，求；
（2）若序列为1，2，…，n，求；
（3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
随堂练习：若数列满足，则称为E数列.记
.
（1）写出一个满足，且的E数列；
（2）若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例4、设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，且满足．设
，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
典例5、设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，.
（1）求数列，的通项公式；（用字母a表示）
（2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满
足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
典例6、若数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
人教A版数学--数列专题四答案
典例1、答案：（1）①；②证明见解析 （2）
解：（1）①因为，，且，，，所以，的取值范围是；
②由题意可得， 则，即，
假设当时，，
则当时，，即，
所以，对任意的，，
所以，，，
即存在，使得， 所以，数列是“拟等比数列”.
（2）因为，，，
即，所以，
即，且有，
因为，则，所以，，
又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.
①当时，此时， 所以，，
因为，则，
因为数列在时单调递减，故， 而；
②当时，，则，
由，则，
因为数列在时单调递减，故.
由①②可得，即的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析.
解：（1）因为，所以． 所以，
所以， ， 所以，
因为， 所以数列是等比数列， 所以数列的前项和为：；
（2）由题意可知，， 所以，
所以．所以 ， 所以，
由“生成数列”的定义可得， 所以．
累加可得.
（3）由题意知．由（2）可知．
① 当时，得，即， 所以， 所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾, 所以，即.
取，当时， ，显然是等比数列,
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
典例2、答案： （1），； （2）； （3）所有可能值为.
解：（1）由题设，，，，则，
，，，则， 所以，.
（2）若数列任意两项均不相等，
当时； 当且时，，
又，， 此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则， 当，则，不合要求；
当，则，满足题设； 综上，.
（3）由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理， 所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故， 综上，.
随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2） 因为，所以，所以或. 因此.
当时， 且同时成立，此时.
当时，
且同时成立，此时矛盾. 综上，.
（3）因为， 所以. 所以.
由知，. 事实上，当时，
与同时成立， 所以，从而.
猜想数列：1，2，4，5，7，8，，
即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A：的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当时结论成立. ②假设时结论成立，则当时，
当时，此时，
由于； ；
上面各式均成立，此时有.
当时，此时， 由于；
；
上面各式均成立，此时有.
综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列的前100项和为：.
典例3、答案： （1） （2） （3）充分不必要条件
解：（1）序列为1，2，3，，，，即8，．
（2）时，
时，．
时，，
时，，，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，
所以． 由序列为1，2，，，可得．
（3）序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
随堂练习：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
解：（1）（或 ）
（2）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列， 所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以， 所以数列是递减数列.
综上，结论得证． 令， 则．
（3）因为，，……,，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或．
当时， 数列的项满足，，时，
有，； 当时，
数列的项满足，，，时，
有，． 当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
典例4、答案： （1）， （2）
解：（1）设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得： 化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即, 所以的取值范围是.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）.
解：（1）因为，① 所以，②
②-①得，． 所以，
又， 即．
在①中，令得，，
又，所以． 所以，即．
所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，， 所以，
所以时，．
当时，适合上式， 所以．
所以， 所以．
令，得，即恒成立．
令，则．
当时，， 所以，解得， 故实数的取值范围为．
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）设等比数列的公比为，依题意有，故，
所以，即，解得， 所以，
又，所以公差， 所以；
（2）， 令，则，
，
所以， 所以，
由题意，对都有，即恒成立，
令，则时，
故时，数列递减，又，故，
所以，即的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）时，①，②， ①-②得，
当时，③，④， ③÷④得.
由上可得，即，化简得.
当时，，，两式相等得，.
故，因此且，故. 综上，.
（2）， ⑤ ⑥
⑤－⑥得：，，
将代入得， 化简得，
因在单调递增，故的最小值为－4，故.
典例6、答案： （1）；（2）.
解：（1）因为，所以， 当，时，
所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为2，
所以，则；
（2）因为，所以，
由（1）， 所以恒成立，
当n为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，， 所以，
当n为奇数时，，若n=1，则有，
若，则有， 令，由于，
所以，综上，.
随堂练习：答案：（1），；（2）.
解:（1）当时，，∴，
当时，由
得，即，
∴数列是公差为2的等差数列， ∵，∴.
由条件得，， ∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴.
（2），设数列的前项和为，则，
∴， ∴，，
∴， 由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，则，
∴， ∴， ∴.