专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc10974" 【题型1 根据函数图象判断极值】 PAGEREF _Tc10974 \h 2
\l "_Tc7094" 【题型2 求已知函数的极值】 PAGEREF _Tc7094 \h 3
\l "_Tc17961" 【题型3 根据极值（点）求参数】 PAGEREF _Tc17961 \h 4
\l "_Tc15690" 【题型4 求不含参函数的最值】 PAGEREF _Tc15690 \h 4
\l "_Tc27689" 【题型5 求含参函数的最值】 PAGEREF _Tc27689 \h 5
\l "_Tc31671" 【题型6 已知函数最值求参数】 PAGEREF _Tc31671 \h 6
\l "_Tc11706" 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 PAGEREF _Tc11706 \h 6
1、导数与函数的极值、最值
【知识点1 函数的极值问题的求解思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列
方程组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【知识点2 函数的最值问题的解题策略】
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值
就是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 根据函数图象判断极值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若a>b，则函数y=ax−a(x−b)2的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
【变式1-1】（2024·四川广安·二模）已知函数fx=ax+1ex，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数fx的大致图象的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是y=fx的导函数f′x的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=−1时，fx取得极大值B．fx在−2,1上是增函数
C．当x=1时，fx取得极大值D．fx在−1,2上是增函数，在2,4上是减函数
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）函数fx=axm3−xn在区间0,3上的图像如图，则m，n的值可能是（ ）
A．m=2，n=2B．m=2，n=1C．m=1，n=2D．m=1，n=1
【题型2 求已知函数的极值】
【例2】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=x−2ex−e2x−2的极小值为（ ）
A．e2−2B．−2e2−2C．2−2e2D．−2−e2
【变式2-1】（2024·宁夏银川·一模）若函数f(x)=x2−ax−2ex在x=−2处取得极大值，则f(x)的极小值为（ ）
A．−6e2B．−4eC．−2e2D．−e
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=4xex−e2x−2ex，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)=f′(x)ex，则（ ）
A．g(x)的极大值为4e2−2，无极小值
B．g(x)的极小值为4e2−2，无极大值
C．g(x)的极大值为4ln2−2，无极小值
D．g(x)的极小值为4ln2−2，无极大值
【变式2-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，且f′x−fx=x2e2x,f0=0，则fx（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点
【题型3 根据极值（点）求参数】
【例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数f(x)=ex−ax2在R上无极值，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,e2B．−∞,e2C．[0,e)D．0,e2
【变式3-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数fx=x3+ax2+bx+a2在x=−1处有极值8，则f1等于（ ）
A．−4B．16C．−4或16D．16或18
【变式3-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数fx=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,0B．0,+∞C．−∞,−23D．−23,+∞
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=asinx+csxex+x在0,π上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,22eπ4B．−∞,eπC．0,eπD．22eπ4,+∞
【题型4 求不含参函数的最值】
【例4】（2024·陕西西安·二模）函数f(x)=xx2+1在[−3,3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．613,−613B．25,−25C．310,−310D．12,−12
【变式4-1】（2024·宁夏固原·一模）函数fx=sinx−x+2csx−1在区间0,2π上的最小值、最大值分别为（ ）
A．−2π−3,π+1B．−2π−3,−3C．−3,π+1D．−3,2
【变式4-2】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．12B．e24C．e22D．e2
【变式4-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数fx=a2x2−xlnx−b−1,a,b∈R，且fx在区间0,+∞上单调递增，则2a+b的最小值为（ ）
A．0B．1eC．ln2D．-1
【题型5 求含参函数的最值】
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xeax（a>0）.
(1)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：fx≥lnx+x+1.
【变式5-1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数fx=alnx−2x−a2xa≠0.
(1)当a=1时，求fx的单调区间和极值；
(2)求fx在区间0,1上的最大值.
【变式5-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数fx=ax−ex+1．
(1)求函数y=fx的最值；
(2)若a=3，设曲线y=fx与x轴正半轴的交点为P，该曲线在点P处的切线方程为y=gx，求证：∀x∈R,fx≤gx；
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）已知函数fx=ax−xlnx．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在e,fe处的切线方程；
(2)讨论fx在1,e上的最大值；
(3)是否存在实数a，使得对任意x>0，都有fx≤a？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数fx=xex+a在区间0,1上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【变式6-1】（2023·四川宜宾·三模）若函数fx=x−m2−2,x