高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程教学设计

4．1　圆的方程

4．1．1　圆的标准方程

Q

有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？

X

1．圆

2．点与圆的位置关系

圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．

Y

1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　B　)

A．1　　　　　　　　　 B．

C．2  D．4

[解析]　圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径r＝．

2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　C　)

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4

B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16

D．(x－2)2＋(y－1)2＝16

[解析]　圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16．

3．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__(x－2)2＋(y＋3)2＝5__．

[解析]　由圆的几何性质，得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，

∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5．

4．圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点(2，2)，其圆心在直线x＋y－11＝0上，求圆C的方程．

[解析]　设与3x＋4y－14＝0垂直的直线方程为4x－3y＋m＝0，又∵过点(2，2)，∴m＝－2．

由，得．

∴圆的半径r＝＝5，∴圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝25．

H

命题方向1　⇨求圆的标准方程

典例1 写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3；

(2)圆心在点C(3，4)处，半径是；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)处．

[解析]　(1)圆心为(0，0)，r＝3，

方程为：x2＋y2＝9．

(2)方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝5．

(3)r＝＝5，

方程为：(x－8)2＋(y＋3)2＝25．

『规律方法』　(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；

(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．

〔跟踪练习1〕 

写出下列各圆的标准方程．

(1)圆心在原点，半径长为2；

(2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为．

[解析]　(1)∵圆心在原点，半径长为2，

即a＝0，b＝0，r＝2．

∴圆的标准方程为x2＋y2＝4．

(2)∵圆心是两直线的交点，

由，得．

∴圆心为(－，)，

又∵半径长为．

∴圆的标准方程为(x＋)2＋(y－)2＝．

命题方向2　⇨判断点与圆的位置关系

典例2 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？

[解析]　设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C(4，6)，

又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5．

分别计算点M，N，P到圆心C的距离：

|CM|＝＝>，

|CN|＝＝，

|CP|＝＝<，

所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．

『规律方法』　点与圆的位置关系的判断方法：

(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；

(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：

①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；

②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；

③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．

〔跟踪练习2〕 

写出圆心为(3，4)，半径为5的圆的方程，并判定点A(0，0)，B(1，3)与该圆的位置关系．

[解析]　该圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，

把A，B两点的坐标分别代入圆的方程，

(0－3)2＋(0－4)2＝25，

(1－3)2＋(3－4)2＝5<25．

∴A点在圆上，B点在圆内．

命题方向3　⇨圆的标准方程的综合应用

典例3 求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．

[解析]　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由已知条件知

，

解此方程组，得．故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

解法二：设点C为圆心，

∵点C在直线x＋y－2＝0上，

∴可设点C的坐标为(a，2－a)．

又∵该圆经过A，B两点，

∴|CA|＝|CB|．

∴

＝，

解得a＝1．

∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2．

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

解法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，

kAB＝＝－1，

∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，

∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，

即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，

由，得．即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．

『规律方法』　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．

(1)几何法

它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准

方程，常用的几何性质有：

①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．

(2)待定系数法

由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：

①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

②列：由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

③解：解方程组，求出a，b，r；

④代：将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．

〔跟踪练习3〕 

求经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心C在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．

[解析]　解法一：(直接法)

由题意，得AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0．

由，解得．

则圆心C为(7，－3)，

圆C的半径r＝|CB|＝＝．

故所求圆的标准方程是(x－7)2＋(y＋3)2＝65．

解法二：(待定系数法)

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

则有，

解得a＝7，b＝－3，r＝．

故所求圆的标准方程是(x－7)2＋(y＋3)2＝65．

Y 　对圆心位置考虑不全致错

典例4 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．

[错解]　如图，由题设知

|AB|＝8，|AC|＝5．

在Rt△AOC中

|OC|＝＝＝3．

∴C点坐标(3，0)，

∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝25．

[错因分析]　由题意知，|OC|＝4，C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况．

[正解]　正解一：如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4．

在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3．

设点C坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3．∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25．

正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25．

∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0，4)．

代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3，∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25．

[警示]　借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．

X 　数形结合思想

1．若点P在⊙C外；直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C上任一点，则有|PC|－r≤|PQ|≤|PC|＋r．如图．

由于在△PQC中，|PQ|＋|QC|>|PC|＝|PA|＋|CA|＝|PA|＋|QC|，

∴|PQ|>|PA|＝|PC|－r．

又|PB|＝|PC|＋|CB|＝|PC|＋|CQ|>|PQ|．

∴|PC|＋r>|PQ|．

2．若点P在⊙C内，直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C上任一点，则总有|PA|≤|PQ|≤|PB|．

如图，由于|PA|＋|PC|＝|AC|＝|CQ|<|PC|＋|PQ|，

∴|PA|<|PQ|．

作CD⊥PQ，垂足为D，则由半径大于半弦知|BC|>|MD|．

又Rt△PCD中，|PC|>|PD|

∴|PB|>|PM|>|PQ|．

故仍有r－|PC|≤|PQ|≤r＋|PC|．

典例5 已知x，y满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则x2＋y2的取值范围是__[21－8，21＋8]__．

[解析]　x2＋y2表示圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16的动点P(x，y)与原点O(0，0)连线段长度d的平方，由于r－|OC|≤d≤r＋|OC|，∴4－≤d≤4＋，∴21－8≤d2≤21＋8．∴21－8≤x2＋y2≤21＋8．

K

1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是(　C　)

A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b) D．点(－a，－b)

[解析]　∵(x－a)2＋(y－b)2＝0，

∴，∴．

故选C．

2．已知A(0，－5)，B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　B　)

A．(x＋3)2＋y2＝2　　　 B．x2＋(y＋3)2＝4

C．(x＋3)2＋y2＝4  D．(x－3)2＋y2＝2

[解析]　圆的圆心是(0，－3)，

半径是r＝|－5－(－1)|＝2．

故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4．

3．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__±2__．

[解析]　∵点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，

∴1＋3＝m2，∴m＝±2．

4．写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长．

(1)(x－2)2＋(y－5)2＝9；

(2)x2＋y2＝256；

(3)(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m>0)．

[解析]　(1)圆心坐标是(2，5)，半径长是3．

(2)圆心坐标是(0，0)，半径长是16．

(3)圆心坐标是(－1，2)，半径长是．