高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程免费教案

这是一份高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程免费教案，共6页。
仁寿一中北校区 张进
教学目标
1.掌握确定圆的几何要素.
2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.
3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题.
教学重难点
教学重点：圆的标准方程.
教学难点：圆的标准方程.
教学过程
新知积累
1.圆的几何要素
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
2.圆的标准方程
如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合.
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得.（1）
由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在上.这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
3.点与圆的位置关系
点在圆内，则；
在圆外，则.
例题巩固
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是.
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边不相等，
点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是.
因为，，三点都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程.
于是，即.
三式两两相减，得，解得，
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例3 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.
解法1：设圆心C的坐标为.
因为圆心C在直线上，所以.①
因为A，B是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.②
由①②可得，，所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
解法2：如图，设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，
直线AB的斜率为.
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得.
所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
课堂练习
1.若一圆的圆心坐标为，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：易知直径两端点的坐标分别为，，可得圆的半径为，因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程是.故选A.
2.若点在圆的内部，则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案：B
解析：因为点在圆的内部，所以，解得.故选B.
3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线的距离等于半径长，则圆C的标准方程为__________.
答案：
解析：设圆心坐标为，且，则点到直线的距离为2，即，所以，解得或（舍去），则圆C的标准方程为.
小结作业
小结：本节课学习了圆的标准方程.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
2.4.1 圆的标准方程
1.圆的几何要素
2.圆的标准方程
3.点与圆的位置关系