专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc30303" 【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 PAGEREF _Tc30303 \h 3
\l "_Tc19838" 【题型2 诱导公式的应用】 PAGEREF _Tc19838 \h 3
\l "_Tc4512" 【题型3 三角函数式的化简、求值】 PAGEREF _Tc4512 \h 4
\l "_Tc8047" 【题型4 三角恒等式的证明】 PAGEREF _Tc8047 \h 4
\l "_Tc846" 【题型5 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc846 \h 5
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
【知识点1 同角三角函数的基本关系】
1．同角三角函数的基本关系
2．基本关系式的变形公式
【知识点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
(2)形如等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
【知识点3 诱导公式的应用的解题策略】
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进
行运算.如.
【知识点4 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略】
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2024·海南·模拟预测）若α∈0,π，且csα−sinα=12，则tanα=（ ）
A．4+75B．4−75C．4+73D．4−73
【变式1-1】（2023·山西·模拟预测）已知sinα−csα=15,α∈−π2,π2，则sinαcsαsinα+csα=（ ）
A．−125B．125C．−1235D．1235
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=13x上，则sin2α−cs2α−π=（ ）
A．−15或75B．15或−75C．75D．−15
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知方程sin2α+2sinαcsα−2sinα−4csα=0，则cs2α−sinαcsα=（ ）
A．−45B．35C．−35D．45
【题型2 诱导公式的应用】
【例2】（2024·河南信阳·模拟预测）若sinα+π3=14，则csα+5π6=（ ）
A．14B．−14C．±14D．154
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知tanπ2+θ=12，则sin3θ+2cs3θsin(π+θ)=（ ）
A．35B．56C．−56D．−35
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知角α+π3的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P12,32，则csα−π6=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知csθ−2π5=23，则2sin19π10−θ+csθ+13π5=（ ）
A．−2B．2C．−23D．23
【题型3 三角函数式的化简、求值】
【例3】（2023·云南大理·模拟预测）已知tanα=3，则cs3α−csαcsα+π2=（ ）
A．−34B．34C．−310D．310
【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角α0°