2023届高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列学案

第1讲　等差数列与等比数列

1.[等比数列基本量](2022·全国乙卷,T8) 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于(　D　)

A.14 B.12 C.6 D.3

解析:法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得

即解得

所以a6=a1q5=3.故选D.

法二　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得

即解得

所以a6=a1q5=3.故选D.

2.[等比数列的性质](2021·全国甲卷,T9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　A　)

A.7 B.8 C.9 D.10

解析:设等比数列的公比为q,由题意知q≠1.

法一　由题意得,=4,①

=6,②

②÷①得q2+1=,即q2=,则S6=S4+a5+a6=S4+S2q4=7.故选A.

法二　由等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),解得S6=7.故选A.

3.[等比数列的判断与基本量运算](2020·全国Ⅱ卷,T6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　C　)

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:因为a1=2,am+n=aman,令m=1,则an+1=a1an=2an,所以{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2×2n-1=2n.又因为ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,所以=215-25,即2k+1(210-1)=25(210-1),所以2k+1=25,所以k+1=5,所以k=4.故选C.

4.[等差数列基本量](2020·全国Ⅱ卷,T14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　. 

解析:因为在等差数列{an}中,a1=-2,a2+a6=2a4=2,所以a4=1,3d=a4-a1=3,即d=1,则S10=10a1+d=10×(-2)+45×1=25.

答案:25

5.[等差数列的证明](2021·全国甲卷,T18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列,证明:{an}是等差数列.

证明:因为数列{}是等差数列,且a2=3a1,

设数列{}的公差为d,易知首项=,且===2,

所以d=-=2-=,

所以=+(n-1)d=+(n-1)=n⇒Sn=n2a1,①

所以Sn+1=(n+1)2a1,②

②-①得,an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2a1-n2a1=(2n+1)a1,③

所以an=(2n-1)a1,④

③-④得,an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,

所以{an}是以a1为首项,2a1为公差的等差数列.

对等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度一般;而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,常在解答题中的第1问出现,难度中档以下.

热点一　等差、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)

(1)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d.

(2)等比数列的通项公式:an=a1·qn-1.

(3)等差数列的求和公式:

Sn==na1+d.

(4)等比数列的求和公式:

Sn=

典例1　设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a1=-10,

所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.

因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,

所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),

所以(-2+2d)2=d(-4+3d),解得d=2.

所以an=a1+(n-1)d=2n-12(n∈N*).

(2)法一　由(1)知,an=2n-12.则当n≥7时,an>0,当n=6时,an=0;当n<6时,an<0,

所以Sn的最小值为S5=S6=-30.

法二　由(1)知,Sn=(a1+an)=n(n-11)=-,又n∈N*,所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值为S5=S6=-30.

等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列.

(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.

热点训练1　 (1)(2022·贵州模拟预测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=,S3=,则数列{an}的公比为(　　)

A.2或 B.-2或-

C.-或2 D.或-2

(2) (2022·福建三明模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=-14,S3=-39,则S10=(　　)

A.6 B.10 C.12 D.20

解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,则a2=a1q=,S3=a1(1+q+q2)=,

两式相除得=,即2q2-5q+2=0,解得q=或2.故选A.

(2)由a2+a5=2a1+5d=-14,S3=3a1+3d=-39,解得a1=-17,d=4,所以S10=10a1+45d=-170+45×4=10.故选B.

热点二　等差、等比数列的性质

1.通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列,有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=.

2.前n项和的性质:

(1)对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数的情况除外).

(2)对于等差数列,有S2n-1=(2n-1)an.

典例2　(1)(2022·江西模拟质检)已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=4,a13+a14+a15=12,则a7+a8+a9等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

(2) 在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=2-,a5=+1,则a1a5+2a2a6+a3a7=(　　)

A.1 B.9 C.5+7 D.3+9

解析:(1)在等差数列{an}中,由等差中项的定义可得a1+a13=2a7,a2+a14=2a8,a3+a15=2a9,所以a7+a8+a9==8.故选C.

(2)因为数列{an}为各项均为正数的等比数列,a3=2-,a5=+1,所以a1a5+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=(2-++1)2=9.故选B.

等差数列、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.

(2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.

热点训练2　 (1) 在等比数列{an}中,an>0且a5a6+a3a8=54,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(　　)

A.12 B.15 C.8 D.2+log3 5

(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　　　　. 

解析:(1)因为{an}是等比数列,an>0且a5a6+a3a8=54,所以a5a6=a3a8=27,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2a3…a10)==5log3 27=15.故选B.

(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.

答案:(1)B　(2)5

热点三　等差、等比数列的判断与证明

证明数列为等差(比)数列,一般使用定义法.

典例3　(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.

(1)证明:{an}是等差数列;

(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.

(1)证明:由+n=2an+1,

得2Sn+n2=2nan+n,①

所以2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+(n+1),②

②-①,得2an+1+2n+1=2(n+1)an+1-2nan+1,化简得an+1-an=1,

所以数列{an}是公差为1的等差数列.

(2)解:由(1)知数列{an}的公差为1.

由=a4a9,得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),

解得a1=-12.

所以Sn=-12n+==(n-)2-,所以当n=12或13时,Sn取得最小值,最小值为-78.

(1)=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.

(2){an}为等比数列,可推出a1,a2,a3成等比数列,但a1,a2,a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.

(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.

热点训练3　 (2022·浙江绍兴模拟预测)已知非零数列{an}满足a1=1,an(an+2-2)=an+1(an+1-2),n∈N*.

(1)若数列{an}是公差不为0的等差数列,求它的通项公式;

(2)若a2=5,证明:对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an≤3n-2.

(1)解: 因为数列{an}是公差不为0的等差数列,故设公差为d(d≠0).

又an(an+2-2)=an+1(an+1-2),n∈N*,

则(an+1-d)(an+1+d-2)=-2an+1,

化简得d(d-2)=0,

又d≠0,故d=2.

因为a1=1,

所以an=a1+(n-1)d=2n-1,

故数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.

(2) 证明:因为an(an+2-2)=an+1(an+1-2),n∈N*,

所以=.

又a1=1,a2=5,则==3,

故an+1-2=3an,即an+1+1=3(an+1),n∈N*,

所以数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,

故an+1=2×3n-1,an=2×3n-1-1,

则对任意的n∈N*,a1+a2+a3+…+an=2×(30+31+32+…+3n-1)-n=2×-n=3n-n-1≤3n-2,当n=1时等号成立.