高中数学沪教版（2020）必修第二册8.2 向量的数量积精品一课一练

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一．平面向量数量积的性质及其运算（共11小题）
1．（2023春•浦东新区校级期中）设是两个非零向量，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
2．（2023春•徐汇区校级期中）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
A．B．
C．D．
3．（2023春•杨浦区校级期末）已知，，且、的夹角为，则 ．
4．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，满足，，，则 ．
5．（2023春•宝山区校级期中）设向量、满足，，且，则 ．
6．（2023春•杨浦区校级期末）在中，，，，则 ．
7．（2023春•浦东新区期末）设向量、满足，，则 ．
8．（2023春•徐汇区校级期中）已知向量的夹角为，且，若向量，则 ．
9．（2023春•普陀区校级期中）已知、均为单位向量，且，则 ．
10．（2023春•浦东新区校级期末）已知平面向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求实数的值．
11．（2023春•黄浦区校级期中）（1）已知单位向量的夹角为与垂直，求．
（2）已知向量，若，求．
二．向量的投影（共3小题）
12．（2023春•静安区期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为
A．B．C．D．
13．（2023春•闵行区期末）已知向量、的夹角为，，则在方向上的数量投影为 ．
14．（2023春•长宁区校级期末）已知，，则在方向上的数量投影是 ．
三．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
15．（2023春•虹口区校级期中）两个非零平面向量的夹角的取值范围是 ．
16．（2023春•虹口区校级期末）已知向量，，，若，，，则 ．
17．（2023春•闵行区校级期末）已知为坐标原点，点，则 ．
18．（2023春•虹口区校级期中）若，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
四．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
19．（2023春•奉贤区校级期末）已知，，若与互相垂直，则实数的值是 ．
20．（2023春•徐汇区校级期末）已知向量，且，则 ．
21．（2023春•长宁区期末）已知，，若与垂直，则 ．
22．（2023春•浦东新区校级期中）若，，当实数 时，．
23．（2023春•浦东新区校级期末）已知．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
一．选择题（共5小题）
1．（2023春•长宁区期末）已知、和均为非零向量，
①若，则；②若，则；③若，则．
上述命题中，真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
2．（2023春•杨浦区校级期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为的重心，则、、中正数的个数为，则的值的集合为
A．，B．，C．，D．，2，
3．（2023春•黄浦区校级期中）设为非零不共线向量，若则
A．B．C．D．
4．（2023春•浦东新区校级期中）已知和都是锐角，向量，，则
A．存在和，使得B．存在和，使得
C．存在和，使得D．存在和，使得
5．（2023春•宝山区校级期末）已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为
A．2B．4C．D．
二．多选题（共1小题）
6．（2023春•奉贤区校级月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是
A．若，则为的重心
B．若，则
C．则为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
三．填空题（共16小题）
7．（2023春•浦东新区校级期中）如图，在中，为线段上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为 ．
8．（2023春•宝山区校级月考）两个向量的运算“”： ，其中是的夹角．若，，则 ．
9．（2023春•金山区校级期末）若点为所在平面内一点，且，则点叫做的费马点．当三角形的最大角小于时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”，即最小．已知点是边长为2的正的费马点，为的中点，为的中点，则的值为 ．
10．（2023春•徐汇区校级期末）最早发现勾股定理的人应是我国商朝数学家商高，根据文献记载，商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有满足“勾三股四弦五”，其中，为弦上一点（不与、重合），且满足“勾三股四弦五”，则 ．
11．（2023春•静安区期末）设向量，，且，则函数的值域为 ．
12．（2023春•奉贤区校级月考）已知，，且与平行，则 ．
13．（2023春•浦东新区校级期末）若，，则在方向上的投影为 ．
14．（2023春•浦东新区校级期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 ．
15．（2020春•宝山区校级期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 ．
16．（2023春•嘉定区校级期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
17．（2023春•普陀区校级期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ．
18．（2023春•闵行区期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且．若对任意的，，2，，均满足，则当，，2，且时，的值为 ．
19．（2023春•金山区校级期末）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点．若面积为面积的一半，则的最小值为 ．
20．（2023春•杨浦区校级期末）直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为 ．
21．（2023春•浦东新区校级期末）已知正三角形面积为，为边上一点，且．射线沿与夹角为的方向射到边上的点，经反射交边于点．射线经边反射交于点．若点在线段上（不包括端点、，则的取值范围为 ．
22．（2022•宝山区校级模拟）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则的最小值为 ．
四．解答题（共7小题）
23．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值．
24．（2024春•浦东新区校级月考）定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值．
25．（2023春•杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，，设点，，，是线段的等分点，其中，．
（1）当时，使用，表示，；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求，，，的最小值．
26．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量、的夹角为，且，，设，．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求与的夹角．
27．（2023春•嘉定区校级期末）已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求实数的值．
28．（2023春•徐汇区校级期末）如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点．
（1）当时，求的值；
（2）当时．
①求的值（用含，的式子表示）；
②若，，，，，，，分别求集合中最大元素与最小元素的值．
29．（2023春•徐汇区校级期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量”．
（1）记的“相伴函数“为，若方程在区间，上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围；
（2）已知点满足，向量的“相伴函数” 在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
（3）已知点，向量的“相伴函数” 在处的取值为，在锐角中，设角、、的对边分别为、、，且，，求的取值范围．