第03讲 基本不等式（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容
2.能掌握基本不等式的解题方法
3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题
4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式
知识讲解
知识点.基本不等式
1．基本不等式的形式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
考点一、直接法
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．y=x2+2x+4B．y=sinx+4sinx
C．y=2x+22−xD．y=lnx+4lnx
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合题意，C符合题意．
【详解】对于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥3，当且仅当x=−1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；
对于B，因为0对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y=2x+22−x=2x+42x≥24=4，当且仅当2x=2，即x=1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；
对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为0,1∪1,+∞，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=−1，y=−5，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
2．（2021·天津·高考真题）若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为 ．
【答案】22
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】∵ a>0,b>0，
∴1a+ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，
当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，
所以1a+ab2+b的最小值为22.
故答案为：22.
1.（2024·宁夏银川·二模）已知A(3,0),B(−3,0)，P是椭圆x225+y216=1上的任意一点，则|PA|⋅|PB|的最大值为 .
【答案】25
【分析】先根据条件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.
【详解】由已知可得A(3,0),B(−3,0)为椭圆x225+y216=1的焦点，
根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10，
所以|PA|⋅|PB|≤|PA|+|PB|22=25，
当且仅当|PA|=|PB|=5时等号成立，
故|PA|⋅|PB|的最大值为25.
故答案为：25.
2.（2024·甘肃定西·一模）x2+7x2+7的最小值为（ ）
A．27B．37C．47D．57
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意知x≠0，所以x2>0,7x2>0，
所以x2+7x2+7≥2x2⋅7x2+7=37.
当且仅当x2=7x2，即x2=7时，等号成立.
故选：B.
3.（2024·全国·模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为（ ）
A．2B．22C．32D．42
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】8x+4y=23x+22y≥223x⋅22y=223x+2y=22，
当且仅当23x=22y且3x+2y=1，即x=16,y=14时等号成立，
故选：B.
4.（2024·重庆·模拟预测）若实数a，b满足ab=2， 则 a2+2b2的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．42
【答案】D
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】a2+2b2≥22a2b2=22×22=42，
当且仅当a2=2b2时，等号成立.
故选：D.
5.（2024·安徽·模拟预测）若a>0，b>0，则“a+b≤2”是“a+b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证必要性即可得.
【详解】当a=b=1时，a+b≤2成立，而a+b≤1不成立，
故“a+b≤2”不是“a+b≤1”的充分条件；
当a+b≤1时，有a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，
则a+b=a+b2=a+b+2ab≤2a+b=2≤2，
故“a+b≤2”是“a+b≤1”的必要条件.
故选：B.
6.（2024·四川成都·三模）若正实数a,b满足a2+b2=m，则a+b的最大值为 （用m表示）．
【答案】2m
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】因为a,b是正实数，a2+b2=m，所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+(a2+b2)=2m，
当且仅当a=b=2m2时取等号，于是a+b≤2m，
所以a+b的最大值为2m.
故答案为：2m
考点二、配凑法

1.（2024高三·全国·专题练习）若函数fx=x+1x−3x>3在x=a处取最小值，则a= ．
【答案】4
【分析】利用配凑法可得fx=x−3+1x−3+3，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】fx=x+1x−3=x−3+1x−3+3≥2(x−3)⋅1x−3+3=5，
当且仅当x−3=1x−3即x=4时取等号，
即x=4时取最小值，故a=4．
故答案为：4
2.（2022·重庆·模拟预测）已知x>0，则2x+42x+1的最小值为 .
【答案】3
【分析】将原式变形为2x+1+42x+1−1，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】解：2x+42x+1=2x+1+42x+1−1≥22x+1⋅42x+1−1=3，当且仅当2x+1=2，即x=12时，等号成立.
故答案为：3.
1.（2023高三·全国·专题练习）若x>1，则x2+2x+2x−1的最小值为
【答案】25+4/4+25
【分析】由已知可得x−1>0，变形可得x2+2x+2x−1=x−1+5x−1+4，然后根据基本不等式即可得出答案.
【详解】由x>1，则x−1>0.
因为x2+2x+2=x−12+4x−1+5，
所以x2+2x+2x−1=x−1+5x−1+4 ≥2x−1⋅5x−1+4=25+4，
当且仅当x−1=5x−1，即x=5+1时等号成立，
故x2+2x+2x−1的最小值为25+4.
故答案为：25+4.
2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为22的是（ ）
A．y=csx+2csxB．y=x+8−x
C．y=2x+22−xD．y=2x4+8x2+10x2+2
【答案】B
【分析】利用对勾函数的性质判断A、D，利用基本不等式判断C，将y=x+8−x两边平方，即可求出y的范围，从而判断B.
【详解】对于A：因为0所以当csx=1时ymin=3，故A错误；
对于B：将y=x+8−x两边平方得y2=8+2−x2+8x，
因为−x2+8x=−(x−4)2+16，所以y2≥8（当x=0或x=8时等号成立），又y>0，
所以ymin=22，故B正确；
因为2x>0，所以y=2x+22−x≥22x⋅22−x=4，当且仅当2x=22−x，即x=1时取等号，故C错误；
对于D：y=2x4+8x2+10x2+2=2x2+22+1x2+2=2x2+2+1x2+2，又x2+2≥2，y=x+1x在2,+∞上单调递增，
所以当x2+2=2，即x=0时ymin=5，故D错误．
故选：B．
3.（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则yy−x−4x2x+y的最小值为 .
【答案】23
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对yy−x−4x2x+y进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值.
【详解】由题y>x>0，所以
yy−x−4x2x+y=yy−x−4x+2y−2y2x+y=yy−x+2y2x+y−2
=y1y−x+22x+y−2=y22y−2x+22x+y−2
=132y−2x+2x+y22y−2x+22x+y−2
=232+2x+y2y−2x+2y−2x2x+y−2
≥232+22x+y2y−2x·2y−2x2x+y−2=83−2=23，
当且仅当2x+y2y−2x=2y−2x2x+y，即2x+y=2y−2x，即y=4x时等号成立.
故答案为：23.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离−4x2x+y=−4x+2y−2y2x+y=2y2x+y−2和配凑y=132y−2x+2x+y.
4.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则1+2b+4cb−1的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由题意可得Δ≤0化简得c≥b24，所以1+2b+4cb−1≥ (b−1)+4b−1+4，利用基本不等式即可求解
【详解】因为不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则Δ=b2−4c≤0⇒c≥b24，
因为b>1，所以b−1>0，
∴1+2b+4cb−1≥b2+2b+1b−1=(b−1)2+4(b−1)+4b−1 =(b−1)+4b−1+4≥2(b−1)×4b−1+4=8．
当且仅当b−1=4b−1，即b=3时，取到等号．
故答案为：8
考点三、常数“1”的代换
1.（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈0,+∞，1m+n=4，则m+9n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】∀m,n∈0,+∞，m+9n=14m+9n1m+n=1410+mn+9mn≥1410+2mn⋅9mn=4，
当且仅当mn=9mn，即m=1，n=3时等号成立.
故选：B.
2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，则ab+3b的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】将1a+1b=1变形为ab=a+b，代入ab+3b，再通过常数代换和基本不等式可得.
【详解】因为1a+1b=1，所以ab=a+b，
所以ab+3b=a+4b=a+4b1a+1b=5+4ba+ab≥5+24=9，
当且仅当a=3,b=32时，等号成立，所以ab+3b的最小值为9.
故选：B
1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+y=1，则4x+1y的最小值为 ．
【答案】9
【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解.
【详解】4x+1y=4x+1yx+y=5+4yx+xy≥5+24yx⋅xy=9，
当4yx=xy，即x=2y，联立x+y=1，得到x=23,y=13时，等号成立，
所以4x+1y的最小值为9.
故答案为：9
2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则1a−1+1b的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据a>1>b>0，将a2+2b=b2+2a化简可得a+b−2=0，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【详解】由a2+2b=b2+2a可得a−ba+b−2=0，
因为a>1>b>0，所以a−b≠0，即a+b−2=0，则a−1+b=1，
则1a−1+1b=1a−1+1ba−1+b=2+ba−1+a−1b≥2+2ba−1⋅a−1b=4，
当且仅当ba−1=a−1b，即a=32,b=12时等号成立，故1a−1+1b的最小值为4.
故答案为：4.
3.（2024·上海徐汇·二模）若正数a、b满足1a+1b=1，则2a+b的最小值为 .
【答案】3+22/22+3
【分析】根据基本不等式求解．
【详解】由已知2a+b=(2a+b)(1a+1b)=3+2ab+ba≥3+22，当且仅当2ab=ba，即a=1+22,b=1+2时等号成立，故所求最小值是3+22．
故答案为：3+22．
4.（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1b2+ab=1，则ab的最大值为（ ）
A．2−2B．2+2C．4+22D．4−22
【答案】D
【分析】首先变形ab=ab×2a2+2ab+1b2+ab，化简后换元ab=x>0，转化为关于x的式子，利用基本不等式求最值.
【详解】ab=ab×2a2+2ab+1b2+ab=2aba2+2ab+abb2+ab，
=2ab+2+1ba+1，
设ab=x>0，
则ab=2x+2+11x+1=2x+2+xx+1=2x+2−1x+1+1，
=xx+2x+1+1=1x+2x+3+1≤122+3+1=4−22，
当x=2x，即x=2，ab=2时等号成立，
所以ab的最大值为4−22.
故选：D
5.（2024·宁夏·二模）直线ax+by−1=0过函数f(x)=x+1x−1图象的对称中心，则4a+1b的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得fx的对称中心，从而得到a+b=1，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为y=x+1x为奇函数，所以函数图象关于(0,0)中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数f(x)=x+1x−1的图象，
所以fx的对称中心为(1,1)，所以a+b=1，
所以4a+1b=a+b4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab，即a=2b=23时，等号成立，
所以4a+1b的最小值为9．
故选：A
6.（2024·河南·模拟预测）已知点Px,y在以原点O为圆心，半径r=7的圆上，则1x2+1+4y2+1的最小值为（ ）
A．49B．5+229C．79D．1
【答案】D
【分析】由题可得点P满足的圆方程x2+y2=7，进而x2+1+y2+1=9，然后利用基本不等式结合条件即得.
【详解】由题意可得点P的坐标满足x2+y2=7，所以，x2+1+y2+1=9．
因此，1x2+1+4y2+1=19x2+1+y2+11x2+1+4y2+1
=195+y2+1x2+1+4x2+1y2+1≥195+2y2+1x2+1×4x2+1y2+1=1.
当且仅当y2+1x2+1=4x2+1y2+1时，即x=±2,y=±5时取等号．
故选: D．
考点四、和积定值
1.（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+4b=ab−5，则ab的取值范围为（ ）
A．[25,+∞)B．[1,+∞)C．0,5D．0,1
【答案】D
【分析】首先确定0【详解】因为a,b∈(−∞,0)，a+4b=ab−5，则a+4b<0，所以0又ab−5=a+4b=−−a+4−b≤−24ab=−4ab，
即ab+4ab−5≤0，即ab+5⋅ab−1≤0，解得0所以0即ab的取值范围为0,1.
故选：D．
2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数x，y满足23x+2y−xy=0，则当xy取得最小值时，x+2y=（ ）
A．4+83B．2+43C．3+63D．8+63
【答案】A
【分析】根据条件，利用基本不等式及取等号的条件，可得x=4，y=43，即可求出结果.
【详解】由题意可得3x+y=12xy≥ 23xy，平方得xy≥163，
当且仅当3x=y，即x=4，y=43时取得等号，
故xy取得最小值时，x+2y=4+83.
故选：A.
1.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数a,b满足(1+a)3a=(1+b)3b，则ab的取值范围是 ．
【答案】0,14
【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.
【详解】将(1+a)3a=(1+b)3b两边展开，
得到a2+3a+3+1a=b2+3b+3+1b，
从而a2−b2+3a−b+1a−1b=0，
故a−ba+b+3−1ab=0，而a≠b，
故a+b+3−1ab=0，又a＞0，b＞0，
故1ab=a+b+3>2ab+3，
从而2(ab)3+3(ab)2<1．
设函数gx=2x3+3x2，则gab观察易得gx在0,+∞上单调递增，故ab<12，
又a>0,b>0，所以0故答案为：0,14.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab的不等式2(ab)3+3(ab)2<1，再构造函数gx=2x3+3x2并利用函数的单调性解决问题.
2.（2024·湖北·模拟预测）若正数a，b满足：a3+b2=ab，则a的最大值为（ ）
A．13B．14C．2D．2
【答案】B
【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可.
【详解】因为a，b为正数，所以a3+b2≥2a3b2=2aba，
因为a3+b2=ab，所以ab≥2aba，
所以1≥2a，所以a≤14，当且仅当a=14，b=18时，取等号.
故选：B.
考点五、消元法
1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=12，则x+y的最小值为（ ）
A．1+26B．8C．62D．1+23
【答案】A
【分析】由题意得y=12−2xx−3=−2+6x−3，进一步表示出x+y=x−3+6x−3+1，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为x>3，且xy+2x−3y=12，所以y=12−2xx−3=−2+6x−3，
从而x+y=x−2+6x−3=x−3+6x−3+1≥26+1，等号成立当且仅当x=6+3,y=6−2，
所以x+y的最小值为1+26.
故选：A.
2.（2024·云南·模拟预测）已知正数x,y满足x+y=4，则1x−y4的最小值为 .
【答案】0
【分析】根据题意，化简得到1x−y4=1x−4−x4=1x+x4−1，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正数x,y满足x+y=4，可得y=4−x，
所以1x−y4=1x−4−x4=1x+x4−1≥214−1=0，当且仅当x=y=2时取等号，
所以1x−y4的最小值为0.
故答案为：0.
1.（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为 ．
【答案】42−1/−1+42
【分析】依题意可得x=y+10y+2，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为x>0，y>0且xy+2x−y=10，
所以x=y+10y+2，
所以x+y=y+10y+2+y=8y+2+y+2−1≥28y+2⋅(y+2)−1=42−1，
当且仅当8y+2=y+2，即y=22−2，x=1+22时，等号成立，
故x+y的最小值为42−1．
故答案为：42−1．
2.（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S=11+a+11+2b的最小值．
【答案】22−2
【分析】根据条件，b=1a代入消去b，将S的表达式分离常数得S=1−1a+2a+3，利用基本不等式求得结果.
【详解】∵a,b>0，ab=1，
∴S=11+a+11+2b=11+a+11+2a
=11+a+aa+2=a2+2a+2a2+3a+2=1−aa2+3a+2
=1−1a+2a+3，
∵a+2a≥2a⋅2a=22，当且仅当a=2a，即a=2时等号成立，
所以S≥1−122+3=22−2.
故S的最小值为22−2.
3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+y的最小值为（ ）
A．2103B．103C．23D．13
【答案】A
【分析】根据题意分析可知2x+y=5x3+23x，利用基本不等式运算求解.
【详解】因为正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则y=23x−x3，
则2x+y=2x+23x−x3=5x3+23x≥25x3⋅23x=2103，
当且仅当5x3=23x，即x=105,y=41015时，等号成立，
所以2x+y的最小值为2103.
故选：A.
考点六、双换元
1.（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a−b，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．2+2D．22
【答案】A
【分析】由不等式可得λ≤a3+b3a−b−a2b2=b2+a2ab−b2=1+(ab)2ab−1，求出右边的最小值，进而可得λ的最大值．
【详解】因为a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a−b，可得λ≤a3+b3a−b−a2b2=b2+a2ab−b2=1+(ab)2ab−1，
设t=ab>1，只需要λ小于等于右边的最小值即可，
则1+(ab)2ab−1=1+t2t−1，
令s=t−1>0，可得t=s+1，
所以1+(s+1)2s=s+2s+2≥2s⋅2s+2=22+2，当且仅当s=2s，即s=2时取等号，
所以λ≤2+22，
即λ的最大值为2+22．
故选：A．
2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足a>b，ab=4，则a3+b3a2−b2的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】已知条件化简可得：a3+b3a2−b2=a2+b2−aba−b=(a−b)2+4a−b=a−b+4a−b，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由题意得a3+b3a2−b2=a2+b2−aba−b=(a−b)2+4a−b=a−b+4a−b，
令t=a−b>0，则a3+b3a2−b2=t+4t≥4，当且仅当t=2时，等号成立．
故选:C．
1.（2024·全国·模拟预测）已知x>y>0，6x+y+2x−y=1，则2x−y的最小值为 ．
【答案】12
【分析】令a=2x+y，b=2x−y，从而可得x=1a+1b，y=1a−1b，再根据2x−y=1a+3b3a+b，结合基本不等式求解即可.
【详解】令a=2x+y，b=2x−y，则x+y=2a，x−y=2b，且a>0，b>0，
所以x=1a+1b，y=1a−1b．
又3a+b=1，所以2x−y=21a+1b−1a−1b=1a+3b=1a+3b3a+b
=3+ba+9ab+3≥6+2ba⋅9ab=12，
当且仅当a=16，b=12，即x=8，y=4时，等号成立．
故答案为：12
2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x>23,y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，求m的最大值．
【答案】16
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为a,b 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】因为x>23，y>2，所以3x−2>0，y−2>0，
令a=3x−2，b=y−2，则a>0，b>0，x=a3+23，y=b+2，
所以9x2y−2+y23x−2=9a3+232b+b+22a=a2b+4ab+4b+b2a+4ba+4a
=a2b+b2a+4ab+4ba+4b+4a≥2a2b⋅b2a+24ab⋅4ba+24b⋅4a
=2ab+8+8ab≥22ab×8ab+8=16，
当且仅当a2b=b2a且4ab=4ba且4b=4a且2ab=8ab，即a=b=2，
即x=43，y=4时，等号成立，
又不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，所以m≤16，即m的最大值为16.
1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数x，y满足1x+y=2，则x+4y的最小值是（ ）
A．4B．92C．5D．9
【答案】B
【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为x，y是正实数，所以xy>0
故有x+4y=121x+yx+4y=125+xy+4xy≥12(5+24)=92，
当且仅当xy=4xy，即x=32，y=43时取到等号.
故选：B.
2．（2024·天津·二模）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线上的点M4,y0到F的距离为6，双曲线x2a2−y2b2=1a>0，b>0的左焦点F1在抛物线的准线上，过点F1向双曲线的渐近线作垂线，垂足为H，则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2B．3C．5D．3
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求p、F、F1，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
【详解】设双曲线右焦点F2，易知Fp2,0，MF=4+p2=6⇒p=4，
即F2,0,F1−2,0,F22,0，而双曲线的一条渐近线为y=bax，
易知F1H=bca2+b2=b，a2+b2=c2=4所以OH=a，
由双曲线的性质可知S△HF1F2=2S△HF1O=ab，
由基本不等式可知ab≤a2+b22=2，当且仅当a=b=2时取得等号.
故选：A
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“ab>1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若a=1.5,b=0.6，满足a+b>2，但ab<1，
若a>0,b>0，ab>1，则a+b≥2ab>2，即a+b>2，
所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·天津南开·一模）已知实数a>0,b>0,a+b=1，则2a+2b的最小值为 .
【答案】22
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，
∴2a+2b≥22a×2b=22a+b=22，当且仅当2a=2b即a=b=12时取等号.
故答案为：22.
5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则x−yx+y2的最大值为 .
【答案】18/0.125
【分析】令x−y=t，对不等式变形得到x−yx+y2=1t+16t，利用基本不等式进行求解.
【详解】令x−y=t，则t>0，
x−yx+y2=tx−y2+4xy=tt2+16=1t+16t≤12t⋅16t=18，
当且仅当t=16t，即t=4时，等号成立，
所以x−yx+y2的最大值为18
故答案为：18
6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是 ．
【答案】9
【分析】利用基本不等式得a+b=ab−3≥2ab，再解不等式可得结果.
【详解】因为a+b=ab−3≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立），
所以(ab)2−2ab−3≥0，
所以(ab−3)(ab+1)≥0，所以ab≥3，所以ab≥9，
所以ab的最小值为9.
故答案为：9
7．（2024·天津·模拟预测）若a>0，b>0，且a+b=1，则a+1ab+1b的最小值为
【答案】254
【分析】先对a+1ab+1b进行等式变形，利用a+b=1把原式化简为ab+2ab−2，再利用均值不等式可得ab≤14，然后由函数y=x+1x在区间(0,14]上是单调递减，即可得到最小值为254.
【详解】由a+1ab+1b=ab+ba+ab+1ab=ab+a2+b2ab+1ab=ab+a+b2−2abab+1ab，
因为a+b=1，所以上式=ab+1−2abab+1ab=ab+2ab−2，
又因为a>0，b>0，由均值不等式得：0利用函数y=x+1x在区间(0,14]上是单调递减可知：
(a+1a)(b+1b)=ab+2ab−2≥14+214−2=254，
当且仅当a=b=12时取到最小值.
故答案为：254
1．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12+e22的最小值为（ ）
A．3+3B．5+32C．2+32D．4
【答案】C
【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：x2a12+y2b12=1，x2a22−y2b22=1，易得a12−b12=a22+b22=c2，设PF1=m,PF2=n，利用椭圆和双曲线的定义得到m=a1−a2,n=a1+a2，然后在△PF1F2中，利用余弦定理得到1e12+3e22=4，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：x2a12+y2b12=1，x2a22−y2b22=1，
由题意得a12−b12=a22+b22=c2，
设PF1=m,PF2=n，则m+n=2a1,n−m=2a2，
解得m=a1−a2,n=a1+a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得：F1F22=PF12+PF22−2PF1⋅PF2⋅cs∠F1PF2，
即2c2=a1−a22+a1+a22−a1−a2a1+a2，化简得4c2=a12+3a22，
则1e12+3e22=4，
所以e12+e22=14e12+e221e12+3e22=14e22e12+3e12e22+4，
≥142e22e12⋅3e12e22+4=2+32，
当且仅当e22e12=3e12e22，即e22=3e12时，等号成立；
故选：C
2．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a ∥ b且xy>0，则x2+yxy的最小值为（ ）
A．2+1B．2+2C．4D．2−1
【答案】A
【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出x2+yxy=xy+y2x+1，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.
【详解】∵a=1,1， b=2x+y,2，其中xy>0，且a//b，
∴2x+y=2，
∴x2+yxy=xy+1x=xy+x+y2x=xy+y2x+1≥2xy⋅y2x+1=2+1，
当且仅当y=2x即x=2−2时取等号，
∴x2+yxy的最小值为2+1.
故选：A.
3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列an中，a4，3a3，a5成等差数列．若数列an中存在两项am，an，使得2a1为它们的等比中项，则1m+4n的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】先根据题意求出首项及公比，再根据等比中项的定义求出m+n，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】设正项等比数列an公比为q，由a4，3a3，a5成等差数列，
有6a3=a4+a5，即6a3=a3q+a3q2，得q2+q−6=0，
由q>0，解得q=2，
若数列an中存在两项am，an，使得2a1为它们的等比中项，
则2a12=am⋅an，即2a12=a1qm−1⋅a1qn−1，得2m+n−2=2，则m+n=3，
1m+4n=131m+4nm+n=131+nm+4mn+4≥135+2nm⋅4mn=3，
当且仅当nm=4mn，即m=1,n=2时等号成立，
所以1m+4n的最小值为3．
故选：B
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S8−2S4=6，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10B．14C．20D．24
【答案】D
【分析】设正项等比数列an的公比为q，推导出q>1，S4=6q4−1，可得出a9+a10+a11+a12=6q4−1+1q4−1+2，结合基本不等式可求得a9+a10+a11+a12的最小值.
【详解】设正项等比数列an的公比为q，则q>0，
所以，S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+q4a1+a2+a3+a4
=S41+q4，
则S8−2S4=S4q4−1=6，则q4>1，可得q>1，则S4=6q4−1，
所以，a9+a10+a11+a12=q8a1+a2+a3+a4=S4q8=6q8q4−1=6q4−1+12q4−1
=6q4−12+1+2q4−1q4−1=6q4−1+1q4−1+2≥62q4−1⋅1q4−1+2=24，
当且仅当q4−1=1q4−1q>1时，即当q=42时，等号成立，
故a9+a10+a11+a12的最小值为24.
故选：D.
5．（2024·天津武清·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且AM⋅AN=52，则MD⋅DN的最小值为 .
【答案】22；22−52
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设BM=λBC=−λ,λ，CN=μCE=0,μ，λ,μ∈0,1，进而根据题意得λμ=12，再根据坐标运算得MD⋅DN=λ+12λ−52，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为AB=2CD=2AD=2，
所以A0,0,B2,0,D0,1,C1,1,E1,2，
所以，AE=1,2,CB=1,−1，
所以，向量AE在向量CB上的投影向量为AEcsAE,CB⋅CBCB=52⋅1−25⋅21,−1=−121,−1=−12,12，
故其模为−122+122=22.
因为M，N分别为线段BC，CE上的动点，
所以，设BM=λBC=−λ,λ，CN=μCE=0,μ，λ,μ∈0,1
所以AM=AB+BM=2−λ,λ,AN=AC+CN1,1+μ，
所以AM⋅AN=2−λ+λ+λμ=52，即λμ=12，
所以MD=AD−AM=λ−2,1−λ,DN=AN−AD=1,μ，
所以MD⋅DN=λ−2+μ1−λ=λ+μ−52=λ+12λ−52≥212−52=22−52，
当且仅当λ=12λ，即λ=22时等号成立.
故答案为：22；22−52
6．（2024·天津·模拟预测）已知正△ABC的边长为3，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，AM=λAB，AN=μAC，BD=DC.
（1）若AN=2NC，则AD⋅BN= ；
（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 .
【答案】 −34/−0.75 49
【分析】根据AD⋅BN=12(AB+AC)⋅(23AC−AB)，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得AO=13λAM+13μAN，根据三点共线可得1λ+1μ=3，利用三角形的面积公式可得S△AMNS△ABC=λμ，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）AD⋅BN=12(AB+AC)⋅(AN−AB)=12(AB+AC)⋅(23AC−AB)
=12(−13AB⋅AC+23AC2−AB2)=12×(−13×3×3×12+23×3−3)=−34；
（2）因为AO=23×12(AB+AC)=13AB+13AC，所以AO=13λAM+13μAN，
因为M，O，N三点共线，故13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，
又因为S△AMNS△ABC=12|AM|⋅|AN|⋅sinA12|AB|⋅|AC|⋅sinA=λμ，而λ,μ∈0,1，1λ+1μ=3，
则1λ+1μ=3≥21λ⋅1μ，即λμ≥49，当且仅当λ=μ=23时取等号，
所以△AMN与△ABC的面积之比的最小值为49.
故答案为：−34；49.
7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，当x= 时，1x+14y+1取得最小值，最小值是 ．
【答案】 3−322 1+223
【分析】由x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，利用对数运算得到x+2y=1，即2x+4y+1=3，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：∵lg2x+lg4y=lg2x+2y=lg2，
∴x+2y=1,2x+4y+1=3，1x+14y+1=13×22x+14y+1(2x+4y+1)，
=133+2(4y+1)2x+2x4y+1 =133+22(4y+1)2x⋅2x4y+1≥1+223，
当且仅当2(4y+1)2x=2x4y+1时“＝”成立，
又∵x+2y=1，
∴ 2x2−12x+9=0,x=3±322，
∵2y=1−x>0,∴x<1，∴x=3−322，
即当x=3−322时，1x+14y+1取得最小值1+223．
故答案为：3−322;1+223．
1．（2020·天津·高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b
=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，
结合ab=1,解得a=2−3,b=2+3，或a=2+3,b=2−3时，等号成立.
故答案为：4
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
2．（2019·天津·高考真题） 设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
【答案】92.
【分析】把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．
【详解】由x+2y=4，得x+2y=4≥22xy，得xy≤2
(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92，
等号当且仅当x=2y，即x=2,y=1时成立．
故所求的最小值为92．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
3．（2021·全国·高考真题）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则MF1⋅MF2的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF1+MF2=2a=6，借助基本不等式MF1⋅MF2≤MF1+MF222即可得到答案．
【详解】由题，a2=9,b2=4，则MF1+MF2=2a=6，
所以MF1⋅MF2≤MF1+MF222=9（当且仅当MF1=MF2=3时，等号成立）．
故选：C．
4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=12CD→，记AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE⃗= ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
【答案】 14a+12b 1324
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE⋅AF可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0，可得AE+ED=ADAE+EC=AC，
两式相加，可得到2AE=AD+AC，
即2AE=12a+b，则AE=14a+12b；
空2：因为BF=13BC，则2FB+FC=0，可得AF+FC=ACAF+FB=AB，
得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB，
即3AF=2a+b，即AF=23a+13b.
于是AE⋅AF=14a+12b⋅23a+13b=1122a2+5a⋅b+2b2.
记AB=x,AC=y，
则AE⋅AF=1122a2+5a⋅b+2b2=1122x2+5xycs60∘+2y2=1122x2+5xy2+2y2，
在△ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2−2xycs60∘=x2+y2−xy=1，
于是AE⋅AF=1122xy+5xy2+2=1129xy2+2，
由x2+y2−xy=1和基本不等式，x2+y2−xy=1≥2xy−xy=xy，
故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，
则x=y=1时，AE⋅AF有最大值1324.
故答案为：14a+12b；1324.

5．（2018·天津·高考真题）已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为 .
【答案】14
【分析】由题意首先求得a−3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】由a−3b+6=0可知a−3b=−6，
且：2a+18b=2a+2−3b，因为对于任意x，2x>0恒成立，
结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×2a×2−3b=2×2−6=14.
当且仅当2a=2−3ba−3b=−6，即a=−3b=1时等号成立.
综上可得2a+18b的最小值为14.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
6．（2017·天津·高考真题）若a,b∈R，ab>0，则a4+4b4+1ab的最小值为 .
【答案】4
【详解】a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab⋅1ab=4 ，（前一个等号成立条件是a2=2b2，后一个等号成立的条件是ab=12，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2=22,b2=24时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）a,b∈R,a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b时取等号；（2）a,b∈R+ ，a+b≥2ab ，当且仅当a=b时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
5年考情
考题示例
考点分析
2023年天津卷，第14题,5分
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值
2021年天津卷，第13题,5分
基本不等式求和的最小值
2020年天津卷，第14题,5分
基本不等式求和的最小值