第24讲 数列的概念（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握数列的概念
2.能掌握数列的通项公式与递推公式
3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性
4.会解数列中的规律问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题。
知识讲解
知识点一．数列的有关概念
1. 数列：按照确定的顺序排列的一列数
2. 数列的项：数列中的每一个数
3. 通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
4. 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
5. 数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
知识点二.数列的分类
1. 项数：
（1）有穷数列：项数有限
（2）无穷数列：项数无限
2. 项与项间的大小关系：
（1）递增数列：an＋1>an
（2）递减数列：an＋10,a1=1,a2=2，若对∀n∈N*,an2+an+12+an+22=10，则a2024=（ ）
A．2B．1C．3D．5
【答案】A
【分析】根据递推公式得出an+3=an,进而a2024=a2021=⋯=a2=2即可．
【详解】由an+12+an+22+an+32=10与an2+an+12+an+22=10相减得：an+32−an2=0，
即(an+3−an)(an+3+an)=0，又an>0，故an+3=an，所以a2024=a2021=⋯=a2=2.
故选：A.
1.（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列an满足4an+1−5an+1an−2an=2，当an的前n项和Sn≥16时，则n的最小值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【分析】通过计算得到an为一个周期为4的数列，从而计算出S41=10a1+a2+a3+a4+2=17，得到答案.
【详解】由题意得a1=2，4a2−5a2a1−2a1=2，解得a2=−1，
同理4a3−5a3a2−2a2=2，解得a3=0，
4a4−5a4a3−2a3=2，解得a4=12，
4a5−5a5a4−2a4=2，解得a5=2，
故an为一个周期为4的数列，且a1+a2+a3+a4=2−1+0+12=32，
故S40=10a1+a2+a3+a4=15，S41=10a1+a2+a3+a4+2=17，
故n的最小值为41.
故选：B
2.（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2，a2=1，an+1=an−an−1n≥2，n∈N∗，则a2024=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
【详解】由a1=2,a2=1,an+1=an−an−1n≥2,n∈N∗，得
a3=a2−a1=−1，
a4=a3−a2=−2，
a5=a4−a3=−1，
a6=a5−a4=1，
a7=a6−a5=2，
a8=a7−a6=1，
⋯⋯
则{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2024=a337×6+2=a2=1.
故选：C
3.（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.
【详解】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6⋯，除了首项以外是个周期为6的周期数列.
去掉首项后的新数列第一项为2，
因为2023=337×6+1，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.
故选：A.
4.（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3，an+1=anan−1n∈N*,n≥2，则a1000的值为（ ）
A．14B．34C．3D．43
【答案】A
【分析】根据递推公式代入检验可知数列an是以6为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可.
【详解】因为a1=4，a2=3，an+1=anan−1n∈N*,n≥2，
令n=2，可得a3=a2a1=34；令n=3，可得a4=a3a2=14；
令n=4，可得a5=a4a3=13；令n=5，可得a6=a5a4=43；
令n=6，可得a7=a6a5=4；令n=7，可得a8=a7a6=3；
可知数列an是以6为周期的周期数列，
所以a1000=a166×6+4=a4=14.
故选：A.
考点二、数列的单调性
1.（2024·贵州·模拟预测）已知数列an满足an=n+k−1n(k∈R)，则“数列an是递增数列”的充要条件是（ ）
A．k1
【答案】B
【分析】根据条件，利用递增数列满足an+1>an，即可求解.
【详解】因为an=n+k−1n(k∈R)，所以an+1−an=n+kn+1−n+k−1n=1−k(n+1)n
由an+1−an=1−k(n+1)n>0，得到k0恒成立，即n+12+bn+1−n2−bn=2n+1+b>0，
即b>−2n−1，又n≥1，−2n−1≤−3，故b∈−3,+∞.
故选：A.
1.（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1−an（n=1,2,3,⋯），则“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.
【详解】{an}为递增数列时，有dn=an+1−an>0，不能得到{dn}为递增数列，充分性不成立；
{dn}为递增数列时，不一定有dn>0，即不能得到{an}为递增数列，必要性不成立.
所以“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2.（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“a≤1”是an是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当a≤1时an=n−a≥0，则an=n−a=n−a，
所以an+1−an=n+1−a−n−a=1>0，即an+1>an，所以an是递增数列，故充分性成立；
当a=54时an=n−54=14,n=1n−54,n≥2，则a10即2−λ>0⇒λ−32．
故选：D．
1.（23-24高三上·四川雅安·期中）已知数列an满足0