人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程精练

这是一份人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程精练，共33页。试卷主要包含了直接开平方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法概念等内容，欢迎下载使用。
换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。
知识点总结
一、直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
二、配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
三、公式法解一元二次方程
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
四、因式分解法概念
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
典例分析

【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程x2−12−5x2−1+4=0，我们将x2−1看成一个整体，然后设x2−1=y，则原方程化为y2−5y+4=0，∴y−1y−4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2−1=1，∴x=±2；当y=4时，x2−1=4，∴x=±5．综上所述：x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
请利用以上方法解下面方程：
（1）x4−2x2−8=0；
（2）x2+32−9x2+3+20=0；
（3）3x−12x−8x3x−1=3．
【思路点拨】
（1）设x2=y，则y2−2y−8=0，解得y1=4,y2=−2，根据y=x2>0，得出x2=4，求解即可；
（2）设x2+3=y，则y2−9y+20=0，解得：y1=4,y2=5，分别求解当y=4时，和当y=5时，方程x2+3=y的解即可；
（3）设3x−12x=y，则y−4y=3，求解y1=4,y2=−1，分别求解当y=4时和当y=1时方程 3x−12x=y的解即可．
【解题过程】
（1）解：x4−2x2−8=0，
设x2=y，
y2−2y−8=0，
y−4y+2=0，
y−4=0或y+2=0，
解得：y1=4,y2=−2，
∵y=x2>0，
∴y=4，
∴x2=4，
解得：x1=2,x2=−2．
（2）解：x2+32−9x2+3+20=0，
设x2+3=y，
y2−9y+20=0，
y−4y−5=0，
y−4=0或y−5=0，
解得：y1=4,y2=5，
当y=4时，x2+3=4，解得：x=±1，
当y=5时，x2+3=5，解得：x=±2，
综上：x1=1,x2=−1,x3=2,x4=−2．
（3）解：3x−12x−8x3x−1=3，
设3x−12x=y，
y−4y=3，
y2−3y−4=0，
y−4y+1=0，
y−4=0或y+1=0，
y1=4,y2=−1，
经检验，y1=4,y2=−1，是方程y−4y=3的解，
当y=4时，3x−12x=4，
解得：x=−15，
经检验，x=−15是方程3x−12x=4的解；
当y=1时，3x−12x=1，
解得：x=1，
经检验，x=1是方程3x−12x=1的解；
综上：x1=−15,x2=1．
学霸必刷
1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：
（1）2t2−6t+3=0（用配方法）
（2）3x−52=25−x（用因式分解法）
（3）2x2−4x−1=0（公式法）
2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：
（1）2x−12−18=0
（2）9x2−12x−1=0
（3）x2+5x=6
（4）3x2x−5=4x−10
3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．
（1）2x−32=x2−9（因式分解法）
（2）2x2−3x−3=0（公式法）
4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程
（1）x−1x+2=4；
（3）2x−3x+4=x2−10．
5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程
（1）x2−3x−1=0
（2）x2x+3=4x+6
（3）x−22−7x−2=18
（4）2x+32=x2−6x+9
6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程
（1）x−32=25；
（2）x2−x−1=0；
（3）x2−6x+8=0；
（4）x2−x2−5x2−x+6=0
7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程
（1）x2+4x−12=0
（2） x2−3x+2=0
（3）xx−1=x
（4）x2−3x+1=0
（5）4x+12=5x+22
（6）2x+12+32x+1+2=0．
8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．
9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：11+x=y11+y=z11+z=x．
10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：
（1）2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
（2）2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．
11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程x−2x2+2+x2+2x−2=103．
12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x2+3x−3x2+3x−7=9．
13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：
（1）x−2x+2−16x2−4=x+2x−2．
（2）x+42−5x+4=0．
14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
（1）x+2−8−x=2；
（2）2xx2−2x−3−1x−3=1；
（3）2x2−32x2−1+1=0
15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题
（1）①方程x2-2x+1=0的解为 ；
②方程x2-3x+2=0的解为 ；
③方程x2-4x+3=0的解为 ；
（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0的解为 ，并用配方法解方程进行验证；
（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2-1+mx+m=0的解为 ．
16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2+x−2=0，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程4x+5=x的解．
17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2−y−6=0①，解①得y1=−2，y2=3．当y1=−2时，x2=−2无意义，舍去；当y2=3时，x2=3，解得x=±3；∴原方程的解为x1=3，x2=−3；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）x2−2x2−5x2+10x+6=0；
（2）3x2+15x+2x2+5x+1=2．
18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：x2+x−2=0．
解：∵x2=|x|2，
∴方程即为：|x|2+x−2=0，
设x=t，原方程转化为：t2+t−2=0
解得，t1=1，t2=−2，
当t1=1时，即x=1，∴x1=1，x2=−1；
当t2=−2时，即x=−2，不成立．
∴综上所述，原方程的解是x1=1，x2=−1．
以上解方程的过程中，将其中x作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
（1）已知方程：x2+1x2−2x−2x−1=0，若设x+1x=m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是______；
（2）仿照上述方法，解方程：1x−1x+1−5=0．
19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：x2−3x+2=0，将方程左边因式分解得：x−1x−2=0，则x−1=0或x−2=0，解得x1=1,x2=2．根据以上材料，解答下列问题：
（1）解方程：x2−4x+3=0；
（2）解方程：x2−6x2+4⋅x2−6x−5=0．
20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4−6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−6y+5=0，
解这个方程得：y1=1，y2=5．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±5
所以原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=5，x4=−5．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程x2−x2−4x2−x−12=0得到方程的解为______．
（2）若x2+y2+1x2+y2+3=8，求x2+y2的值．
（3）利用换元法解方程：x2−42x+2xx2−4=2．
专题21.1 解一元二次方程
思想方法
换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。
知识点总结
一、直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
二、配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
三、公式法解一元二次方程
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
四、因式分解法概念
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
典例分析

【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程x2−12−5x2−1+4=0，我们将x2−1看成一个整体，然后设x2−1=y，则原方程化为y2−5y+4=0，∴y−1y−4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2−1=1，∴x=±2；当y=4时，x2−1=4，∴x=±5．综上所述：x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
请利用以上方法解下面方程：
（1）x4−2x2−8=0；
（2）x2+32−9x2+3+20=0；
（3）3x−12x−8x3x−1=3．
【思路点拨】
（1）设x2=y，则y2−2y−8=0，解得y1=4,y2=−2，根据y=x2>0，得出x2=4，求解即可；
（2）设x2+3=y，则y2−9y+20=0，解得：y1=4,y2=5，分别求解当y=4时，和当y=5时，方程x2+3=y的解即可；
（3）设3x−12x=y，则y−4y=3，求解y1=4,y2=−1，分别求解当y=4时和当y=1时方程 3x−12x=y的解即可．
【解题过程】
（1）解：x4−2x2−8=0，
设x2=y，
y2−2y−8=0，
y−4y+2=0，
y−4=0或y+2=0，
解得：y1=4,y2=−2，
∵y=x2>0，
∴y=4，
∴x2=4，
解得：x1=2,x2=−2．
（2）解：x2+32−9x2+3+20=0，
设x2+3=y，
y2−9y+20=0，
y−4y−5=0，
y−4=0或y−5=0，
解得：y1=4,y2=5，
当y=4时，x2+3=4，解得：x=±1，
当y=5时，x2+3=5，解得：x=±2，
综上：x1=1,x2=−1,x3=2,x4=−2．
（3）解：3x−12x−8x3x−1=3，
设3x−12x=y，
y−4y=3，
y2−3y−4=0，
y−4y+1=0，
y−4=0或y+1=0，
y1=4,y2=−1，
经检验，y1=4,y2=−1，是方程y−4y=3的解，
当y=4时，3x−12x=4，
解得：x=−15，
经检验，x=−15是方程3x−12x=4的解；
当y=1时，3x−12x=1，
解得：x=1，
经检验，x=1是方程3x−12x=1的解；
综上：x1=−15,x2=1．
学霸必刷
1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：
（1）2t2−6t+3=0（用配方法）
（2）3x−52=25−x（用因式分解法）
（3）2x2−4x−1=0（公式法）
【思路点拨】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）利用公式法解一元二次方程即可得．
【解题过程】
（1）解：2t2−6t+3=0，
2t2−6t=−3，
t2−3t=−32，
t2−3t+94=−32+94，即t−322=34，
t−32=±32，
t=32±32，
t1=3+32,t2=3−32．
（2）解：3x−52=25−x，
3x−52+2x−5=0，
x−53x−5+2=0，即x−53x−13=0，
x−5=0或3x−13=0，
x1=5,x2=133．
（3）解：方程2x2−4x−1=0中的a=2,b=−4,c=−1，
所以方程根的判别式为Δ=b2−4ac=24>0，
所以方程的解为x=−−4±242×2=2±62，
即x1=2+62,x2=2−62．
2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：
（1）2x−12−18=0
（2）9x2−12x−1=0
（3）x2+5x=6
（4）3x2x−5=4x−10
【思路点拨】
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用公式法求解即可；
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用因式分解法求解即可．
【解题过程】
（1）解：2x−12−18=0，
2x−12=18，
x−12=9，
x−1=±3，
x1=4,x2=−2；
（2）解：9x2−12x−1=0，
a=9,b=−12,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=−122−4×9×−1=180>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=12±6518，
解得：x1=2+53,x2=2−53；
（3）解：x2+5x=6，
x2+5x−6=0，
x−1x+6=0，
x−1=0,x+6=0，
x1=1,x2=−6；
（4）解：3x2x−5=4x−10，
3x2x−5=22x−5，
3x2x−5−22x−5=0，
3x−22x−5=0，
3x−2=0,2x−5=0，
x1=23,x2=52．
3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．
（1）2x−32=x2−9（因式分解法）
（2）2x2−3x−3=0（公式法）
【思路点拨】
本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式先因式分解，移项，之后提取公因式x−3，利用因式分解法求解即可求得答案；
（2）利用公式法求解即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：2x−32=x2−9
2x−32=x−3x+3
2x−32−x−3x+3=0
x−32x−3−x+3=0
x−3x−9=0
x−3=0或x−9=0
解得x1=3或x2=9；
（2）解：2x2−3x−3=0
∵a=2，b=−3，c=−3，
x=3±−32−4×2×−32×2=3±334
∴x1=3−334=−32，x2=3+334=3．
4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程
（1）x−1x+2=4；
（3）2x−3x+4=x2−10．
【思路点拨】
本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
（1）方程整理为x2+x−6=0，运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）方程整理为x2+2x+1=15，利用配方法解一元二次方程即可．
【解题过程】
（1）解：∵x−1x+2=4，即x2+x−2=4，
∴x2+x−6=0，即x+3x−2=0，
∴x+3=0或x−2=0，
∴x1=−3，x2=2；
（2）解：∵2x−3x+4=x2−10，即x2+2x+1=15，
∴x+12=15，
∴x+1=±15，即x=±15−1，
∴x1=15−1，x2=−15−1．
5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程
（1）x2−3x−1=0
（2）x2x+3=4x+6
（3）x−22−7x−2=18
（4）2x+32=x2−6x+9
【思路点拨】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解题过程】
（1）解：方程x2−3x−1=0中的a=1,b=−3,c=−1，
则方程根的判别式为Δ=−−3±−32−4×1×−12×1=3±132，
所以方程的解为x1=3+132，x2=3−132．
（2）解：x2x+3=4x+6，
x2x+3=22x+3，
x2x+3−22x+3=0，
2x+3x−2=0，
2x+3=0或x−2=0，
x=−32或x=2，
所以方程的解为x1=−32，x2=2．
（3）解：x−22−7x−2=18，
设x−2=y，则y2−7y=18，
y2−7y−18=0，
y+2y−9=0，
y+2=0或y−9=0，
y=−2或y=9，
x−2=−2或x−2=9，
x=0或x=11，
所以方程的解为x1=0，x2=11．
（4）解：2x+32=x2−6x+9，
2x+32=x−32，
2x+32−x−32=0，
2x+3+x−32x+3−x+3=0，
3xx+6=0，
x=0或x=−6，
所以方程的解为x1=0，x2=−6．
6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程
（1）x−32=25；
（2）x2−x−1=0；
（3）x2−6x+8=0；
（4）x2−x2−5x2−x+6=0
【思路点拨】
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用换元法解方程即可；
【解题过程】
（1）解：x−32=25
x−3=5或x−3=−5，
解得：x1=8，x2=−2；
（2）解：x2−x−1=0
a=1，b=−1，c=−1，
b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=−(−1)±52×1=1±52，
解得：x1=1+52，x2=1−52；
（3）x2−6x+8=0
x2−6x=−8
x2−6x+9=−8+9
(x−3)2=1
x−3=1或x−3=−1，
解得：x1=4，x2=2；
（4）x2−x2−5x2−x+6=0
解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5y+6=0，
(y−2)(y−3)=0,
解得y1=2，y2=3，
当y=2时，x2−x=2，解得：x1=−1，x2=2；
当y=3时，x2−x=3，解得：x3=1+132，x4=1−132；
∴x1=−1，x2=2，x3=1+132，x4=1−132．
7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程
（1）x2+4x−12=0
（2） x2−3x+2=0
（3）xx−1=x
（4）x2−3x+1=0
（5）4x+12=5x+22
（6）2x+12+32x+1+2=0．
【思路点拨】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）先移项，然后提取公因式x，再利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可；
（5）先移项，然后利用平方差公式进行因式分解求解即可；
（6）令2x+1=t，则原方程可化为t2+3t+2=0，求出t的值，进而可得出x的值．
【解题过程】
（1）x2+4x−12=0
x−2x+6=0
x−2=0或x+6=0
x1=2，x2=−6；
（2）x2−3x+2=0
x−2x−1=0
x−2=0或x−1=0
x1=2，x2=1；
（3）xx−1=x
xx−1−x=0
xx−2=0
x=0或x−2=0
x1=0， x2=2；
（4）x2−3x+1=0
∵a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=−32−4×1×1=5>0，
∴x=3±52，
∴x1=3+52，x2=3−52；
（5）4x+12=5x+22
4x+12−5x+22=0
4x+1+5x+24x+1−5x−2=0
9x+3−x−1=0
−33x+1x+1=0
3x+1=0或x+1=0
x1=−13，x2=−1；
（6）2x+12+32x+1+2=0
令2x+1=t，则原方程可化为t2+3t+2=0
t+1t+2=0
t+1=0或t+2=0
t1=−1，t2=−2
则2x1+1=−1，2x2+1=−2
解得x1=−1，x2=−32．
8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．
【思路点拨】
把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x−14)(x2+5x+4)=19，然后设y=(x2+5x−14)+(x2+5x+4)2=x2+5x−5，解得y的值，最后解得x的值．
【解题过程】
解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．
设y=(x2+5x−14)+(x2+5x+4)2=x2+5x−5，①
则（y-9）（y+9）=19，
即y2-81=19．
解得y1，2=±10，将y1、y2的值代入①式得，
x2+5x−5=10或x2+5x−5=−10，
解得x1=−5+852,x2=−5−852,x3=−5+52,x4=−5−52．
9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：11+x=y11+y=z11+z=x．
【思路点拨】
利用代入消元法先求出一个未知数的值，再依次求其他未知数的值即可．
【解题过程】
解：把11+z=x代入11+x=y得：y=1+z2+z
把11+y=z代入y=1+z2+z得：
y=2+y2y+3
去分母得：2y2+3y=2+y
整理得：y2+y−1=0
解得y=−1±52
当y=−1+52时，z=11+y=−1+52，x=11+z=−1+52
当y=−1−52时，z=11+y=−1−52，x=11+z=−1−52，
∴方程组的解为：x=−1+52y=−1+52z=−1+52或x=−1−52y=−1−52z=−1−52．
10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：
（1）2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
（2）2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．
【思路点拨】
（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
【解题过程】
（1）解：2x2−7x2−21x2﹣7x+10＝0
设x2−7x=a，
则2a2−21a+10=0
2a−1a−10=0
∴2a−1=0或a−10=0，
解得，a1=0.5，a2=10，
∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，
∴2x2−14x−1=0或x2−7x−10=0，
解得，x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892，x4＝7−892；
（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0
设2x2+3x＝a，
则a2−4a−5＝0
a−5a+1＝0，
∴a−5=0或a+1=0，
解得，a1=5，a2=﹣1，
∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，
∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，
解得，x1=−2.5，x2=1，x3=−0.5，x4=−1．
11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程x−2x2+2+x2+2x−2=103．
【思路点拨】
本题考查了解含有二次根式的方程即无理方程；运用换元法解方程是本题的最大特点；根据方程的特点，令y=x−2x2+2，转化为解分式方程，求得y的值，最后即可求解．
【解题过程】
解：令y=x−2x2+2，则y≥0，x2+2x−2=1y，
原方程化为：y+1y=103，
整理得：3y2−10y+3=0，
解得：y1=13，y2=3；
经检验得，y1=13，y2=3是方程y+1y=103的解；
当y=13时，即x−2x2+2=13，
平方并整理得：x2−9x+10=0，
解得：x1=4，x2=5；
显然两个解均满足方程x−2x2+2=13；
当y=3时，即x−2x2+2=3，
平方并整理得：9x2−x+20=0，
由于Δ=(−1)2−4×9×20