初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题，共86页。
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A3，0，B5，0，
①在点P16，0，P21，−2，P33，2中，线段AB的融合点是______；
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，Aa,0，Ba+1,0，直线l过点T0,−1，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P1，P3是线段AB的融合点，
故答案为；P1，P3；
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l2，如图2所示．
∵A3，0，B5，0，
∴AB=2,
∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=TA'，TB=TB'，
∴点A'在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B'在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TATB时，
当以T为圆心，TB−1为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴0−a−12+−1−02=6，
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，TA+1为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴0−a2+−1−02=2，
∴a2+1=4，
∴a=−3（正值舍去）；
∴−35−1≤a≤−3时，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点；
综上所述，当3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3时存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点．
1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0到直线Ax+By+c=0A2+B2≠0的距离公式为：d=Ax0+By0+CA2+B2，例如，求点P1,3到直线4x+3y−3=0的距离．解：由直线4x+3y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P1,3到直线4x+3y−3=0的距离为：d=4×1+3×3−342+32=2根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P11,−1到直线3x−4y−5=0的距离．
（2）已知：⊙C是以点C2,1为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34x+b相切，求实数b的值；
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出△ABP面积的最大值和最小值．
2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P1，3是“垂距点”．
（1）在点A2，2，B32，−52，C−1，5中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为1，0，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D−1,−1，E2,0，F0,4中，⊙O的外称点是 ；
②若点Mm,n为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G22,22，求m的取值范围;
（2）直线y=−x+b过点A1,1， 与x轴交于点B. ⊙T的圆心为Tt,0, 半径为1若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.
4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2，连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出r的取值范围；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°