沪教版（2020）必修第二册1向量的概念精品课后作业题

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一．向量的概念与向量的模（共9小题）
1．（2023春•闵行区期末）下列命题中正确的是
A．B．
C．若，则D．若，则
【分析】向量相加后仍是一个向量，错误；
根据向量数量积的计算公式可判断的正误；
向量长度相等，方向不一定相同，从而可判断的正误；
由得出，从而可判断的正误．
【解答】解：，错误；
，正确；
时，与的方向可能不同，与可能不相等，错误；
时，，得不出，错误．
故选：．
【点评】本题考查了向量相加、相减后仍是一个向量，向量数量积的计算公式，向量的定义，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2023春•奉贤区校级期中）在边长为2的正方形中， 2 ．
【分析】由平面向量的线性运算直接计算即可．
【解答】解：正方形的边长为2，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和模，属于基础题．
3．（2023春•浦东新区期末）平面上两点、，则 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：因为、，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式应用问题，是基础题．
4．（2023春•杨浦区校级期末）向量的单位向量为 ．
【分析】可求出，从而得出，代入坐标即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2023春•浦东新区校级期中）与反向的单位向量为 ．
【分析】反向单位向量即为，代入即可．
【解答】解：与反向的单位向量为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的概念，属于基础题．
6．（2023春•浦东新区校级期中）向量的单位向量是 ， ．
【分析】根据单位向量的定义求解．
【解答】解：，，
向量的单位向量是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了单位向量的定义，属于基础题．
7．（2023春•普陀区校级期中）已知，，则向量的单位向量的坐标为 ， ．
【分析】由点、的坐标算出，从而得到，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案．
【解答】解：，，
，可得，
因此，向量的单位向量为：，，．
故答案为：，．
【点评】本题给出、两点的坐标，求向量的单位向量，着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于基础题．
8．（2023春•闵行区校级期中）直角中，，，，点是所在平面上任意一点，则向量的模为 ．
【分析】根据条件可得出，，，然后根据向量的加减运算及向量的数量积运算求解．
【解答】解：由题意，，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量减法的几何意义，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2023春•闵行区校级期中）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为 ．
【分析】根据条件可得出，从而得出，进而得出，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值．
【解答】解：根据题意，当时，最小，
由，
，
，即，
，
当时，由面积法得，，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
二．向量相等与共线（共8小题）
10．（2023春•静安区校级期中）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形为
A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形
【分析】求出，从而四边形为梯形．
【解答】解：在四边形中，
，，，其中，不共线，
．
四边形为梯形．
故选：．
【点评】本题考查四边形形状的判断，考查平面向量加法法则、向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
11．（2023春•奉贤区校级期中）已知向量，，若与同向共线，则
A．3B．C．或3D．0或3
【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得．
【解答】解：因为向量，，与同向共线，
由，可得或，
当时，，，，满足题意，
当时，，，，不满足题意，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
12．（2023春•浦东新区校级期末），，，且、、三点共线，则
A．8B．4C．2D．1
【分析】由已知可求，由、、三点共线得，根据向量共线的定理即可求出的值．
【解答】解：由题得，
因为、、三点共线，
所以，
所以存在实数，使得，
所以，
所以，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量共线基本定理，属于中档题．
13．（2023春•浦东新区校级期中）已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数等于
A．B．C．0D．
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：向量与向量共线，
存在实数使得，即，
，是两个不共线的向量，
且，
则实数．
故选：．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2023春•徐汇区校级期中）已知，是两个不平行的向量，且，，，则一定共线的三点是
A．、、B．、、C．、、D．、、
【分析】由题意，求出和，可得，从而得到、、三点共线．
【解答】解：，是两个不平行的向量，且，，，
，，
，、、三点共线．
故选：．
【点评】本题主要考查用向量证明三点共线的方法，属于基础题．
15．（2023春•虹口区校级期末）下列关于向量的命题，序号正确的是 ①③ ．
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合．
【分析】根据零向量的定义，以及共线向量的性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于①，由零向量的定义可知，零向量平行于任意向量，故①正确；
对于②，对于非零向量，若，则和是平行向量，
则和是方向相同或相反的非零向量，所以不一定等于，故②错误；
对于③，对于非零向量，若，则，故③正确；
对于④，对于非零向量，若，则与所在直线平行或重合，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了共线向量的性质，考查了零向量的定义，属于基础题．
16．（2023春•浦东新区校级期中）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：向量，不平行，向量与平行，
，
，解得实数．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
17．（2023春•浦东新区校级期中）设，是不共线向量，与共线，则实数的值为 ．
【分析】与共线，则存在实数，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于和的方程，解方程即可．
【解答】解：与共线，
，
，，
，
故答案为．
【点评】掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基底的概念，并能够用基表示平面内的向量．
三．向量的加法（共3小题）
18．（2021春•虹口区校级期中）在等边中， ．
【分析】根据向量加法的几何意义进行运算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，零向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（2023春•奉贤区校级期末）向量加法运算： ．
【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量加法的运算法则，属于基础题．
20．（2022春•闵行区校级期中）中， ．
【分析】根据向量加法的三角形法则首尾相接，先将化为，进而可以求出答案．
【解答】解：
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量加法及其几何意义，其中正确理解向量夹角的三角形法则是解答本题的关键，其中易忽略向量线性运算的结果还为向量，而错解为0．
四．向量的减法（共1小题）
21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，，则的单位向量的坐标为 ，或， ．
【分析】利用平面向量的线性坐标运算求出，，再利用单位向量的定义求解即可．
【解答】解：，，
，
，
的单位向量的坐标为，或，．
故答案为：，或，．
【点评】本题考查了平面向量的线性坐标运算，单位向量的求法，是基础题．
五．向量的三角形法则（共3小题）
22．（2022春•奉贤区校级期中）已知是的边上的中线，若、，则等于
A．B．C．D．
【分析】先利用因为是的边上的中线得到，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．
【解答】解：因为是的边上的中线，
又①
②
①②：
．
故选：．
【点评】本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．
23．（2022春•徐汇区校级期中）若，则的取值范围是 ， ．
【分析】利用平面向量的线性运算及几何意义求解即可．
【解答】解：，且，
，
即的取值范围是，；
故答案为：，．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及几何意义，属于基础题．
24．（2023春•黄浦区校级期中）在中，，．若点满足，则 （用，表示）．
【分析】根据三角形法则，写出的表示式，根据点的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．
【解答】解：如图所示，在中，
又，．
．
故答案为：
【点评】本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目．
六．向量加减混合运算（共2小题）
25．（2023春•青浦区校级期中）下列式子中，不能化简为的是
A．B．C．D．
【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案．
【解答】解：对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
26．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，则 ．
【分析】利用向量的线性运算即可得出．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题．
七．两向量的和或差的模的最值（共1小题）
27．（2021春•浦东新区校级月考）已知向量，，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值．
【分析】根据两个向量垂直的性质可得，由此解得的值，从而得出．
利用向量的模的定义化简，再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出的最大值．
【解答】解：，，
当时有最大值，此时，最大值为．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，向量的模的定义，以及三角公式的应用．属于基础题．
八．向量数乘和线性运算（共1小题）
28．（2022春•徐汇区校级期中）已知，则实数 ．
【分析】根据已知条件，结合向量的运算法则，即可求解．
【解答】解：，
，即，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
九．平面向量数量积的含义与物理意义（共3小题）
29．（2023春•杨浦区校级期中）向量在向量方向上的投影为 ．
【分析】根据投影的计算公式及向量数量积的坐标运算即可求出在方向上的投影的值．
【解答】解：向量在向量方向上的投影为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
30．（2023春•杨浦区校级期末）向量在向量方向上的数量投影为 ．
【分析】根据平面向量投影的定义计算即可．
【解答】解：向量，，
，，
所以在方向上的数量投影为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
31．（2023春•奉贤区校级期中）已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为，求解即可．
【解答】解：向量，方向相反，且，，根据投影的定义可得：
在方向上的数量投影为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题．
一．填空题（共12小题）
1．（2022春•奉贤区校级期中）已知是腰长为1的等腰直角三角形，其中，点是所在平面上的任意一点，则向量的模为 ．
【分析】根据条件可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2021春•浦东新区校级月考）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有 39 个．
【分析】求出模为的对角线，求解即可．
【解答】解：如图，
设小正方形的边长为1，则，
则长度为的对角线有20个，
分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
模与的模相等的向量（除本身）共有个，
故答案为：39．
【点评】本题考查向量模的定义，基本知识的考查．
3．（2021春•浦东新区校级期末）已知，则 ．
【分析】由得得，即，结合可解决此题．
【解答】解：由得得，即，
，得，．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量加减运算、数乘运算，考查数学运算能力，属于基础题．
4．（2021春•普陀区校级月考）已知，，且，则点的坐标是 ， ．
【分析】设出点的坐标，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求出、的值即可．
【解答】解：设点，由，，
，
，
又，
，
解得；
点的坐标是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与线性运算问题，是基础题．
5．（2020春•宝山区校级期末）设，，且，则 0 ．
【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再求的值．
【解答】解：由，，且，
则，
所以，
所以；
所以，；
所以．
故选：0．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题．
6．（2020春•杨浦区校级期末）已知等差数列的前项和为，若（向量，不平行），、、共线，则 1010 ．
【分析】根据题意即可得出，然后根据等差数列的前项和公式即可求出的值．
【解答】解：不平行，，，共线，且，
，
又为等差数列，
．
故答案为：1010．
【点评】本题考查了三点，，共线，且时，可得出，等差数列的前项和公式，考查了计算能力，属于基础题．
7．（2022春•宝山区校级期中）如图，定圆半径为3，、为圆上的两点，且的最小值为1，则 ．
【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论，，时的最小值情况，据此即可求．
【解答】解：当时，，不满足题意；
当时，设，延长到，使，
则，
则，
取中点为，则，则在中，
，
此时无最小值不满足题意；
当时，设，
则，
取中点为，则，
由图可知，
的最小值为1，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是中档题．
8．（2021春•浦东新区校级月考）已知点、、是直线上不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程的解集为 ．
【分析】设且，再利用平面向量基本定理，列出方程组即可求解．
【解答】解：点、、是直线上不同的三个点，存在实数且，使得，
，，
化为，
由平面向量基本定理可得，
或，
且，
关于的方程的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，属于中档题．
9．（2022秋•浦东新区校级月考）已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，则的取值范围是 ， ．
【分析】建立坐标系，设，求出的坐标，得出关于的三角函数，从而得出答案．
【解答】解：如图示：
以，为坐标轴建立坐标系，则，，
，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
，是的中点，
设，则，
，
，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值．
故答案为：，．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
10．（2021春•徐汇区校级期末）已知正方形的边边为1，当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值与最大值的和是 ．
【分析】由题意可得，，，化简，由于，2，3，4，5，取遍，由完全平方数的最值，可得所求最值．
【解答】解：正方形的边长为1，可得，，，
，
由于，2，3，4，5，取遍，
可得，，可取，，，，
可得所求最小值为0；
由，的最大值为4，可取，，，，，
可得所求最大值为．所以最小值与最大值的和是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于中档题．
11．（2022春•徐汇区校级期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时 3 ．
【分析】先根据平面向量数量积的定义求出， 夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点的几何意义，最后确定取最小值时的值．
【解答】解：，而，，
，，，，，，
，
，，
向量满足，，
如图所示，
若，，，，
则，，
，在以为圆心，2为半径的圆上，
若，则，
由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值，
此时，，
又，，．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（2023春•双城区校级期中）已知向量，，，则向量的模的最大值是 ．
【分析】根据向量的坐标运算先求出的坐标，再代入向量模的公式，利用两角和的正弦公式进行化简，再由正弦函数的最值，求出的最大值．
【解答】解：，，，
，，
，
当时，有最大值，且为，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，以及三角恒等变换中一些公式应用，正弦函数性质的应用，是向量和三角函数相结合的题目，也是常考的题型．
二．选择题（共8小题）
13．（2023春•丽水期末）如图，、、三点在半径为1的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是
A．5B．8C．10D．12
【分析】连接，可知为的中点，计算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值．
【解答】解：连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，
，
当且仅当、、共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：．
【点评】本题主要考查两向量和的模的最值，属于中档题．
14．（2023春•阿拉善左旗期末）下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【分析】对，向量模相等，则向量不一定有共线关系；对，向量共线定理判断；对，利用向量平行（或共线）的性质判断，对利用非零向量的单位向量的求解方法求解．
【解答】解：若，则与不一定有共线关系，所以选项错误；
若，此时不存在，选项错误；
若，由，，不一定得到，选项不正确；
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15．（2023春•宿州期中）已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是
A．B．
C．D．
【分析】由向量加法的平行四边形法则直接判断．
【解答】解：由向量加法的平行四边形法知，其中两向量的和向量应该与第三个力的方向相反，结合答案只有满足．
故选：．
【点评】本题考查向量加法的平行四边形法，属于基础题．
16．（2023春•邢台月考）下列条件中能得到的是
A．B．与的方向相同
C．为任意向量D．且
【分析】由题意，根据零向量和相等的向量的定义，得出结论．
【解答】解：由，可得他们的模相等，但方向不确定，故不能推出，故排除；
根据与的方向相同，但不知它们的模，故不能推出，故排除；
由于零向量的模为零，而不一定为零，故不正确；
由于所有的零向量都相等，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查零向量和相等的向量，属于基础题．
17．（2023春•公主岭市期末）如图，已知，，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则
A．1B．2C．D．
【分析】由题意得，分别是线段，的中点，，结合向量数量积的运算，即可得出结果．
【解答】解：由题意得，分别是线段，的中点，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18．（2023春•大祥区校级期中）已知是锐角三角形的外接圆圆心，，若，则的值是
A．B．C．D．1
【分析】取的中点，则，从而可得，从而可得，从而解得的值．
【解答】解：取的中点，则，
代入，得，，
，
，
，
，
由，化简可得，，
，
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的运算及解三角形的运算应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．
19．（2023春•德安县校级期末）已知非零向量，满足，且，则的最小值为
A．B．3C．D．1
【分析】根据条件及向量数量积的运算，向量减法和加法的几何意义可得出，然后设，则，取的中点，从而得出，然后得出当，，三点共线时，取最小值，设此时，得出，，然后在和中，根据余弦定理得出，根据关于的一元二次方程有解即可求出的范围，进而得出的最小值．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，
，
如图，设，则，取的中点，因为，
所以，
所以取最小值时，也取最小值，
，此时，，三点共线，
设此时，则，，
因为，
所以由余弦定理得，
即，得，
由△，得，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了向量加法、减法的几何意义，向量数量积的运算，余弦定理，一元二次方程有解时判别式的取值，考查了计算能力，属于难题．
20．（2022春•台江区校级期末）平面内不同的三点，，满足，若，，的最小值为，则
A．B．C．D．
【分析】设，，，作关于对称的点，根据向量的线性运算化简题中的等式为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求出，利用余弦的二倍角公式求出，即可求解．
【解答】解：如图，设，则点在线段上运动，
，
设，则，
，
，
即的最小值为，
作关于对称的点，设，
则，，
在中，，，，
由余弦定理得，
又，所以，
则，
故选：．
【点评】本题考查向量的综合应用，考查余弦定理，属于难题．
三．解答题（共4小题）
21．（2023春•雨山区校级期中）如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若，求实数的值．
【分析】（1）利用向量的线性运算，即可用，分别表示向量，；
（2）若，利用，共线，求实数的值．
【解答】解：（1）由题意，为的中点，且，
，
，
；
（2），
，
，，共线，
，
．
【点评】本题考查向量的线性运算，考查向量共线条件的运用，属于中档题．
22．（2023春•船山区校级期中）在的边、上分别有一点、，已知，，连接、，设它们交于点，若，．
（Ⅰ）用与表示；
（Ⅱ）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围．
【分析】根据点在边上且，点在边上且，我们易将向量和表示成，．再根据三点共线，三点共线，我们可以分别得到两个关于，的分解形式，利用平面向量的基本定理，易构造关于，的方程，进而可用与表示；
由，，与的夹角，结合的结论及，我们易求出的取值范围．
【解答】解：由，点在边上且，
可得，
．同理可得．（2分）
设，
则，
．（4分）
向量与不共线，
解得
．（5分）
设，则，
．（6分）
，
，
即（8分）
又，，，
．（10分）
，
，
，，
．
故的取值范围是．（12分）
【点评】本题考查的知识点是平面向量的定理及其意义，向量的模，其中根据平面向量的基本定理，得到，，三点共线时，（其中为直线外任一点，且是解答的关键．
23．（2023春•历下区校级月考）两个非零向量、不共线．
（1）若，，，求证：、、三点共线；
（2）求实数使与共线．
【分析】（1）由，即可、、三点共线．
（2）由于与共线．存在实数使得．利用向量基本定理即可得出．
【解答】（1）证明，
、、三点共线．
（2）解：与共线．
存在实数使得．
，
，解得．
．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．（2023春•无锡期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，
（1）延长交于点（图，求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值．
【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由，，三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；
（2）根据题意，将作为基底表示，由，，三点共线可知，的系数之和为1，即可求出为一定值；根据题意，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可．
【解答】解：（1）依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为，，三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）证明：根据题意，
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
根据题意，，
，
所以，
由可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，属于难题．