第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念

一、单选题

1．（2021·安徽蚌山·蚌埠二中高一期中）下列说法中，正确的是（    ）

A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等

C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角

【答案】A

【详解】

对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；

对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；

对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；

对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.

故选：A.

2．（2021·西藏拉萨中学高一期中）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积是（    ）

A． B． C．14400 D．80

【答案】B

【详解】

由扇形面积公式可知；

，

故选：B.

3．（2021·陕西秦都·咸阳市实验中学高一月考（理））化为弧度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

.

故选：B.

4．（2021·河北沧州·）已知扇形圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

.
故选：B.

5．（2021·江西抚州·高一期末）下列各角中，与68°角终边相同的是（    ）

A．22° B．248° C．428° D．728°

【答案】C

【详解】

与68°角终边相同的角可以表示为68°+k·360°

当k=1时，68°+ 360°=428°.

故选：C

6．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高一期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设扇形圆心角的弧度数为，由题意可得出，解得.

故选：A.

7．（2021·山东潍坊·）已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为角的终边经过点，

所以，

故选：B.

8．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（理））已知角终边经过点则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由三角函数定义，.

故选：D.

二、多选题

9．（2021·齐河县第一中学高一月考）下列说法正确的有（    ）

A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度

B．

C．若，，则为第二象限角

D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角

【答案】CD

【详解】

对于，经过30分钟，钟表的分针转过弧度，不是弧度，所以错；

对于，化成弧度是，所以错误；

对于，由，可得为第一、第二及轴正半轴上的角；

由，可得为第二、第三及轴负半轴上的角.

取交集可得是第二象限角，故正确；

对于：若是第二象限角，所以，则，

当时，则，所以为第一象限的角，

当时，，所以为第三象限的角，

综上，为第一或第三象限角，故选项正确.

故选：CD.

10．（2021·全国高一课时练习）若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【详解】

解：且，

或.

故选：BD.

11．（2021·广东）下列给出的角中，与终边相同的角有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】

对于A选项，，与的终边相同；

对于B选项，，与的终边不相同；

对于C选项，，与的终边相同；

对于D选项，，与的终边不相同.

故选：AC.

12．（2021·全国高一专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】

设扇形的半径为，由，故D正确；

由，

所以，解得，故C正确；

由，则，

所以，

所以，故B正确.

故选：BCD

三、填空题

13．（2021·全国高一课时练习）扇形圆心角为，半径为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为____．

【答案】

【详解】

∵扇形圆心角为，半径为a

∴扇形的面积S1==.

∵扇形的内切圆圆心在圆心角的角平分线上，

∴内切圆的半径为

∴内切圆的面积为.

∴扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为：=

故答案为

14．（2021·四川省大竹中学（文））半径为2的扇形面积为，则______．

【答案】

【详解】

由已知，，

所以．

故答案为：．

15．（2021·全国高一课时练习）已知角的终边上的点满足，则的值为_________．

【答案】

【详解】

因为角的终边上的点满足，

当角在第一象限时，在终边上取点，

则，

所以；

当角在第三象限时，在终边上取点，

则，

所以，

综上：，

故答案为：

16．（2021·全国高三专题练习）已知角的终边上一点，且，则______，______

【答案】       

【详解】

因为,

所以，因为,得，所以．

当时，，

当时，

故答案为: ;.

四、解答题

17．（2021·咸阳百灵学校）已知扇形周长是60.

（1）当半径，求扇形面积.

（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？

（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.

【答案】（1）；（2）；（3），.

【详解】

（1）设扇形所对应的圆心角为，由题意知，所以，因此扇形的面积为；

（2）设扇形所对应的圆心角为，半径为，由题意知，即，则因此扇形的面积为；根据二次函数的性质，当时，扇形的面积最大；

（3）由（2）知当时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为，此时；

18．（2021·全国高一专题练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.

（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；

（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）由题意得，解得(舍去)，.

故扇形圆心角为.

（2）由已知得，.

所以，所以当时，取得最大值25，此时，.

19．（2021·全国高二课时练习）已知角的终边过点，且，求的值.

【答案】

【详解】

根据三角函数的定义，知，所以，所以，

所以，.

从而.

20．（2021·江苏省包场高级中学高一月考）已知角的终边过点

（1）求的值

（2）求以为圆心角、半径为6的扇形的弧长和面积

【答案】（1）；（2）弧长为，面积为.

【详解】

（1）因为角的终边过点，

所以，，，

则.

（2）扇形的弧长，

扇形的面积.