人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2旋转中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

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专题23.2 旋转中的几何综合典例分析 【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP'、PP'，则△BPC≌△BP'A，然后利用△BP'P和△APP'形状的特殊性求出∠BP'A的度数，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP'，连接AP'、PP'，∵BP=BP'，∠P'BP=60°，∴△PBP'是等边三角形，∴∠BP'P=60°，PP'=PB=3．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P'BP−∠ABP，即∠PBC=∠P'BA．请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=17，PB=22，PC=1，则∠BPC=______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题．（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，证明△PBC≌△P'BA，再证明△AP'P是直角三角形；（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，证明△PBC≌△P'BA，再证明△AP'P是直角三角形；（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，证明△POA≌△P'OD，在△PDP'由三角形三边关系求出PP'的最大值，从而求得OP的最大值．【解题过程】（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP'、PP'，∵BP=BP'，∠P'BP=60°，∴△PBP'是等边三角形，∴∠BP'P=60°，PP'=PB=P'B=3．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P'BP−∠ABP，即∠PBC=∠P'BA．∴△PBC≌△P'BA∴PC=AP'=1在△APP'中，AP'2+PP'2=12+(3)2=22=AP2∴∠AP'P=90°∴∠AP'B=∠BP'P+∠AP'P=60°+90°=150°∴∠BPC=∠BP'A=150°．（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP'、PP'，∵BP=BP'，∠P'BP=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P'BP−∠ABP，即∠PBC=∠P'BA．∴△PBC≌△P'BA∴PC=AP'=1在△APP'中，AP'2+PP'2=12+42=(17)2=AP2∴∠AP'P=90°∴∠AP'B=∠BP'P+∠AP'P=45°+90°=135°∴∠BPC=∠BP'A=135°．故答案为：135°．（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，连接DP'、PP'．∵OP=OP'，∠P'OP=90°，∴△POP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，PP'=2PB=4．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P'OD−∠POD，即∠POA=∠P'OD．∴△POA≌△P'OD∴PA=P'D=4在△DPP'中，PP'