高中数学沪教版（2020）必修第二册1正弦函数的图像精品测试题

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一、填空题
1．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）函数的最小正周期是 ；
【答案】
【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：
2．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）方程的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可.
【详解】因为，所以，
若，则或，
所以或，即方程的解集为.
故答案为：
3．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可.
【详解】若存在，使成立，
即，其中，
由于值域为，则，则.
故答案为：
4．（2023下·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）函数的最大值为 .
【答案】1
【分析】根据整体法求解，即可结合正弦函数的性质求解.
【详解】当时，，所以，
故最大值为1，
故答案为：1
5．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）若函数，有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由的单调性，结合取值可求答案.
【详解】令可得，
因为在单调递增，在单调递减，且；
所以，解得.
故答案为：.
6．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出周期作答.
【详解】函数，
所以所求最小正周期为.
故答案为：
7．（2023下·上海闵行·高一闵行中学校考期中）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用正弦二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可
【详解】，因为
所以函数的值域为.
故答案为：.
8．（2023下·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）函数的单调减区间是 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由，
得，
所以函数的单调减区间为.
故答案为：.
9．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解.
【详解】因为，且，可知，
又因为，且，
结合在内单调递减，可得.
故答案为：.
10．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）若、是函数两个不同的零点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据三角函数的性质得零点满足的方程，作差即可得答案.
【详解】、是函数的零点满足，
所以，由于
所以的最小值为.
故答案为：.
11．（2023下·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）函数在上的严格增区间是 .
【答案】
【分析】根据整体法求解全部增区间，结合范围即可求解.
【详解】令,解得，
取，则在的单调递增区间为，
故答案为：
12．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】因为
，
故函数的最大值为.
故答案为：.
13．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】先根据题意结合任意角三角函数的定义求出，代入化简可得，然后由求出，再结合正弦函数的性质可求出其范围.
【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，
所以，
因为是第一象限的角，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以函数，的值域为，
故答案为：
14．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知函数的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
因为，所以，
所以，
函数的最大值为.
故答案为：
二、解答题
15．（2023下·上海金山·高一校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为
(1)求的值；
(2)求该函数的递调增区间
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用周期公式列方程求解即可；
（2）由可求出函数的单调增区间.
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以，得，
（2）由（1）得，
由，
得
所以函数的单调增区间为
16．（2023下·上海长宁·高一统考期末）已知函数（其中常数）的最小正周期为．
(1)求函数的表达式；
(2)作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
【答案】(1)；
(2)图象见解析；单调递减区间为；
(3)，或.
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；
（2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可；
（3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，且，
所以有，即；
（2）列表如下：
函数，的大致图象如下图所示：

单调递减区间为；
（3）由题意可知：，
因为，
所以中有一个为，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是，
所以，或，
因此的值为，或.
17．（2023下·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值.
【答案】(1)最小正周期为
(2)时，的最大值为；当时，的最小值为.
【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由，可得，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减，
所以当时，的最大值为；
又由，
所以当时，的最小值为.
一、单选题
1．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，若对任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
【详解】因为对任意，都存在，使得成立，
所以，即，
因为，，所以，
若对任意，都存在，使得成立，
得，只需，即可，
因为，则，
对于A：当时，，则，因为，
所以的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确；
对于C：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故C错误；
对于D：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故D错误；
故选：B
二、填空题
2．（2023下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围.
【详解】因为 , 所以 ,
要使函数有 5 个零点, 则 ,
解得 的范围为 .
故答案为: .
3．（2023下·上海宝山·高一校考期中）函数在上的单调递减区间是 ．
【答案】（开区间也对）
【分析】先求出函数的单调递减区间，再与定义域取交集可得出答案．
【详解】由，得，
故函数的单调递减区间为
再结合，可得函数在上的递减区间为.
故答案为：.
4．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用同角公式，结合关于的二次函数求解作答.
【详解】依题意，函数，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：
5．（2023下·上海闵行·高一统考期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点，
则函数的图像与直线只在前几段有交点，
依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意，
所以，
当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
此时函数的图像与直线的图象恰有个交点，
若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，
不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点，
所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
故答案为：
6．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 .
【答案】
【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值.
【详解】依题意，


，
对任意， 恒成立，
当时，，
当时，则，
当时，，
当 时，.
所以，得，
所以.
故答案为：.
【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.
三、解答题
7．（2023下·上海闵行·高一校考期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.

(1)若，求此红旗图案的面积；（精确到）
(2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果．
（2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果．
【详解】（1）由题意，则，，，
，
；
（2）设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
8．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数
(1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；
(2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
(3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可;
(2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可;
(3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可．
【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 ,
则 ,
当时，，为增函数，此时,
即函数在上的单调递增区间是.
（2）若，,
函数
由，得
,当，则

则要使在上有且仅有一个零点，
则或，即实数的取值范围.
（3）因为的一条对称轴方程为，
所以
则满足 ,
平方得，得
，得得 ，则,
则,
则,
存在常数 ,使得函数为偶函数，
则，
即 且 ,
因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数.
9．（2023下·上海奉贤·高一校考期末）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；
(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式；
(3)求出的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式；
（2）根据正弦定理得到，即.
（3）根据计算得到的最小值.
【详解】（1）由题知，，，
在中，
则，
在中，
则.
所以.
（2）由题意，而，
则，
所以，
结合（1）知：.
（3）由（2）知，
又，
所以，当，时，.
10．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知函数
(1)求函数的周期；
(2)若函数，求函数在区间上的值域；
(3)若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解；
（2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解；
（3）将恒成立，转化为求解.
【详解】（1）由诱导公式，，
，
∴的周期．
（2）由（1），知，
，
，
由，则，
故，则.
故在区间上的值域为.
（3）∵，
，
，
∴当时，，
∵恒成立，
等价于，
∴，即，
解得，
∴实数的取值范围为．
11．（2023下·上海宝山·高一校考期中）已知函数
(1)求函数的最小正周期和对称轴．
(2)当时，求函数的单调增区间．
【答案】(1)；对称轴为
(2)
【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式；
（2）用整体代入法，根据正弦函数的单调递增区间，即可求解.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期；
令
对称轴为 ；
（2）当 时， ，
所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增；
所以函数的单调递增区间是.
12．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）已知函数，.
(1)设，求函数的值域；
(2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）；
(3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数的性质求出值域作答.
（2）由（1）的函数，由给定正弦值求出对应角作答.
（3）由（1）结合已知求出角，由三角形面积公式求出，再由余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】（1）依题意，，
显然，所以函数的值域为.
（2）由（1）及，得，由，得，
所以，解得：，
所以所求解集是.
（3）由，即，，得或，
又，解得，
若，则，解得，因此；
若，则，解得，因此，
所以或.
13．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）记.
(1)求关于x的方程的解集；
(2)求函数的单调减区间.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1）解方程，求出方程的解集即可；
(2）结合二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求出函数的递减区间即可．
【详解】（1） ,
令 ，即,
即,即,
解得 或 ,
故关于 x 的方程的解集是或.
（2），
单调减区间即
解得： ,
故的递减区间是.
14．（2023下·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为．
(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）写出解析式，解方程即可；
（2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论；
（3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围．
【详解】（1）由题意，，，
，
又，所以或，即所求集合为；
（2）由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，，
由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
（3）由题意，其中，，
易知时，，
，
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此，
从而，即．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，．
15．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数
(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围
【答案】(1)1，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解；
（3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.
【详解】（1）当时，,
所以当，即 时，所以 ,此时 ；
（2）因为 为偶函数，所以,
所以,
所以
，
又因为在上恒成立，
即在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，且 在上恒成立，
因为，所以，所以，
解得
所以 m 的取值范围为;
（3）因为过点，所以
所以，
又因为,所以,
所以 ，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，

因为，所以 ，
设 ,
则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线，
当 时，在 上单调递增，所以 ,
所以，解得
所以；
当 时， 在上单调递减，
所以 ,
所以，解得
所以;
当时，,
所以，解得所以,
综上所述：所以实数 a 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可.
16．（2023下·上海静安·高一校考期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；

(1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S；
(2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)A在弧的四等分点处， .
【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案.
（2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）作，垂足为H，交于E，连接，

由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称，
则，则，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则
；
（2）因为，则，
，
故，
则
，
因为，所以，故时，取最大值，
即当时，，
即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案.
17．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知函数是定在上的函数，且满足关系．
(1)若，若，求的值域；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
(3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，；当时，.
【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域；
（2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值；
（3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与．
【详解】（1）由题意，
在中，，
在中，
，
当时，，
∴的值域为：.
（2）由题意及（1）得，
在中，
①当即，
，
函数在定义域上单调递减
，，
②当即时，，
函数在单调递增，
在单调递减，
，，
③当即时，，
函数在上单调递增，
，，
④当即时，，
函数在单调递增，
在单调递减，
，，
∴函数是周期为的周期函数，图像如下：
在中，
存在，对任意，有恒成立，
∴
∴当最小时，由图像可知，，
（3）由题意，，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，
设，，
∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点，
∵在周期内，与有1~2个交点，
∴在上有1~4个交点，
∴若在内恰有2022个零点，则，
在中，
当即或，此时有1个交点，
①当函数有两个零点时，
若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点，
，解得：，
∴当有2022个交点时，，
若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点，
，解得：，
或，解得：，
∴当有2022个交点时，，，
②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点，
，解得：，
或，解得：，
∴当有2022个交点时，，，
综上：
当时，；
当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性.