专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6900" 【题型1 终边相同的角】 PAGEREF _Tc6900 \h 4
\l "_Tc14847" 【题型2 象限角】 PAGEREF _Tc14847 \h 5
\l "_Tc3031" 【题型3 弧度制及其应用】 PAGEREF _Tc3031 \h 6
\l "_Tc1562" 【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】 PAGEREF _Tc1562 \h 9
\l "_Tc4579" 【题型5 三角函数值符号的判定】 PAGEREF _Tc4579 \h 10
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
【知识点1 三角函数的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则=，=，=.

【知识点2 任意角和弧度制的解题策略】
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集
合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略】
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角
的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各
象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．2kπ+3π4k∈ZB．2kπ+7π4k∈Z
C．kπ−π4k∈ZD．kπ+5π4k∈Z
【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与7π4的终边相同的角.
【解答过程】与7π4的终边相同的角为2kπ+7π4k∈Z.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古·期末）若角α与角−2π5的终边相同，则α可能是（ ）
A．12π5B．−10π5C．22π5D．−22π5
【解题思路】根据α=−2π5+2kπ,k∈Z观察选项得答案.
【解答过程】由已知α=−2π5+2kπ,k∈Z
观察选项可得只有−22π5=−2π5−4π，所以α可能是−22π5.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角α的终边在直线y=x上，则角α的取值集合为（ ）
A．α∣α=k⋅360∘+45∘，k∈ZB．α∣α=k⋅360∘+135∘，k∈Z
C．α∣α=k⋅180∘−135∘，k∈ZD．α∣α=k⋅180∘−45∘，k∈Z
【解题思路】根据角α的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角α的集合.
【解答过程】由题意知角α的终边在直线y=x上，
故α=k⋅360°+45°,k∈Z或α=k⋅360°+225°,k∈Z，
即α=2k+1⋅180°−135°,k∈Z或α=2k+2⋅180°−135°,k∈Z，
故角α的取值集合为α∣α=k⋅180°−135°,k∈Z.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为（ ）
A．ββ=k×180°+90°,k∈ZB．ββ=k×360°+90°,k∈Z
C．ββ=k×180°+150°,k∈ZD．ββ=k×360°+70°,k∈Z
【解题思路】根据题意设α+60°=360°k+130°,k∈Z，解出即可；
【解答过程】设α+60°=360°k+130°,k∈Z，
解得α=360°k+70°,k∈Z，
所以与角α终边相同的角的集合为ββ=k×360°+70°,k∈Z，
故选：B.
【题型2 象限角】
【例2】（2024·全国·模拟预测）若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−αB．180°−αC．270°−αD．−α
【解题思路】根据象限角的概念判断即可.
【解答过程】若α是第一象限角，则k⋅360°