考向04 基本不等式及应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用）

考向04   基本不等式及应用

（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．

3．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

【知识拓展】

常用推论：

（1）（）

（2）（，）；

（3）

1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知，，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．有最小值4 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值2

2．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）（多选题）下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，则

D．若，，，则的最小值为3

3．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（文））若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·安徽高三其他模拟（文））在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(4b-c)cosA=acosC，且，则ABC的周长的取值范围___________.

1．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．（2021·重庆高三三模）(多选题)已知，为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为2 B．的最小值为4

C．的最小值为3 D．的最小值为

3．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）（多选题）已知，则下列选项一定正确的是（    ）

A． B．的最大值为

C． D．

4．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知，，则下列说法正确的是（    ）

A．最小值为

B．若，则的最小值为

C．若，则的最小值为

D．若，则的最小值为

5．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最大值等于______．

6．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________.

7．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知都为正实数，则的最小值为___________．

8．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（理））《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.

9．（2021·浙江高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值为_______；的最小值为__.

10．（2021·海南高三其他模拟）若，，且，则的最小值是___________，当且仅当___________时，取得最值.

11．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元.设总造价为(单位：元)，长为(单位：).的最小值是___________，此时的值是___________.

1．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·全国高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

4．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

5．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．

6．（2019·上海高考真题）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______

7．（2019·天津高考真题（理））设，则的最小值为______.

8．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

1．【答案】A

【分析】

根据已知，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件.

【详解】

对于选项A，，

当且仅当时取等号，故A正确；

对于选项B，，当且仅当时取等号，故B错误；

对于选项C，，

当且仅当时取等号，故C错误；

对于选项D，，所以，

当且仅当时取等号，故D错误.

故选：A.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，

就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，

若忽略了某个条件，就会出现错误．

2．【答案】ACD

【分析】

对选项A，利用不等式性质即可判断A正确；对选项B，利用特值法即可判断B错误；对选项C，利用基本不等式性质求解即可；对选项D，首先根据题意得到，从而得到，再展开利用基本不等式求解即可.

【详解】

对选项A，因为，所以，又因为，所以，故A正确；

对选项B，因为，，，设，，，

则，，，故B错误；

对选项C，因为，所以

，故C正确；

对选项D，因为，所以，

所以，

当且仅当，即，时，取等号.故D正确.

故选：ACD

3．【答案】A

【分析】

根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即，

，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.

【详解】

直线被圆截得的弦长为4，

圆的半径为 ,圆心为

直线过圆心，故 ，即 ，

，

当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.

故选：A

【点睛】

理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由，求的最小值联想用基本不等式求最值.

4．【答案】

【分析】

先根据正弦定理将已知条件边化角，求出，然后利用余弦定理及均值不等式即可求解.

【详解】

解：，

由正弦定理得，即，又，

，

所以，由余弦定理得，即，

又(b=c时等号成立)，所以b+c，

，

，

所以ABC的周长的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：利用余弦定理得边后，结合均值不等式建立不等关系，从而求出b+c，最后根据三角形任意两边之和大于第三边求解.

1．【答案】D

【分析】

根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.

【详解】

因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，

所以年平均利润

当且仅当时等号成立，

即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，

故选：D

2．【答案】ABD

【分析】

对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】

解：因为，当且仅当时取等号，

解得，即，故的最大值为2，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C错误；

，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．

故选：ABD．

3．【答案】BD

【分析】

依题意得出的取值范围，由此可得的范围，即可判断A的正误；利用基本不等式可判断B、C的正误；根据基本不等式及二次函数知识即可判断D的正误.

【详解】

因为，所以，所以.

对于A：由可得，所以，故A错误；

对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B正确；

对于C：因为，所以当且仅当，即时等号成立，故C错误；

对于D：因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，

因为，所以，当时取最大值，

此时，

此时两次取等号条件不一致，故，故D正确.

故选：BD.

【点睛】

方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

4．【答案】BC

【分析】

选项A. 设，求出导数，得出单调性，可判断；选项B. 先将展开先利用均值不等式放缩再配方，然后利用均值不等式可判断；选项C由得，代入由均值不等式可判断；选项D. 由两边同时乘以结合均值不等式可得答案.

【详解】

对于A，设，则，

当时，；当时，，

故，而不为定值，故A错误.

对于B，

，

当且仅当即时取等号，故B正确.

对于C，由得，由，所以，

，

当且仅当时取等号，故C正确.

对于D，由得，

则，

解得，故D错误.

故选: BC.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.

5．【答案】1

【分析】

由题意利用基本不等式可得，由此求得的最大值．

【详解】

正实数，满足，即，

∴（当且仅当时，取等号），

∴，即，

则的最大值等于1，

故答案为：1．

6．【答案】

【分析】

设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出，得出，则可代换为，结合三点共线性质得，原式代换为，再结合基本不等式即可求解

【详解】

如图，

设BD与AE的交点为O，则由，得，所以，所以.由点O，F，B共线，得，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题

7．【答案】

【分析】

化简，由基本不等式得，再代入原式得，判断相等条件后即可得最小值.

【详解】

，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为.

故答案为：

【点睛】

解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小值.

8．【答案】

【分析】

根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.

【详解】

因为里步，由图可知，步里，步里，

，则，且，

所以，，所以，，则，

所以，该小城的周长为（里）.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

9．【答案】9       

【分析】

第一空将化为，然后利用均值不等式即可求出结果；第二空利用柯西不等式即可求得结果.

【详解】

因为正实数满足，

所以，

当且仅当时取到最小值，

由柯西不等式可知，，

当且仅当，即时，等号成立，所以有.

故答案为：9；.

10．【答案】8       

【分析】

利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为，，且，所以

，当且仅当，即，时取等号；

故答案为：，

11．【答案】118000       

【分析】

根据已知条件建立函数关系式，然后化简整理，再利用均值不等式即可求解.

【详解】

由题意，，又，有

当且仅当，即时，等号成立

所以当，最小且最小值为

故答案为：，

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意三个必须满足的条件：

1.一正：各项必须均为正数；

2.二定：求和的最小值时必须把构成的二项之积转化成定值；求积的最大值时，必须把构成积的因式的和转化为定值；

3.三相等：利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.

1．【答案】C

【分析】

利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.

【详解】

法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

【点睛】

思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

2．【答案】C

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

3．【答案】B

【分析】

因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.

【详解】

双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限

联立，解得

故

联立，解得

故

面积为：

双曲线

其焦距为

当且仅当取等号

的焦距的最小值：

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

4．【答案】4

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

5．【答案】

【分析】

根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

6．【答案】

【分析】

通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.

【详解】

依题意得：，

则

当且仅当即时取等号，故

本题正确结果：

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.

7．【答案】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

8．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【分析】

（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.

【详解】

（1），

.

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

【点睛】

本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.