高中数学沪教版（2020）必修第二册2任意角及其度量优秀课后复习题

这是一份高中数学沪教版（2020）必修第二册2任意角及其度量优秀课后复习题，文件包含沪教版2020高中数学必修第二册62《常用三角公式》基础练提升练分层练习原卷版docx、沪教版2020高中数学必修第二册62《常用三角公式》基础练提升练分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
.
故选：B
2．（2023下·上海闵行·高一统考期末）某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：
①
②；
③；
若存在、恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】取特殊值判断①②，结合与已知等式，推出，从而进行判断③．
【详解】当时，，
且，即①符合题意；
②当，时，，
且，即②符合题意；
③因为，
所以若成立，
则，
即，
所以，化简得，不符合实际，即③不符合题意．
故选：C．
3．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）已知集合，E是区间（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，然后利用正弦函数性质可得答案.
【详解】由，得，，
所以，得，
因为，所以，
所以E是区间，
故选：B
4．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合同角三角函数的商数关系及二倍角公式即可求解.
【详解】由题知，
解得，
故选：C.
二、填空题
5．（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）若，则 .（用a表示）
【答案】
【分析】根据二倍角的余弦公式，即可得出答案.
【详解】根据二倍角的余弦公式可得，.
故答案为：.
6．（2023下·上海浦东新·高一统考期末）已知，且，则的值是 .
【答案】/
【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】因为，且，
所以，则，
所以.
故答案为：.
7．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．
【详解】因为，所以，即，
又，所以.
故答案为：.
8．（2022下·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）若可化为，则角的一个值可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式即可化简得，进而可得,即可求解.
【详解】，
所以，则角的一个值可以为．
故答案为：
9．（2022下·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）将写成的形式，其中，则 ．
【答案】
【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.
【详解】因为，
所以．
故答案为：.
10．（2022下·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据半角公式或二倍角公式变形即可求解.
【详解】依题意，
．
故答案为：.
11．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】通过构角，再利用正切的差角公式和条件即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
12．（2023下·上海静安·高一统考期末）若，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式化简原式，可得，再平方化简即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
故答案为：.
13．（2023下·上海闵行·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则 .
【答案】
【分析】由题意结合任意角的三角函数的定义可得，利用二倍角的正切公式可求得的值．
【详解】在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，，
不妨设角的终边过点，则角的终边过点，
结合任意角的三角函数的定义可知，若，则，
则，
故答案为：．
14．（2023下·上海长宁·高一统考期末）已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】根据题意写出点的坐标为，根据列式计算可得，从而得，再结合的平方关系，即可求解出点的坐标.
【详解】由题意可知，点的坐标为，
，即，
解得，所以，又，
解得或，
所以点的坐标为或.
故答案为：或
15．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解.
【详解】，
由题意，是锐角，则，则，解得.
故答案为：
16．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知角的终边经过点,则= .
【答案】/
【分析】由任意角三角函数的定义有，再根据二倍角公式即可得．
【详解】依题意，，
则．
故答案为：．
17．（2023下·上海静安·高一校考期中）已知，是第三象限的角，则 ．
【答案】
【分析】根据两角差的余弦公式结合诱导公式以及同角的三角函数关系，即可求得答案.
【详解】由，
可得，即，
由于是第三象限的角，故，
故答案为：
18．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知为锐角，，则 .
【答案】/
【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可.
【详解】因为为锐角，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
所以
.
故答案为：
三、解答题
19．（2023下·上海长宁·高一统考期末）已知锐角、满足，，求的值．
【答案】
【分析】根据已知，利用和角的正切公式计算求解.
【详解】因为，，
所以，
又锐角、，所以，
所以.
20．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知角的终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再利用弦化切即可；
（2）利用二倍角的正切公式和两角和与差的正切公式即可.
【详解】（1）由已知得，
∴；
（2）∵，
∴，
则．
21．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用两角和的正切公式展开直接求解.
（2）用原式除以然后转化为正切求解.
【详解】（1）
（2）
22．（2023上·上海·高一校考期末）已知，且.
(1)化简并求值： ；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式求出，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得；
（2）求出，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
所以，
当时，原式.
（2）因为，，所以，
所以.
一、单选题
1．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，已知，则下列各式必为常数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误.
【详解】在中，因为，所以，
所以，
因为，所以，
对于B，因为，所以，即，
将上式两边同时除以， 得
所以，B正确；
由可知，令，此时，
则，，；
令，此时，
则，，.
对于A，当时，，
当时，，两者不相等，不为常数，A错误；
对于C，当时，，
当时，，两者不相等，不为常数，C错误；
对于D，当时，，
当时，，两者不相等，不为常数，D错误.
故选：B
二、填空题
2．（2023下·上海长宁·高一统考期末）已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，，所以，
.
故答案为：.
3．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知，，则的值为 .
【答案】
【分析】由两角和的正切公式计算，再利用二倍角正弦公式及同角三角函数关系化简求值即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
4．（2023下·上海静安·高一统考期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，，
由题意，以为终边的角为，
且，
，
且，
则点的横坐标为，纵坐标为.
即点的坐标为.
故答案为：
三、解答题
5．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）已知函数的最大值为1.
(1)求函数的单调减区间；
(2)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像向上移动1个单位，得到的图像，如果在区间上有8个最大值，求的取值范围
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据两角和的正弦公式得，由最大值求出，即可得函数的单调减区间；
（2）根据三角函数的图象变换可得，由正弦函数的图象即可求解.
【详解】（1），
，.
令，，
可得，，
单调递减区间：，.
（2），
，
由题可得，
在上的最大值点从小到大依次为，，，，，…，
在上的最大值点从大到小依次为，，，，，…，
因为在区间上有8个最大值，
所以该8个最大值点为，，，，，，，，
所以，即，解得.
6．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？

【答案】，最小，最小长度为米.
【分析】设与圆弧的切点为，连接，由三角函数表示出，化简可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】设与圆弧的切点为，连接，
由题设，得，于是，
从而，
由，得，从而，
当且仅当，即，最小，最小长度为米.

7．（2023下·上海静安·高一校考期中）已知下列是两个等式：
①；
②；
(1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
(2)请证明你的结论；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论；
（2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论.
【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：；
（2）证明：因为，，
故
，
即.
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）（1）已知，，求；
（2）已知，且，，用，表示，求．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值；
（2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】解：（1）因为，，则，
因此，；
（2）因为，则，，
因为，，
则，
，
因为，
所以，
.
9．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值；
（2）在中，已知与是方程的两个根.求.
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值；
（2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值.
【详解】（1）已知，，且及都是锐角，
所以，，
所以
又，所以，故；
（2）因为与是方程的两个根
所以
在中，，
所以.
10．（2023上·上海·高一校考期末）平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限.
(1)若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积；
(2)角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用弧长公式求出角，联立求坐标，再用扇形面积公式计算即可.
（2）依据角的旋转关系结合两角正切的和差公式求解即可.
【详解】（1）的长为，，解得，
若点位于第二象限，且在单位圆上，设，扇形的面积为，
故有，，故，
结合扇形面积公式得，
（2）易知角的终边绕点逆时针旋转后恰与角的终边重合，
故，即.
11．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”．
(1)求证：，是“T函数”；
(2)若函数是“函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)0
【分析】（1）取，由题目中的定义，即可证得；
（2）由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出的范围；
（3）由题意得出在上为增函数，设，得出为上的奇函数，由奇函数的对称性及和的值，即可得出的值．
【详解】（1）证明：取非零常数,
对任意的，，
，即，
，是“函数”．
（2）函数是“函数”，，
，
即，整理得，，
，
，即，
故．
（3）对任意，对任意的正实数，都有，
在上为增函数，
设，
函数是奇函数，
为上的奇函数，即图像关于原点对称，
，，
，，
，
．
12．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)是
(3)
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
（2）若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为
13．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为

(1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
(2)用表示梯形的面积；并证明：；
(3)设，，试用代数计算比较与的大小.
【答案】(1)，
(2)，证明见解析，
(3)
【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解，
（2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证，
（3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解.
【详解】（1）由题意可得，
所以，
如图：在单位圆中，设，,
则，
由于，所以，，
因此.

（2），
方法一：由.
所以，
由于，则，所以
故，
方法二：由于，
令则，
由于，所以，
故，
因此在单调递增，故，所以
因此.
（3）方法一：由于
所以，
由于，所以，
故，
，
因此.
方法二：：，
记，
，故在单调递减，故，所以，故在单调递减，
由于，所以.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键.