第27讲 数列求和问题（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握集数列通项公式的求法，能够利用证明等差数列与等比数列
2.能掌握数列的求和公式
3.具备数形函数的思想，会借用函数的特征求解数列的单调性与最值
4.会解数列的奇偶项求和与公共项等问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推公式，求解数的通项与求和问题。
知识讲解
知识点.数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
①等差数列的前n项和公式：
Sn=na1+n(n−1)d2=n(a1+an)2.
②等比数列的前n项和公式：
Sn=na1,(q=1)a1(1−qn)1−q=a1−anq1−q(q≠1)
2.分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
②并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧：
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
考点一、分组与并项求和法
1.（2022·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=a2−b2=a3−b3=1．
(1)求an与bn的通项公式；
(2)设an的前n项和为Sn，求证：Sn+1+an+1bn=Sn+1bn+1−Snbn；
(3)求k=12nak+1−(−1)kakbk．
【答案】(1)an=2n−1,bn=2n−1
(2)证明见解析
(3)(6n−2)4n+1+89
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得[a2k−(−1)2k−1a2k−1]b2k−1+[a2k+1−(−1)2ka2k]b2k，进而由并项求和可得Tn=k=1nk⋅4k+1，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设{an}公差为d，{bn}公比为q，则an=1+(n−1)d,bn=qn−1，
由a2−b2=a3−b3=1可得{1+d−q=11+2d−q2=1⇒d=q=2（d=q=0舍去），
所以an=2n−1,bn=2n−1；
（2）证明：因为bn+1=2bn≠0,所以要证(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn，
即证(Sn+1+an+1)bn=Sn+1⋅2bn−Snbn，即证Sn+1+an+1=2Sn+1−Sn，
即证an+1=Sn+1−Sn，
而an+1=Sn+1−Sn显然成立，所以(Sn+1+an+1)bn=Sn+1⋅bn+1−Sn⋅bn；
（3）因为[a2k−(−1)2k−1a2k−1]b2k−1+[a2k+1−(−1)2ka2k]b2k
=(4k−1+4k−3)×22k−2+[4k+1−(4k−1)]×22k−1=2k⋅4k，
所以k=12n[ak+1−(−1)kak]bk =k=1n[(a2k−(−1)2k−1a2k−1)b2k−1+(a2k+1−(−1)2ka2k)b2k]
=k=1n2k⋅4k，
设Tn=k=1n2k⋅4k
所以Tn=2×4+4×42+6×43+⋅⋅⋅+2n×4n，
则4Tn=2×42+4×43+6×44+⋅⋅⋅+2n×4n+1，
作差得−3Tn=2(4+42+43+44+⋅⋅⋅+4n)−2n⋅4n+1=2×4(1−4n)1−4−2n×4n+1
=(2−6n)4n+1−83，
所以Tn=(6n−2)4n+1+89，
所以k=12n[ak+1−(−1)kak]bk= (6n−2)4n+1+89.
2.（2019·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列.已知a1=4,b1=6 ， b2=2a2−2,b3=2a3+4.
（Ⅰ）求an和bn的通项公式；
（Ⅱ）设数列cn满足c1=1,cn=1, 2k