高中数学沪教版（2020）必修第二册8.3 向量的坐标表示精品习题

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一．平面向量的基本定理（共4小题）
1．（2023春•普陀区校级期中）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是
A．和B．和
C．和D．和
【分析】，是平面内的一组基底，和不共线，和共线，和不共线，和不共线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．
【解答】解：在中，，是两不共线的向量，
和不共线，
和能作为平面向量的一组基底；
在中，，是两不共线的向量，
和共线，
和不能作为平面向量的一组基底；
在中，，是两不共线的向量，
和不共线，
和为平面向量的一组基底；
在中，，是两不共线的向量，
和不共线，
和能作为平面向量的一组基底．
故选：．
【点评】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的向量不能作为平面向量的一组基底．
2．（2023春•宝山区期末）在平行四边形中，，．若，则
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出，即可．
【解答】解：由题意可得，
所以，，
所以，
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
3．（2023春•静安区期末）若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为 ．
【分析】由平面向量线性运算法则直接计算即可．
【解答】解：如图，为的中点，
，
点是的重心，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4．（2023春•闵行区校级期末）已知，，，，且，则 ．
【分析】在三角形中，由和互补，可求出的长度，在中，由余弦定理可求出的余弦值，进而求出．
【解答】解：由可知，为中点．
设，则由可得，
，
解得，，
故，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理，属基础题．
二．平面向量的坐标运算（共7小题）
5．（2023春•长宁区校级期末）若是内一点，，则是的
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则得到，，共线且为三角形中线的三等分点，据三角形重心的性质判断出为重心．
【解答】解：以、为邻边作平行四边形，
则．
又，
．
．
为的中点，且、、共线．
又为的中点，
是中线的三等分点，且．
是的重心．
故选：．
【点评】本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、考查三角形的重心的性质：分三角形的中线为的关系．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量，，
所以，，．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
7．（2023春•闵行区校级期中）已知向量，，则的坐标为 ．
【分析】根据向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：，，
，，，，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，掌握公式是解题的关键，是基础题．
8．（2023春•杨浦区校级期末）若，，则 ．
【分析】利用向量的夹角公式直接求解．
【解答】解：因为向量，，
所以．
因为，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
9．（2023春•长宁区期末）已知平面上、两点的坐标分别是、，是直线上一点，且，则点的坐标是 ．
【分析】根据向量的坐标表示，得到等量关系，列方程组求解即可．
【解答】解：设点的坐标是，则由，
有，，即，
解得，，故点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的坐标表示，属基础题．
10．（2023春•徐汇区期末）已知，则的坐标为 ．
【分析】利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
11．（2023春•黄浦区校级期中）已知向量，点，若向量与方向相同，且，则点的坐标为 ．
【分析】根据题意可得出，然后由，即可得出，设，得到，，，然后解出，的值即可．
【解答】解：与方向相同，
设，且，又，
，解得，
，
设，则，，，
，解得，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．
三．平面向量共线（平行）的坐标表示（共11小题）
12．（2023春•宝山区校级月考）已知向量与向量平行，则的值为 1 ．
【分析】利用平面向量平行（共线）的坐标表示即可求解．
【解答】解：因为向量与向量平行，
即向量与向量共线，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平面向量平行（共线）的坐标表示，属于基础题．
13．（2023春•闵行区期末）已知，，与平行，则实数的值为 0 ．
【分析】找出的坐标，利用向量平行的坐标关系得到关于的方程，求解即可．
【解答】解：由题意，，，
又与平行，则有，解得．
故答案为：0．
【点评】本题考查向量平行的坐标关系，属基础题．
14．（2023春•普陀区校级期末）设，向量，，若，则 2 ．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，，
则，解得．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
15．（2023春•徐汇区期末）设，，且，则 ．
【分析】根据已知条件，结合直线共线的性质，即可求解．
【解答】解：，且，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
16．（2023春•杨浦区校级期中）设，，且，则 0 ．
【分析】由向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系和商数关系可得．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
17．（2023春•虹口区校级期中）若，且，则的坐标为 或 ．
【分析】设，由已知列关于，的方程组，求解得答案．
【解答】解：设，已知，且，
，解得或．
的坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
18．（2023春•闵行区校级期中）已知向量，，则与共线，则实数 ．
【分析】根据向量平行得到，解得答案．
【解答】解：向量，，与共线，则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
19．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，满足：，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
【分析】（1）设，由题意列关于，的方程组求解；
（2）由已知求出，再由平面向量的数量积求夹角公式得答案．
【解答】解：（1）设，
由题意，，解得或．
或；
（2）由，得，即，
，，
则，
与的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，训练了利用平面向量的数量积求向量夹角的余弦值，是基础题．
20．（2023春•宝山区期末）已知向量，．
（1）求；
（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？
【分析】（1）根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：（1），，
则，，
故，
，，
；
（2），，，，
，，
则，解得，
它们为同向共线．
【点评】本题主要考查向量的夹角公式，以及向量共线的性质，属于基础题．
21．（2023春•杨浦区校级期末）已知．
（1）若，求实数的值；
（2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可；
（2）设夹角为，则，得到，计算可得的范围，注意与不同向共线．
【解答】解：（1）若，则，解得．
（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，
故只需，解得，
且与不同向共线，即，
所以实数的取值范围为且．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
22．（2023春•长宁区期末）已知、．
（1）求；
（2）若与平行，求实数值．
【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式直接求解；
（2）由向量平行的坐标表示列方程，求解即得．
【解答】解：（1），
；
（2），，
若与平行，则有，解得．
【点评】本题考查向量的夹角公式和向量平行的坐标表示，属基础题．
一．填空题（共5小题）
1．（2023春•奉贤区校级期末）如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交边于点，则下列结论正确的有 （1）（3） ．
（1）
（2）
（3）
（4）与夹角的余弦值为
【分析】对（1），根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；
对（2），根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；
对（3），根据余弦定理可得，再根据中两边平方化简求解即可；
对（4），在中根据余弦定理求解即可．
【解答】解：对于（1），点为线段中点，为线段的中点，，故（1）正确；
对于（2），设，则由（1），，故，
，，三点共线，，解得，，
，，即，故（2）错误；
对于（3），在中，由余弦定理，，
，
由（2）有，
两边同时平方得：，即，所以，故（3）正确；
对于（4），由（2）（3）知，在中，，，，
，故（4）错误．
故答案为：（1）（3）．
【点评】本题考查平面向量的线性运算、数量积运算，用余弦定理解三角形等，属于中档题．
2．（2023春•浦东新区校级期末）已知，，为圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时， ．
【分析】根据题设条件建立坐标系，引入参数，找到和与的关系式，利用三角恒等变换找出取最大值的条件，从而求出此时的的值．
【解答】解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设圆的半径为2，则由，可得，，
设点，则由可得：
，，
即，整理得：
，，
则，
其中，，，
所以，当，即时，
取得最大值，此时，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合应用，属中档题．
3．（2023春•宝山区校级期末）如图所示，，圆与，分别相切于点，，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ， ．
【分析】连接，，求出圆的半径和，得出的最值，根据等边三角形的性质即可得出的最值．
【解答】解：连接，，则，，
，，，
点是圆及其内部任意一点，
，且当，，三点共线时，取得最值，
当取得最大值时，以为对角线，
以，为邻边方向作平行四边形，
则和是等边三角形，
，
，
的最大值为，
同理可求出的最小值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．
4．（2023春•嘉定区校级期末）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为 ．
【分析】利用向量基底的定义及向量的坐标运算求出，设出在另一组基底下的坐标，利用坐标运算求出的坐标，列出方程求出．
【解答】解：由条件可得，，，．
设，，，，则由，，解得、．
则在另一组基底下的坐标为，
故答案为．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的坐标运算，注意理解题中所给的定义并解决新问题，属于中档题．
5．（2023春•奉贤区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为 ．
【分析】设滚动后圆的圆心为，切点为，连接．过作与轴正方向平行的射线，交圆于，设，则根据圆的参数方程，得的坐标为，再根据圆的圆心从滚动到，算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得的坐标为，即为向量的坐标．
【解答】解：设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接，
过作与轴正方向平行的射线，交圆于，设
的方程为，
根据圆的参数方程，得的坐标为，
单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于
，可得
可得，，
代入上面所得的式子，得到的坐标为
的坐标为．
故答案为：
【点评】本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．
二．解答题（共2小题）
6．（2023春•杨浦区校级期末）如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，的面积为，
（1）求的值；
（2）求的最小值．
【分析】（1）根据向量的数乘运算，向量共线定理的推论，即可求解；
（2）根据向量数量积的性质与定义，重要不等式，即可求解．
【解答】解：（1）为中点，
，又，，三点共线，
，；
（2）的面积为，
，
由（1）知，
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为2，
的最小值为．
【点评】本题考查向量的数乘运算，向量共线定理的推论，向量数量积的性质与定义，重要不等式，属中档题．
7．（2023春•静安区校级期中）在中，．
（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；
（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；
（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值
【分析】（1）延长交于，利用重心性质及向量加减表示即可；
（2）以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标表示求得，，再用三角函数性质求得最值即可；
（3）表示出，即，平方后整理可得，利用换元思想及基本不等式即可求解
【解答】解：（1）延长交于，则是中点，
所以；
（2）以为原点，建立如图所示坐标系，则，，
设，，，
因为，所以，，，，
所以，
所以
，
因为，，
所以，，则，；
（3）因为，所以，
由可得，
即，
平方可得
即，
所以，整理可得，
由平行四边形法则可知，令，则，，
由基本不等式可得，即，解得或，
所以，则，即的最小值为2．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．