北师大版九年级上册数学第4章《图形的相似》测试卷（含答案解析）

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北师大版九年级上册数学第4章《图形的相似》测试卷一、单选题1．若ba=23，则下列式子不正确的是（   ）A．ab=32 B．a+bb=53 C．a3=b2 D．aa−b=32．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为 5−12如图，P为线段AB的黄金分割点（AP>PB），．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（     ）A．55−5cm B．15−55cm C．6.18cm D．55+5cm3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有（   ）对相似三角形  A．2 B．3 C．4 D．54．已知△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，S△DEF=6，AB=8，则AB边上的高等于（   ）A．3 B．6 C．9 D．125．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若AB=4,BC=3,DF=14，则DE的长为（     ）A．6 B．7 C．8 D．96．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA:AA′=1:2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（    ）A．1:2 B．1:4 C．4:9 D．1:37．如图，AD为等边△ABC的边BC上的高，AB=4，AE=1，P为AD上一动点，则PE+PB的最小值为（　　）A．15 B．14 C．13 D．238．如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC，过C点作CF⊥BE，连接AF并延长交CD于点G，交CE于点M．则下列结论：①∠AME=45°；②AD⋅EF=DG⋅BF；③若AF=4，FM=3，则CD=5；④若BC=2AB，则EC=2EM．其中正确的是（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题9．在比例尺是1:300000的地图上，如果某条道路长约为4cm，那么它的实际长度约为 km．10．已知ab=cd=ef=32(b+d+f≠0)，则a+c+eb+d+f= ．11．如图，AB∥CD，AD、BC交于点O，AOOD=13，且△AOB的周长是12cm，则△COD的周长是 cm．12．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，当AC=9，CD=2时，BC= ．13．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′．设AB=36cm，A′B′=24cm．小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．15．如图△ABC中，BC=12cm，高AD=8cm，正方形PQMN如图所示，则正方形边长PQ= ．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，棱长为1的立方体展开图有两边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 ．三、解答题17．如图，P是▱ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N．(1)若BCCP=32，求CNDN的值；(2)求证：AM2=MN⋅MP．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6，点P是线段BD上的动点，点E、F分别是线段AD和线段BD上的点，且DE=DF=BP，连接EP、EF．(1)求证：EF∥CD．(2)当BP>BF时，如果EF=EP，求线段BP的长．19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0，A(2,1)，B1,2．(1)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1；(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2:1；(3)判断△O1A1B1和△OA2B2是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．20．如图，在地面上的点C处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD=2米，小华的吸睛E到地面的距离ED=1.5米．将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华移动到点H处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH=3米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB．21．（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°，连接AD，BE，则BEAD=_______（2）如图2，正方形ABCD的边长为8m，E为边AB上一动点，以CE为斜边在正方形ABCD内部作等腰直角三角形△CEF，∠CFE=90°，连接DF，求∠CDF的度数．（3）在（2）的条件下，如图3，连接DE，求△DEF面积的最大值． 22．已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，求证：△OCP∽△PDA；(2)若图1中△OCP与△PDA的相似比为1:2，求边AB的长；(3)如图2，在（2）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交于PB点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．23．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请直接写出BD和CE的数量关系．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34．连接BD，CE．①求BDCE的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若BGCG=14，AB=6，求BF的长．参考答案：1．解：由ba=23可设a=3k,b=2k，∴A、ab=3k2k=32，正确，故不符合题意；B、a+bb=3k+2k2k=52，原结果错误，故符合题意；C、a3=b2=k，原结果正确，故不符合题意；D、aa−b=3k3k−2k=3，正确，故不符合题意；故选B．2．解：∵P为AB的黄金分割点，AP>PB，∴APAB=5−12，∵AB的长度为10cm，∴AP10=5−12，∴AP=55−1cm，故选A．3．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，同理可得：△BDF∽△BAC，∴△ADE∽△DBF，∵DE∥BC、DF∥AC，∴∠DEF=∠EFC,∠DFE=∠FEC，∴△DEF∽△CFE，综上，图中共有4对相似三角形．故选C．4．解：∵△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，∴△DEF与△ABC的相似比为1:2，∴△DEF与△ABC的面积比为1:4，∵S△DEF=6，∴△ABC的面积为24∵AB=8，则AB边上的高等于24×28=6故选：B．5．解：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC=DEEF，∵AB=4,BC=3,DF=14，∴43=DE14−DE，∴DE=8．故选C．6．解：∵OA:AA′=1:2，∴OA:OA′=1:3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC:A′C′=OA:OA′=1:3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1:3，故选：D．7．解：如图，E′为点E关于AD的对称点，连接B E′，过点E′作E′ F⊥BC于点F，∵E与E′关于AD对称，∴PE=P E′，∴PE+PB=P E′ +PB，∵P E′ +PB≥B E′，∴PE+PB的最小值为B E′，∵△ABC为等边三角形，AD为BC上的高，AE=1，AB=4，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，点D为BC中点，A E′ =1，AC=BC=4，∴C E′ =3，BD=CD=2，∴△ACD∽△ E′ CF，∴ CE′AC=CFCD，∴ CF=CE′×CDAC=34×2=32，∴DF=CD﹣CF=2﹣32=12∴BF=BD+DF=52∵ E′F=CE2−CF2=32−322=272，∴ BE′=BF2+E′F2=522+2722=13，∴PE+PB的最小值为13，故选：C．8．解：①∵四边形ABCD是矩形，∠ABC=∠BAC =90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∵CF⊥BE，∴∠BCF=∠CBE=45°，∴BE=2AB，BC=2BF，∴BEBA=BCBF=2，∴△BAF∽△BEC，∴∠BAF=∠BEC，设∠EAF=x，则有∠BEC=∠BAF=90°−x，∴∠EMF=180°−∠EAF−∠AEB−∠BEC=180°−x−45°−90°−x=45°；故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AGD=∠BAF，∵∠BAF=∠BEC，∴∠BEC=∠AGD，即：∠CEF=∠AGD，∵∠CFE=∠ADG=90°，∴△CEF∽△AGD，∴EFGD=CFAD，∴AD⋅EF=DG⋅CF， ∵∠BCF=∠CBE=45°∴CF=BF，∴ AD⋅EF=DG⋅BF故②正确；③如图，延长CF交AD于H，由①②得：∠EHF=∠FEH =∠AME=45°，∴HF=EF，∴HF+CF=EF+BF，即：CH=BE，∵∠AEM=∠CEH，∴△AEM∽△CEH，∴AMCH=AECE，∵ AF=4，FM=3，∴AM=7，由①得：△BAF∽△BEC，∴AFEC=ABEB=12，∴4EC=12，解得：CE=42，∴7BE=AE42，∴72AB=AB42，解得：AB=27，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=27≠5，故③错误；④由上过程得：BE=2AB，∵ BC=2AB，∴BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=∠BAF，由③得：△AEM∽△CEH，∴∠EAM=∠ECH=x，∴90°−x=45°+x，解得：x=22.5°，∴∠EAM=∠ECH=22.5°，∵∠EMF=∠ECH+∠CFM，∴22.5°+∠CFM=45°，解得：∠CFM=22.5°，∴ ∠CFM=∠MCF=22.5°∴FM=CM，同理可证：FM=EM，∴CM=FM=EM，∴ EC=2EM，故④正确；故选：B．9．解：因为比例尺为1:300000，且图上距离是4cm，所以实际距离是4×300000=1200000cm=12km．故答案为：12．10．解：∵ab=cd=ef=32(b+d+f≠0)，∴a+c+eb+d+f=32，故答案为：32．11．解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵AO:OD=1:3，∴△AOB的周长：△COD的周长=1:3，∵△AOB的周长为12cm，∴△COD的周长是36cm，故答案为：36．12．解：如图，∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A+∠DBA=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠A=∠CBD，∴△CDB∽△BDA，∴CDDB=DBAD，即DB2=CD⋅AD，∵AC=9，CD=2，∴AD=AC−CD=7，∴DB2=14，利用勾股定理可得BC=CD2+DB2=32,故答案为：32．13．解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，∴对折后的矩形的长为y，宽为x2，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x:y=y:x2，∴y2=x22，解得x:y=2:1．故答案为：2:1．14．解：由题意得：AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，如图，过O作OC⊥AB于点C，CO交A′B′于点C′，∴OC′⊥A′B′，OC=30cm，∴A′B′AB=OC′OC，即2436=OC′30，∴OC′=20（cm），即小孔O到A′B′的距离为20cm，故答案为：20．15．解：如下图，设AD与PN交于点I，设正方形的边长为xcm，∵四边形PQMN为正方形，∴PN=MN=QM=PQ=xcm，PN∥BC，∵AD为△ABC的高，即AD⊥BC，∴AI⊥PN，∵PN∥BC，∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C，∴△APN∽△ABC，∴AIAD=PNBC，即8−x8=x12解得x=4.8cm，∴正方形边长PQ=4.8cm．故答案为：4.8cm．16．解：如图：由题意得：△BDE、△EHF，△EGA是直角三角形，四边形DEGC是矩形，BC∥EG，DE∥HF∥AC，DE=HF=2，DC=EG=3，HE=1，∴∠BDE=∠EHF=∠EGA=90°，∠DEB=∠HFE=∠GAE，∴△EHF∽△EGA，∴ HEEG=HFAG，在△BDE和△EHF中，∠BDE∠EHFDE=HF∠DEB=∠HFE，∴△BDE≌△EHF(ASA)，∴DB=HE=1，∴ 13=2AG，∴AG=6，∴S△ABC=S△BDE+S△EGA+S矩形DEGC=12×1×2+12×3×6+2×3=16，故答案为：16．17．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵BCCP=32，∴ADCP=32，∵AD∥BC，∴△ADN∽△PCN，∴CNDN=CPAD=23；（2）证明：∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠MBP，∠DAM=∠BPM，∴△ADM∽△PBM，∴ AMPM=DMBM，∵在▱ABCD中，AB∥DC，∴∠ABD=∠BDN，∠BAM=∠MND，∴△ABM∽△NDM，∴ MNAM=DMBM，∴ AMMN=BMDM=PMAM，∴AM2=MN⋅MP．18．（1）解：∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DBC，∵DE=DF，BD=BC，∴ DEDF=1，BDBC=1，∴ DEDF=BDBC，∴△DEF∽△BCD，∴∠DFE=∠BDC，∴EF∥CD；（2）解：如图，设BP=x，则DF=x，FP=2x−10，∵△DEF∽△BCD，∴ EFDC=FDCB，∴ EF4=x10，∴EF=25x，∵EF=EP，∴∠EFP=∠EPF，∵DE=DF，∴∠EFP=∠FED，∴∠EPF=∠FED，∴△EFP∽△DEF，∴ EFDE=FPEF，∴EF2=DE⋅FP，∴(25x)2=(2x−10)⋅x，解得，x=0（舍)或x=12523<6，即：BP=12523．19．（1）解：如图所示，△O1A1B1即为所求．（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．（3）解：如图所示，△O1A1B1和△OA2B2是位似图形，点M即为位似中心，M−4,220．解：设AB=x米，BC=y米．∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴ABED=BCDC，∴x1.5=y2，∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，∴△ABF∽△GHF，∴ABGH=BFHF，∴x1.5=y+103，∴y2=y+103，解得：y=20，∴x=15，∴树的高度AB为15米．21．解：（1）∵ △ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°∴∠ACB=∠ECD=45°，ACBC=CDCE=12∴△BCE∽△ACD∴BEAD=BCAC=2故答案为：2；（2）连接AC，如图所示∵四边形ABCD是正方形∴∠EAC=45°=∠ACD，CDAC=12∵△CEF为等腰直角三角形，∠CFE=90°∴∠FCE=45°，CFCE=12∴∠ACF+∠DCF=∠ACF+∠ACE=45°∴∠ACE=∠DCF∴△ACE∽△DCF∴∠CDF=∠CAE=45°（3）作FH⊥CD交CD于H，不妨设FH=a，如图所示：由（2）可知，∠FDC=45°那么△DFH为等腰直角三角形∴FH=DH=a那么CH=8−a∴CF2=FH2+CH2=a2+(8−a)2∴S△CDE=12DC⋅CB=32，S△CDF=12CD⋅FH=4a，S△CEF=12CF2=a2+(8−a)22∴S△DEF=S△CED−S△CEF−S△CDF=32−4a−a2+(8−a)22=−a2+4a=−(a−2)2+4∴a=2时，S△DEF最大，此时最大值为422．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：∠APO=∠B=90°．∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．（2）如图1： ∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，△OCP∽△PDA，∴OCPD=OPPA=CPDA=14=12．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8−x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=（8−x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=12PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，∠QMF=∠BNF∠QFM=∠BFNQM=BN，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=12QB．∴EF=EQ+QF=12PQ+12QB=12PB．由（2）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB=82+42=45．∴EF=12PB=25．∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为25．23．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴ADAE=ABAC=12，∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=ABAC=12=22；（3）解：①∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，设AB=3a， ∴△ABC∽△ADE，BC=4a，AC=5a．∴∠BAC=∠DAE， ABAC=ADAE=35，∴∠CAE=∠BAD， ∴△CAE∽△BAD，∴BDCE=ADAE=35；②由①得：△CAE∽△BAD，AB=6，ABAC=35，则AC=10∴∠ACE=∠ABD，∵∠AGC=∠BGF，∴△BGF∽△CGA，∴BGCG = BFAC = 14．∴BF= 52．题号12345678  答案BACBCDCB