专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6900" 【题型1 终边相同的角】 PAGEREF _Tc6900 \h 4
\l "_Tc14847" 【题型2 象限角】 PAGEREF _Tc14847 \h 5
\l "_Tc3031" 【题型3 弧度制及其应用】 PAGEREF _Tc3031 \h 6
\l "_Tc1562" 【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】 PAGEREF _Tc1562 \h 9
\l "_Tc4579" 【题型5 三角函数值符号的判定】 PAGEREF _Tc4579 \h 10
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
【知识点1 三角函数的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则=，=，=.

【知识点2 任意角和弧度制的解题策略】
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集
合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略】
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角
的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各
象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．2kπ+3π4k∈ZB．2kπ+7π4k∈Z
C．kπ−π4k∈ZD．kπ+5π4k∈Z
【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与7π4的终边相同的角.
【解答过程】与7π4的终边相同的角为2kπ+7π4k∈Z.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古·期末）若角α与角−2π5的终边相同，则α可能是（ ）
A．12π5B．−10π5C．22π5D．−22π5
【解题思路】根据α=−2π5+2kπ,k∈Z观察选项得答案.
【解答过程】由已知α=−2π5+2kπ,k∈Z
观察选项可得只有−22π5=−2π5−4π，所以α可能是−22π5.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角α的终边在直线y=x上，则角α的取值集合为（ ）
A．α∣α=k⋅360∘+45∘，k∈ZB．α∣α=k⋅360∘+135∘，k∈Z
C．α∣α=k⋅180∘−135∘，k∈ZD．α∣α=k⋅180∘−45∘，k∈Z
【解题思路】根据角α的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角α的集合.
【解答过程】由题意知角α的终边在直线y=x上，
故α=k⋅360°+45°,k∈Z或α=k⋅360°+225°,k∈Z，
即α=2k+1⋅180°−135°,k∈Z或α=2k+2⋅180°−135°,k∈Z，
故角α的取值集合为α∣α=k⋅180°−135°,k∈Z.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为（ ）
A．ββ=k×180°+90°,k∈ZB．ββ=k×360°+90°,k∈Z
C．ββ=k×180°+150°,k∈ZD．ββ=k×360°+70°,k∈Z
【解题思路】根据题意设α+60°=360°k+130°,k∈Z，解出即可；
【解答过程】设α+60°=360°k+130°,k∈Z，
解得α=360°k+70°,k∈Z，
所以与角α终边相同的角的集合为ββ=k×360°+70°,k∈Z，
故选：B.
【题型2 象限角】
【例2】（2024·全国·模拟预测）若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−αB．180°−αC．270°−αD．−α
【解题思路】根据象限角的概念判断即可.
【解答过程】若α是第一象限角，则k⋅360°<α<90°+k⋅360°,k∈Z，
−90°−k⋅360°<−α<−k⋅360°,k∈Z，则−α是第四象限角，故D错误；
−k⋅360°<90°−α<90°−k⋅360°,k∈Z，则90°−α是第一象限角，故A错误；
90°−k⋅360°<180°−α<180°−k⋅360°,k∈Z，则180°−α是第二象限角，故B错误；
180°−k⋅360°<270°−α<270°−k⋅360°,k∈Z，则270°−α是第三象限角，故C错误.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知α=944°，则α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解题思路】α=944°=224°+2×360°，再根据终边相同的角的集合，判断224°是第几象限角，即可求出结果.
【解答过程】因为α=944°=224°+2×360°，又224°是第三象限角，
所以α是第三象限角，
故选：C.
【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角α以x轴正半轴为始边，终边经过点Psin2π3,cs2π3，则3π+α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解题思路】先确定点P在第四象限，即角α的终边在第四象限，3π+α的终边为角α终边的反向延长线，即可得出答案.
【解答过程】sin2π3=32，cs2π3=−12，即P32,−12，
故点P在第四象限，即角α的终边在第四象限，
3π+α的终边为角α终边的反向延长线，那么3π+α的终边在第二象限．
故选：B．
【变式2-3】（2024·贵州·模拟预测）“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【解答过程】当α是第四象限角时，3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，则3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z，即α2是第二或第四象限角.当α2=3π4为第二象限角，但α=3π2不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A.
【题型3 弧度制及其应用】
【例3】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm,AD≈2cm,AO≈5cm，若sin37°≈35,π≈3.14，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．6.8cm2B．9.8cm2C．14.8cm2D．22.4cm2
【解题思路】根据给定图形求出圆心角∠AOB，再利用扇形面积公式计算即得.
【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，OA=OB=5,AB=8，
则cs∠OAB=12ABOA=45，sin∠OAB=35，又sin37°≈35，
所以∠OAB≈37∘，于是∠AOB=180∘−2×37∘=106∘=53π90，
所以璜身的面积近似为12∠AOB·OA2−OD2=12×53π90×52−32≈14.8cm2.
故选：C.
【变式3-1】（2024·新疆克拉玛依·三模）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是5π6，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（ ）米．
A．526B．524C．534D．536
【解题思路】由已知结合弧长公式可求AD，进而可得答案．
【解答过程】根据题意作出下图，弧AC的长为5π12，∠AOC=5π121.25=π3，
所以AB=2AD=2×1.25⋅sinπ3=534．
故选：C．
【变式3-2】（2024·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为43+2，且弦是矢的23倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（ ）

A．π3B．2π3C．4π3D．8π3
【解题思路】根据弧田面积可求得CD，利用勾股定理可构造方程求得半径r，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果.
【解答过程】如图，

由题意得：AB=23CD，
弧田面积=12×23CD⋅CD+CD2=43+2，解得：CD=2.
设圆半径为r，则有AO2=AD2+OD2，即r2=232+r−22，解得：r=4，
∴OD=2，则在Rt△AOD中，∠AOD=π3，∴∠AOB=2π3，
∴所求弧长为4×2π3=8π3.
故选：D.
【变式3-3】（2023·浙江嘉兴·二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ=82.8∘，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧AS的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
【解题思路】利用1∘圆心角所对应的弧长是l=2πR360即可求解.
【解答过程】设圆周长为C，半径长为R，两地间的弧长为l，对应的圆心角为n∘，
∵360∘的圆心角所对应的弧长就是圆周长C=2πR，
∴1∘的圆心角所对应的弧长是l=2πR360，即πR180，
于是在半径为R的圆中，n∘的圆心角所对的弧长l为：l=nπR180，
∴R=180lπn.
当l为5000古希腊里，n=90∘−θ，即n=7.2∘时，
R=180lπn=180×50003.125×7.2=40000古希腊里.
故选：B.
【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】
【例4】（2023·福建福州·模拟预测）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，csα=55,Pm,2为其终边上一点，则m=（ ）
A．−4B．4C．−1D．1
【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【解答过程】始边与x轴非负半轴重合，csα=55，P(m,2)为其终边上一点，
则mm2+4=55，且m>0，解得m=1．
故选：D．
【变式4-1】（2024·江西·二模）已知角α的终边经过点M(2,1)，则csα=（ ）
A．63B．33C．2D．22
【解题思路】根据三角函数的定义求解.
【解答过程】根据题意r=OM=22+12=3，
由三角函数的定义得csα=xr=23=63.
故选：A.
【变式4-2】（2023·河南开封·三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且csα=13x，则tanα=（ ）
A．−22B．−24C．22D．24
【解题思路】利用三角函数的定义先解得x，再求正切值即可.
【解答过程】由三角函数定义可知：csα=xx2+1=13x⇒x=±22，又α是第二象限角，
故x=−22，所以tanα=yx=−24.
故选：B.
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角α的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点−22,22，则sinαcsα=（ ）
A．−12B．−22C．12D．22
【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.
【解答过程】因为终边与单位圆交于点−22,22，则终边落在第二象限，
所以sinα=22，csα=−22，sinαcsα=−12.
故选：A.
【题型5 三角函数值符号的判定】
【例5】（2024·河南·模拟预测）已知α是第二象限角，则点(cs(sinα),sin(csα))所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.
【解答过程】因为α是第二象限角，所以0进而硧定cs(sinα)>0，sin(csα)<0.
所以点(cs(sinα),sin(csα))在第四象限.
故选：D.
【变式5-1】（2023·四川宜宾·三模）已知角α的终边上一点的坐标a,2，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A．csαtanαB．sinαcsαC．sinαtanαD．tanα
【解题思路】先根据定义求出sinα,csα,tanα，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【解答过程】因为角α的终边上一点的坐标a,2且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sinα=2a2+4，csα=aa2+4，tanα=2a，
选项A，csαtanα=2a2+4>0，故选项A正确；
选项B，sinαcsα=2aa2+4，因为a的正负不知，故选项B错误；
选项C，sinαtanα=4aa2+4，因为a的正负不知，故选项C错误；
选项D，tanα=2a，因为a的正负不知，故选项D错误；
故选：A.
【变式5-2】（2023·河南·模拟预测）已知α是第二象限角，则点（cs(−α)，sin(−α)）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】利用诱导公式化简再确定象限.
【解答过程】由题意知：csα<0，sinα>0，进而得到cs(−α)=csα<0，sin−α=−sinα<0，
所以点（cs(−α)，sin(−α)）位于第三象限.
故选：C.
【变式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．sinα−csα≤tanαB．sinα−csα≥tanα
C．sinα⋅csαtanα
【解题思路】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【解答过程】由题意可得sinα<0、csα<0，tanα>0，
对A：当sinα→0−时，csα→−1，则sinα−csα→1，tanα→0，
此时sinα−csα>tanα，故A错误；
对B：当α=5π4时，sinα−csα=sin5π4−cs5π4=0对C、D：sinα⋅csα=cs2α⋅sinαcsα=cs2α⋅tanα，由−1故cs2α∈0,1，则cs2α⋅tanα故C正确，D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合A=α∣α=−2024°+k⋅180°,k∈Z中的最大负角α为（ ）
A．−2024°B．−224°C．−44°D．−24°
【解题思路】利用任意角的定义与集合A所表示的角即可得解.
【解答过程】因为−2024°=−44°−11×180°，
所以集合A=α∣α=−2024°+k⋅180°,k∈Z中的最大负角α为−44°.
故选：C.
2．（2024·河北衡水·模拟预测）“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】借助α−β的值，直接分别判断充分性和必要性.
【解答过程】由角α,β的终边在同一条直线上，得α=β+kπ,k∈Z，
即α−β=kπ,k∈Z，所以sinα−β=sinkπ=0,k∈Z.
反之，由sinα−β=0，得α−β=mπ,m∈Z，
当m为偶数时，角α,β的终边在同一条射线上；
当m为奇数时，角α,β的终边在同一条直线上.
综上，“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β=0”的充要条件.
故选 ：C.
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（ ）
A．α|5π6+2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈ZB．α|5π6+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z
C．α|−7π6+2kπ≤α≤(2k−1)π,k∈ZD．α|−π6+2kπ≤α≤2kπ,k∈Z
【解题思路】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角α的集合.
【解答过程】终边落在阴影部分的角为5π6+kπ≤α≤(k+1)π，k∈Z，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是α|5π6+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z．
故选：B．
4．（2024·山东·模拟预测）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点Psinπ3,csπ3，则csα+π6=（ ）
A．0B．12C．22D．32
【解题思路】由三角函数的定义即可求得α，从而得到结果.
【解答过程】由题意可得P32,12，则tanα=13=33，所以α=π6+2kπ,k∈Z，
所以csα+π6=csπ6+2kπ+π6=csπ3=12.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图（2），砖雕厚度为6cm，AD=80cm，CD=3AB，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cm2）（ ）

A．3200πB．480π+960C．6880π+960D．3680π+960
【解题思路】先求出CD=60πcm，AB=20πcm，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABCD的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【解答过程】
延长DA与CB交于点O．由CD=3AB，AD=80cm，得OA=40cm，OD=120cm．
因为CD所对的圆心角为直角，所以CD=60πcm，AB=20πcm．
所以该梅花砖雕的侧面积S侧=6CD+AB+AD+BC=480π+960cm2，
扇环ABCD的面积为14π×1202−π×402=3200πcm2，
则该梅花砖雕的表面积S表面积=480π+960+2×3200π=6880π+960cm2．
故选：C．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,4，则sinα+2csαcsα−sinα=（ ）
A．11B．−10C．10D．−11
【解题思路】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sinα,csα的值，代入计算即可.
【解答过程】因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点P3,4，
所以sinα=49+16=45，csα=39+16=35，
所以sinα+2csαcsα−sinα=45+2×3535−45=−10.
故选：B.
7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数ctθ=1tanθ，正割函数secθ=1csθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1−csθ，余矢函数vercsθ=1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A．versinθ=AMB．cscθ=PS
C．ctθ=BSD．secθ=NB
【解题思路】利用单位圆以及三角函数的定义可知sinθ=MP，csθ=OM，tanθ=AT，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【解答过程】根据题意，易得△OMP∼△OAT∼△SBO∼△PNO，
对于A，因为1−csθ=1−OM=MA，即versinθ=MA，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，cscθ=1sinθ=1MP=BOMP=OSOP=OS，故B错误；
对于C，ctθ=1tanθ=1tan∠OSB=BS，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得secθ=1csθ=1OM=OAOM=OTOP=OT，故D错误.
故选：C.
8．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈35，π≈3.14，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．6.8cm2B．9.8cm2C．14.8cm2D．22.4cm2
【解题思路】根据给定图形求出圆心角∠AOB，再利用扇形面积公式计算即得.
【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，OA=OB=5,AB=8，则cs∠OAB=12ABOA=45，sin∠OAB=35，
即∠OAB≈37∘，于是∠AOB=106∘=53π90，
所以璜身的面积近似为12∠AOB·(OA2−OD2)=12×53π90×(52−32)≈14.8(cm2).
故选：C.
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若sinα=sinβ，则α与β是终边相同的角
B．若角α的终边过点P3k,4kk≠0，则sinα=45
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若sinα⋅csα>0，则角α的终边在第一象限或第三象限
【解题思路】举反例α+β=π判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sinα与csα同号判断D.
【解答过程】对于A：当α+β=π时，sinα=sinβ，但终边不同，故A错误；
对于B：r=(3k)2+(4k)2=5|k|，当k<0时，sinα=−45，故B错误；
对于C：由2r+l=3,r=1，得l=1,α=lr=1，故C正确；
对于D：sinα⋅csα>0，即sinα与csα同号，则角α的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD.
10．（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P52,x，且sinα=23x，则x的值可以是（ ）
A．±2B．±1C．0D．±2
【解题思路】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.
【解答过程】由题设sinα=x54+x2=23x，故x254+x2=4x29，整理得x2=x4，
所以x=0或x=±1.
故选：BC.
11．（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且∠AOB=π6.质点A以π6rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以π12rad/s的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1s后，扇形AOB的面积为5π12
B．经过2s后，劣弧AB的长为2π3
C．经过6s后，质点B的坐标为−32,12
D．经过223s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
【解题思路】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.
【解答过程】对于A，由题意可知：经过1s后，∠AOB=π6−(−π6)+π12=5π12，
所以此时扇形AOB的面积为12α⋅r2=12×5π12×12=5π24，故选项A错误；
对于B，经过2s后，∠AOB=π6−2×(−π6)+2×π12=2π3，
所以此时劣弧AB的长为αr=2π3，故选项B正确；
对于C，经过6s后，质点B转过的角度为6×π12=π2，结合题意，此时质点B为角π6+π2=2π3的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为(−12,32)，故选项C错误；
对于D，经过223s后，质点B转过的角度为223×π12=11π18，质点A转过的角度为223×(−π6)=−11π9，因为11π18−(−11π9)+π6=2π，所以经过223s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故选项D正确，
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积是
π3 平方厘米．
【解题思路】根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得．
【解答过程】时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积S=12×2π3×12=π3（平方厘米）．
故答案为：π3.
13．（2024·全国·模拟预测）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若Pm,2是角θ终边上一点，且csθ=−31010，则m= −6 ．
【解题思路】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【解答过程】由题设知csθ=mm2+4=−31010，
即10m2=9m2+4，且m<0，
即m2=36，且m<0，
解得m=−6，
故答案为：−6.
14．（2023·广东佛山·一模）若点Acsθ,sinθ关于原点对称点为Bcsπ6−θ,sinπ6−θ，写出θ的一个取值为 7π12（答案不唯一，θ=7π12+kπ，k∈Z均可以） .
【解题思路】根据A、B关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：θ=π6−θ+2k+1π，k∈Z.再令k随意取值，可得结论.
【解答过程】∵Acsθ,sinθ和Bcsπ6−θ,sinπ6−θ关于原点对称.
∴θ与π6−θ的终边在一条直线上.即：θ=π6−θ+2k+1π，k∈Z.
∴θ=7π12+kπ，k∈Z.
令k=0得θ=7π12.
故答案为：7π12（满足θ=7π12+kπ，k∈Z即可）.
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)α2；
(2)α3；
【解题思路】（1）由α为第四象限角可知3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，根据不等式的性质可得角α2终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置；
（2）由α为第四象限角可知3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，根据不等式的性质可得角α3终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置.
【解答过程】（1）由于α为第四象限角可知3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，.
所以3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z
当k=2n时，3π4+2nπ<α2<π+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，
当k=2n+1时，7π4+2nπ<α2<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，
所以α2的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得π2+2kπ3<α3<2π3+2kπ3,k∈Z，
当k=3n时，π2+2nπ<α3<2π3+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，
当k=3n+1时，7π6+2nπ<α3<4π3+2nπ,n∈Z，终边在第三象限，
当k=3n+2时，11π6+2nπ<α3<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，
所以α3的终边在第二、第三或第四象限.
16．（23-24高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β写出来：
(1)60∘；
(2)−45∘；
(3)1303∘18′；
(4)−225∘．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式−720∘≤β<360∘，求出满足条件的整数k的值，即可得出满足条件的元素β.
【解答过程】（1）解：与60∘终边相同的角的集合为ββ=60∘+k⋅360∘,k∈Z，
由−720∘≤60∘+k⋅360∘<360∘，可得−136≤k<56，
当k=−2时，β=60∘−2×360∘=−660∘，
当k=−1时，β=60∘−360∘=−300∘，
当k=0时，β=60∘，
所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−660∘、−300∘、60∘.
（2）解：因为−45∘=315∘−360∘，
所以，与−45∘终边相同的角的集合为ββ=315∘+k⋅360∘,k∈Z，
由−720∘≤315∘+k⋅360∘<360∘，可得−238≤k<18，
当k=−2时，β=315∘−2×360∘=−405∘，
当k=−1时，β=315∘−360∘=−45∘，
当k=0时，β=315∘，
所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−405∘、−45∘、315∘.
（3）解：因为1303∘18′=223∘18′+3×360∘，
所以，与1303∘18′终边相同的角的集合为ββ=223∘18′+k⋅360∘,k∈Z，
由−720∘≤223.3∘+k⋅360∘<360∘k∈Z，可得k=−2、−1、0，
当k=−2时，β=223∘18′−2×360∘=−496∘42′，
当k=−1时，β=223∘18′−360∘=−136∘42′，
当k=0时，β=223∘18′，
所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−496∘42′、−136∘42′、223∘18′.
（4）解：因为−225∘=135∘−360∘，
所以，与−225∘终边相同的角的集合为ββ=135∘+k⋅360∘,k∈Z，
由−720∘≤135∘+k⋅360∘<360∘，可得−198≤k<58，
当k=−2时，β=135∘−2×360∘=−585∘，
当k=−1时，β=135∘−360∘=−225∘，
当k=0时，β=135∘.
所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−585∘、−225∘、135∘.
17．（23-24高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)csα=−22；
(2)sinα≤12．
【解题思路】（1）作出单位圆与直线x=−22，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出0,2π内满足csα=−22的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）作出单位圆与直线y=12，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出−3π2,π2内满足sinα≤12的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案.
【解答过程】（1）

如图1，P,P1为直线x=−22与单位圆的两个交点，可知P−22,22，P1−22,−22.
设α1的终边落在射线OP上，α2的终边落在射线OP1上，0≤α1,α2<2π，
根据三角函数的定义可知，csα1=csα2=−22，sinα1=22，sinα2=−22，
所以，α1=3π4，α2=5π4.
又当α的终边落在射线OP或OP1上时，有csα=−22，
所以，满足条件的α的集合为S1=α|α=3π4+2kπ,k∈Z∪α|α=5π4+2kπ,k∈Z =α|α=±3π4+2kπ,k∈Z.
（2）

如图2，P2,P3为直线y=12与单位圆的两个交点，可知P2−32,12，P332,12.
设α3的终边落在射线OP2上，α4的终边落在射线OP3上，−3π2≤α3,α4<π2，
根据三角函数的定义可知，sinα3=sinα4=12，csα3=−32，csα4=32，
所以，α3=−7π6，α4=π6.
根据图2可知，当−3π2≤α<π2，且−7π6=α3≤α≤α4=π6时，有sinα≤12.
所以，当α∈R时，由sinα≤12可得，α|−7π6+2kπ≤α≤π6+2kπ,k∈Z.
18．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆x2+y2=1与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
(1)如图，若∠POB=120°，求点P的坐标；
(2)若点P的横坐标为−33，求sinα的值．
【解题思路】（1）过P点作PC⊥OA于C点，则∠POC=60°，求得OC,CP即可得出P的坐标；
（2）由题意设P−33,y，结合条件求出P的坐标，利用三角函数的定义求出sinα.
【解答过程】（1）
过P点作PC⊥OA于C点，
若∠POB=120°，则∠POC=60°，
又OP=1，则OC=12,CP=32，
由题意点P在第四象限，所以P的坐标为12,−32.
（2）由题意设P−33,y，
∵点P在单位圆x2+y2=1上，且在x轴下方，
∴−332+y2=1，且y<0，解得y=−63，
∴sinα=y=−63.
19．（2024·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知OA=10，OB=x0(1)求θ关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x的等式，即可得出θ关于x的函数解析式；
（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y的最大值，即可得出结论.
【解答过程】（1）解：根据题意，可算得BC=θxm，AD=10θm．
因为AB+CD+BC+AD=30，所以210−x+θx+10θ=30，
所以，θ=2x+10x+100（2）解：根据题意，可知y=S扇形AOD−S扇形BOC=12θ102−x2=12×2x+5102−x2x+10
=x+510−x=−x2+5x+50=−x−522+2254，
当x=52m时，ymax=2254m2.
综上所述，当x=52m时铭牌的面积最大，且最大面积为2254m2.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性
(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
2023年北京卷：第13题，5分
2024年北京卷：第12题，5分
任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式出现，试题比较简单.
象限角
角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
正弦函数
余弦函数
正切函数