第06讲 指对运算（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化
2.能掌握对数的换底公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。
知识讲解
知识点一.指数运算
1.实数指数幂运算法则
aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
aras=ar−s(a>0，r，s∈R)
(3) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(4) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
2.分数指数幂的意义与运算法则
(1)amn＝nam，a−mn＝1amn＝1nam (其中a >0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义．
3.nan与(na)n 的区别
(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，
当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝| a |＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.
知识点二.对数运算
1.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时，ax＝N⇔x=lgaN.
2.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数，即N>0；
(2)lga1＝0(a>0，a≠1)；
(3)lgaa＝1(a>0，a≠1).
3.对数恒等式：
①algaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；②lgaaN＝N(a>0且a≠1)．
4.对数的运算法则
(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
lga(MN)=lgaM+lgaN；lgaMN=lgaM-lgaN；lgaMn=nlgaM (n∈R)；
(2)换底公式：lgab=lgcblgca(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
(3)可用换底公式证明以下结论：
①lgab=1lg ba；
②lgab∙lgbc∙lgca=1；
③lganbn=lgab；
④lganbm=mnlgab；
⑤lg1ab=−lgab.
考点一、根式与分数指数幂运算
1.（2024·广东·模拟预测）若xy=3，则xyx+yxy= ．
2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1）0.06415−2.523−3338−π0 =
（2）a3b23ab2a14b124a−13b13（a>0,b>0=
（3）设x12+x−12=3，则x+x−1的值为
1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知f(x)=4x−4−x，则f(−12)+f(12)= ．
2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知a>0，将aa化为分数指数幂ak形式，则k=
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数f(x)=2x2x+3x，若实数m，n满足2m+n=3mn，且f(m)=−13，则f(n)= .
4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算：
（1）32×36+−20190−4×1649−12+43−π4
（2）+lg0.001+2lne−21+lg23
考点二、对数运算
1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算31+lg32+lg5+lg32×lg49×lg2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2.（2023·全国·模拟预测）求值：lg(27+102+27−102)= ．
1.（全国·高考真题）已知函数fx=lg2x2+a，若f3=1，则a= ．
2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列an中，已知a3与a9是方程2x2−x+m=0的两根，则12lg4a1+a2+⋯+a11=（ ）
A．1111B．21111C．114D．112
3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a，b的值为a= ，b= .
4．（22-23高三上·天津静海·期末）lg4+lg25+913×33= ．
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，则lg4+lga+1100032b= ．
考点三、指对运算综合
1.（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= ．
2.（2024·全国·三模）若a>1，则alglga−lgalga的值是（ ）
A．零B．正数C．负数D．以上皆有可能
1.（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2n−12lnn，则nm=（ ）
A．1B．14C．4D．1或14
2.（2024高三下·河南·专题练习）已知实数m,n满足m+lnm=4,nlnn+n=e3，则mn的值为（ ）
A．e2B．e3C．e4D．e5
3.（2024·江苏·模拟预测）已知x1+2x1=4，x2+lg2x2=4，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+xln4=xln5正实数解为 .
5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设a=12lg20+lg5,b=lg43，则a+2b的值为（ ）
A．1+3B．1+5C．26D．27
考点四、指数函数中的条件等式
1. （23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,lg89=b，则22a−3b=（ ）
A．59B．5C．259D．25
2.（2020·全国·高考真题）设alg34=2，则4−a=（ ）
A．116B．19C．18D．16
1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，mx=n2y=p3z，z=xyx+y，则mn2p3=（ ）
A．2B．32C．1D．12
2.（2024·全国·模拟预测）已知2x=3y=4z=6，则1x+3y+1z= ．
3.（2023·全国·模拟预测）已知b=2lna，则ab= .
4．（23-24高三上·天津·期中）若lg222=a,8b=22，则a+b= .
5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知3a=5b且2a+1b=1，则a的值为 .
考点五、指对等式比较大小
1.（2024·河南·二模）“lnx>lny”是“x2>y2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2024·湖南·二模）已知实数a>b>0，则下列选项可作为a−b<1的充分条件的是（ ）
A．a−b=1B．1b−1a=12
C．2a−2b=1D．lg2a−lg2b=1
1. （2024·天津南开·二模）已知a=lg32，b=lg222，c=1313，则（ ）.
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>c>a
2. （2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=lg0.53,c=0.32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．bC．c3. （2024高三·天津·专题练习）若a=4.2−0.3，b=4.20.3，c=lg4.20.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a
4.（2021·全国·高考真题）已知a=lg52，b=lg83，c=12，则下列判断正确的是（ ）
A．c5. （2024·天津·二模）设a=lg23,b=1.30.9,0.9c=1.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．aC．c6.（2024·北京昌平·二模）若01，则（ ）
A．cblgcbC．sinca>sincbD．ac考点六、指对最值问题
1.（2023·全国·模拟预测）已知m>0,0A．8B．6C．4D．2
2.（2024·全国·模拟预测）若2x−4y=2，x，y∈R，则x−y的最小值为（ ）
A．12B．32C．54D．4
1.（2023·全国·模拟预测）已知点Pa,b在直线y=2x−2上，则4a+12b的最小值为（ ）
A．654B．658C．4D．2
2.（2023·全国·模拟预测）已知正数x，y满足lg2y−x=lg2y−lgx，则y的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．4
3.（2022·河南·模拟预测）若实数x，y满足2x+4y=2x+2y，则x+2y的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.（2022·辽宁·模拟预测）已知实数a，b满足a2+lgab=1,0A．0B．−1C．1D．不存在
5.（2023·全国·模拟预测）若3q+λ⋅3−q≥3，则当λ取得最小值时，q= .
1．（2024·河南开封·三模）已知alg94=1，则2−a=（ ）
A．19B．18C．13D．3
2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将17a4写成分数指数幂的形式为（ ）
A．a47B．a−47C．a74D．a−74
3．（23-24高三上·四川·期末）lg3216−3lg32=（ ）
A．−75B．−34C．−45D．−65
4．（2024·北京丰台·二模）已知函数fx=2x,gx=lg2x+1，那么fg0= ．
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知a+2a=lg2b+b=3，求2a+b= .
6．（2023·四川德阳·一模）已知10m=2,10n=3,则2m+lg25+10m−n= ．（用数字作答）
7．（2024·上海浦东新·三模）已知a=lg5，则lg20= （用a表示）
1．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=t且1m+1n=2，则t=（ ）
A．23B．12C．5D．35
2．（2024·青海·模拟预测）若a=lg35，5b=6，则ab−lg32=（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
3．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设39的小数部分为x，则x3+6x2+12x=（ ）
A．1B．32C．2D．23
4．（2022·全国·模拟预测）已知实数x1,x2满足x13x1=9,x2lg3x2−2=81，则x1x2=（ ）
A．27B．32C．64D．81
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若ex−2=e2y，则x−y的最小值为（ ）
A．12B．2C．1D．5ln24
6．（2024·北京顺义·三模）设x,y≥1，a>1，b>1.若ax=by=3，a+b=23，则1x+1y最大值为（ ）
A．2B．32C．1D．12
7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足lgab+lgba=52，aa=bb，则a+b= .
1．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
2．（2019·天津·高考真题）已知a=lg27，b=lg38，c=0.30.2，则a,b,c的大小关系为
A．cC．b3.（2022·天津·高考真题）化简(2lg43+lg83)(lg32+lg92)的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
4.（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
5.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
6.（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
7.（2022·全国·高考真题）设a=0.1e0.1,b=19，c=−ln0.9，则（ ）
A．a8.（2021·全国·高考真题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04−1．则（ ）
A．a9．（2024·全国·高考真题）已知a>1且1lg8a−1lga4=−52，则a= ．5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第2题,5分
充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
2024年天津卷，第5题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2023年天津卷，第3题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第5题,5分
对数的运算、对数的运算性质的应用
2022年天津卷，第6题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第5题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第7题,5分
运用换底公式化简计算
2020年天津卷，第6题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小