高中数学1余弦函数的图像精品练习

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一、单选题
1．（2023下·上海浦东新·高一统考期中）函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可.
【详解】由，故该函数为偶函数.
故选：B
2．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公式和余弦函数相关知识判断④.
【详解】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确；
对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确；
对于③，若，，，由余弦定理得，，则，
所以符合条件的有一个，故③错误；
对于④，若，则，
所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确.
综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3.
故选：C
3．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断.
【详解】因为函数的图像关于点中心对称，
所以，，所以，，
所以当时，当时，时，
所以的最小值为.
故选：C
4．（2023下·上海宝山·高一校考期中）下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A.利用的性质判断；B.利用的性质判断；C.作出的图象判断；D. 作出的图象判断.
【详解】A. 是奇函数，以2为最小正周期，故错误；
B. 是偶函数，以2为最小正周期，在上为减函数，故错误；
C. 的图象如图所示：

由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为增函数，故正确；
D. 的图象如图所示：

由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为减函数，故错误；
故选：C
二、填空题
5．（2023下·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围.
【详解】由题意，
，而，
则，
当时，解得或；
当时，解得，
综上：.
故答案为：.
6．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知函数是偶函数，则的取值是
【答案】
【分析】根据余弦函数的性质求得的值.
【详解】令，则，所以的值为.
故答案为：.
7．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）若函数的最小正周期是
【答案】
【分析】根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦函数的周期性求解.
【详解】，
所以函数的最小正周期是.
故答案为:.
8．（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）函数的最小正周期为 .
【答案】/
【分析】直接根据余弦函数的周期求解即可.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：.
9．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）函数，的值域为 .
【答案】
【分析】根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
10．（2023下·上海长宁·高一统考期末）函数的零点是 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数的性质，令，再结合，即可求出结果.
【详解】令，所以，
又，所以，所以，
所以函数的零点是.
故答案为：.
11．（2023下·上海静安·高一校考期中）函数的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案.
【详解】函数的最小正周期是，
故答案为：
12．（2023下·上海闵行·高一闵行中学校考期末）若是方程的解，其中，则的取值集合是 .
【答案】
【分析】得到，结合，从而列出方程，求出答案.
【详解】由题意得，
因为，所以，
故或，解得或.
故答案为：
13．（2023下·上海闵行·高一校考期中）函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解
【详解】由已知得：，
其最小正周期为.
故答案为：.
14．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）函数（其中）为奇函数，则 ；
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答.
【详解】函数是奇函数，则，而，
所以.
故答案为：
15．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】画出的图象，由图象即可求解.
【详解】
画出的图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.
故答案为：
三、解答题
16．（2022下·上海长宁·高一校考期中）已知：.
(1)化简：；
(2)求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用二倍角公式公式将函数变形，再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：
即
（2）解：因为，
，
当时，函数取得最小值，最小值为．
一、单选题
1．（2023下·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（ ）
①当，时，为偶函数；
②当，时，在区间上是单调函数；
③当，时，在区间恰有3个零点；
④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为
A．①B．①④C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确.
【详解】①当时，，其定义域为，
且，函数为偶函数，故①正确；
②当时，，由，得，
则在上不单调，故②错误；
③当时，
由，得，即
则，共4个零点，故③错误；
④当时，
周期，区间的长度为，即为周期，
所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大，
令
，其中，
即设在区间上的最大值为，最小值为，则，
故④正确.
故选：B.
2．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）关于函数，有以下结论：
①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数；
③函数，定义域均为；④函数，值域均为．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④.
【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误；
因为，
所以函数为偶函数，
因为，
所以函数为偶函数，故①正确；
因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为，
所以是以为周期的周期函数，故②正确；
因为，所以，即，
因为，所以，即，故④错误，
所以正确的个数有个.
故选：B.
3．（2023下·上海嘉定·高一校考开学考试）已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（ ）．
A．都是奇函数且周期为B．都是偶函数且周期为
C．均无奇偶性但都有周期性D．均无周期性但都有奇偶性
【答案】B
【分析】利用周期函数的等价表达式，分别化简，，，，结合奇偶性的定义即可求解答案.
【详解】由得.
对于函数，当时，显然具有周期性和奇偶性；
当时，；
显然，所以函数是偶函数；
又
,
所以为函数的一个周期.
对于函数，当时，，显然具有周期性和奇偶性；
当时，，
所以
，
所以函数是偶函数；
又
,
所以是函数的一个周期.
综上所述，函数，都是偶函数且周期为.
故选：B
4．（2023下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论．
【详解】且在上为严格减函数，则，
又，，因此，，
又，所以，即，
由，则且，，
，，
因此，，
若，则，取，满足题意，
若，则，取，满足题意，
的值有2个．
故选：D．
5．（2022下·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题：
（1）若，则对任意实数x恒成立；
（2）若，则函数为奇函数；
（3）若，则函数为偶函数；
（4）当时，若，则，
其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误.
【详解】对于（1），即为，
即，
两边平方后可得，故或.
若，则，故，
此时，
若，则，故，
此时，
若或，则，故（1）成立.
对于（2），因为，则，
若均为零，
则,
其定义域为，且，故为奇函数；
若不全为零，不妨设，则，
故
，
此时函数的定义域为，而，故为奇函数；
故（2）正确.
对于（3），因为，则，
若均为零，
则，
此时函数的定义域为，而，故为偶函数；
若不全为零，不妨设，则，
故
，
此时函数的定义域为，而，故为偶函数；
故（3）正确.
对于（4），因为，
故，
整理得到：，
取，则，
即，故，
令，则，
而，故，故（4）错误，
故选：A.
【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论.
二、填空题
6．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期中）设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.
【详解】令，
由定义域为，且，
所以为奇函数，且在单调递增，
所以在单调递增，
所以不等式对一切恒成立，
，
，
，
即，
在恒成立，
设，则问题转化为：
在上恒成立，
又因为，
所以，
解得：或，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.
7．（2023下·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）对于函数，给出下列四个命题：
①该函数的值域为；
②当且仅当时，该函数取得最大值1；
③该函数是以为最小正周期的周期函数；
④当且仅当时，.
上述命题中，假命题的序号是 .
【答案】①②
【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，
对于③，当时，，
当时，，所以，函数为周期函数，
作出函数的图象（图中实线）如下图所示：

结合图形可知，函数的最小正周期为，③对；
对于①，由图可知，函数的值域为，①错；
对于②，由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，②错；
对于④，由图可知，当且仅当时，，④对.
故答案为：①②.
8．（2023下·上海闵行·高一统考期末）若函数的最大值为，则 .
【答案】
【分析】根据辅助角公式得到，然后利用余弦函数的最值即可求解.
【详解】因为函数，
且函数的最大值为，
所以，解得，
故答案为：.
9．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，，对、、、、分别求出的取值范围，从而求出需满足的条件，再根据周期性即可得解.
【详解】由，可得，，
又，当时，均满足题意；
当时，均满足题意；
当时，均满足题意；
当时，此时需，即；
当时，此时需，即；
由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值，
综上可得，即的取值范围是.
故答案为：
10．（2023下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为 .
【答案】,Z
【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间即可.
【详解】由题意可知，
则，
所以是函数的周期，
又∵，
∴函数为偶函数，
当时，，
此时函数的单调递增区间为，Z,
解得，Z,
当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，
当时，，
此时函数的单调递减区间为，Z，
解得，Z,
当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，
综上所述，函数的单调递增区间为,Z,
故答案为：,Z.
11．（2023下·上海长宁·高一统考期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由得，
设，因，所以，
则在上恒成立，
设，
则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，
所以的最大值，
故，
故答案为：
三、解答题
12．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期中）设为常数，函数（）．
(1)设，求函数的单调区间及周期；
(2)若函数为偶函数，求此函数的值域．
【答案】(1)增区间，减区间为；
(2)
【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案；
（2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
令，解得，
即函数的单调增区间为；
令，解得，
函数的单调减区间为
函数的周期为.
（2）函数为偶函数，则，
即，
即，即，
由于，则，
故，
由于，故.
13．（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）已知函数的表达式为.
(1)求函数的定义域，并写出函数的值域；
(2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；；，
【分析】（1）解不等式可得定义域，根据可得值域；
（2）利用诱导公式和偶函数的定义可证函数为偶函数，根据反证法可得是的最小周期，根据余弦函数的单调性以及定义域可得结果.
【详解】（1）由得，，.
则函数的定义域D为，
函数的值域为
（2）任给，有，，
所以函数为偶函数.
因为，即是的一个周期，
假设为的一个周期，且，
则对定义域内的任意一个恒成立，
取，则，即，即，
因为，所以，则不成立，
所以假设不成立，故是的最小周期，
因为的单调递增区间为，，在上为增函数，
结合定义域可得的单调增区间为，.
14．（2023下·上海静安·高一统考期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
（2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数.
【答案】（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析
【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图．
（2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明．
【详解】（1），
，即时，函数取得最大值2.
（2）单调增区间，单调减区间，其中.
任取、，，即，
由于,是正弦函数的单调增区间，
所以，，即，
故，余弦函数在区间是严格增函数.
15．（2023下·上海青浦·高一校考阶段练习）已知向量.
(1)求函数的最小正周期和严格增区间，
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.
【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为
(2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为.
【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.
（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.
【详解】（1）已知向量，，
所以.
故函数的最小正周期为；
由，解得：，，
故函数的严格增区间为.
（2）由于，得.
故当，即时，取得最大值，最大值为；
当，即时，取得最小值，最小值为.
16．（2023下·上海黄浦·高一格致中学校考期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.
【答案】(1)
(2)第月是该地区的旅游旺季
【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可；
（2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数.
【详解】（1）因为A和是正整数，
由②可得：，解得；
由③可得：且，则，且，解得；
且，解得；
所以.
（2）令，则，
因为，则，
可得，解得，
且，则，
所以第月是该地区的旅游旺季.
【点睛】方法点睛：函数y＝Acs(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
17．（2023下·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知函数，（其中，）
(1)当时，求函数的严格递增区间；
(2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）；
(3)若函数为常值函数，求的值.
【答案】(1)，；
(2)
(3).
【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可；
（2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可；
（3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可.
【详解】（1）当时，
由，，得，.
故的严格递增区间为，.
（2）由（1）可知，当时，，
则，
令，当时，则，所以，
则，即.
于是，
①当时，，当且仅当时，最大值为；
②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为，
综上所述，
（3）由函数为常值函数，令，则原式，
令，则原式（为正整数）；
令，则原式，即，
因为（为正整数），即为正奇数，所以，
即，则，
解得或，
又因为（为正整数），所以.
当时，原式为
.
所以当时，函数为常值函数.
【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可.
18．（2023下·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”．
(1)求证：是函数的“P区间”；
(2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由；
(3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）取特殊值验证得到答案.
（2）根据三角函数的有界性得到，得到答案.
（3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案.
【详解】（1），取，，则，
故是函数的“P区间”；
（2），
则，
故不是函数的“P区间”，
（3），，
则，故，
故，，不妨设，
则，，故，
即在区间至少上有两个不同的偶数，，即，
当，区间为，满足；
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足；
综上所述：
0
0
2
0
0