专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16109" 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 PAGEREF _Tc16109 \h 3
\l "_Tc13318" 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 PAGEREF _Tc13318 \h 5
\l "_Tc19279" 【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】 PAGEREF _Tc19279 \h 7
\l "_Tc8418" 【题型4 三角函数的周期性问题】 PAGEREF _Tc8418 \h 9
\l "_Tc4175" 【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 11
\l "_Tc27205" 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc27205 \h 13
\l "_Tc14750" 【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 PAGEREF _Tc14750 \h 16
\l "_Tc29205" 【题型8 三角函数的零点问题】 PAGEREF _Tc29205 \h 19
\l "_Tc23192" 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc23192 \h 21
1、三角函数的图象与性质
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcsx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcsx+b(sinx±csx)+c的三角函数，可先设t=sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acs(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acs(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2024·全国·模拟预测）函数fx=csx⋅ln2x+2−x在区间−3π,3π上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据f0>0判断即可.
【解答过程】因为fx的定义域为R，且
f−x=cs−x⋅ln2−x+2x=csx⋅ln2−x+2x=fx，
所以fx为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C．
因为f0=ln2>0，故排除B．
故选：D．
【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=csx与y=lgx的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【解答过程】函数y=csx与y=lgx都是偶函数，其中cs2π=cs4π=1，lg4π>lg10=1>lg2π，
在同一坐标系中，作出函数y=csx与y=lgx的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D.
【变式1-2】（2024·山东·一模）函数fx=ex−1sinxex+1，则y=fx的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数奇偶性以及x∈0,π2时函数值的正负，通过排除法得答案.
【解答过程】函数y=fx的定义域为R，
f−x=e−x−1sin−xe−x+1=ex−1sinxex+1=fx，
即函数y=fx为偶函数，排除BD；
当x∈0,π2时，fx=ex−1sinxex+1>0，排除C.
故选：A.
【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数fx=ex+e−x，gx=sinx，下图可能是下列哪个函数的图像（ ）
A．fx+gx−2B．fx−gx+2
C．fx⋅gxD．gxfx
【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.
【解答过程】对于fx=ex+e−x，但定义域为R，满足f−x=e−x+ex=fx，为偶函数.
同理可得：gx=sinx为奇函数.
记ℎx=fx+gx−2，则ℎ−x=f−x+g−x−2=fx−gx−2
所以ℎ−x≠ℎx且ℎ−x≠−ℎx，所以fx+gx−2为非奇非偶函数；
同理可证：fx−gx+2为非奇非偶函数；fx⋅gx和gxfx为奇函数.
由图可知，图像对应函数为奇函数，且0显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；
对C: y=fx⋅gx=ex+e−xsinx，为奇函数.
当x=1时， e+1esin1>e+1esinπ4>e+1e×22>e×22>e2>1，故错误；
对D， y=gxfx=sinxex+e−x，为奇函数.
当x=1时， sin1e+1e<1.故正确.
故选：D.
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2024·广东湛江·二模）函数fx=4sin5x−π6在0,π5上的值域为（ ）
A．−2,2B．−2,4C．−23,4D．−23,2
【解题思路】先求得5x−π6的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【解答过程】因为x∈ 0,π5，所以5x−π6∈−π6,5π6，所以sin5x−π6∈−12,1，
故fx=4sin5x−π6在0,π5上的值域为−2,4.
故选：B.
【变式2-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π2上的值域为−1,2，则ω的取值范围为（ ）
A．43,2B．43,83C．23,43D．23,83
【解题思路】根据题意可得ωx−π6∈−π6,π2ω−π6，再利用值域可限定π2≤π2ω−π6≤π+π6，解得ω的取值范围为43,83.
【解答过程】由x∈0,π2及ω>0可得ωx−π6∈−π6,π2ω−π6，
根据其值域为−1,2，且2sin−π6=−1，
由正弦函数图象性质可得π2≤π2ω−π6≤π+π6，
即可得23≤ω2≤86，解得43≤ω≤83.
故选：B.
【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数f(x)=2cs2ωx+sin2ωx−1(ω>0)的图象关于点π4,0对称，且f(x)在0,π3上没有最小值，则ω的值为（ ）
A．12B．32C．52D．72
【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得ω=2k−12,k∈Z，再结合最小值点即可求解.
【解答过程】f(x)=2cs2ωx+sin2ωx−1=cs2ωx+sin2ωx=2sin2ωx+π4，
因为fx的图象关于点π4,0对称，
所以fπ4=2sinωπ2+π4=0，
故ωπ2+π4=kπ,k∈Z，即ω=2k−12,k∈Z，
当2ωx+π4=−π2+2kπ，即x=−3π8ω+kπω,k∈Z时，函数fx取得最小值，
因为fx在0,π3上没有最小值，
所以5π8ω≥π3，即ω≤158，
由ω=2k−12≤158解得k≤1918，故k=1，得ω=32.
故选：B.
【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且fx的图象关于点−π12,0对称，则fx在区间0,π2上的最小值为（ ）
A．−3B．−1C．−2D．0
【解题思路】利用题目条件求出fx的解析式，然后讨论fx在0,π2上的单调性即可.
【解答过程】由条件知A=2，πω=π2，sin−π12ω+φ=0，
从而A=ω=2，sinφ−π6=0，
所以φ−π6=kπ,k∈Z，即φ=kπ+π6,k∈Z，
又因为φ<π2，故k=0,φ=π6.
这说明fx=2sin2x+π6，该函数在0,π6上递增，在π6,π2上递减.
又f0=1,fπ2=−1，所以fx在区间0,π2上的最小值为−1.
故选：B.
【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3sin3x+π6+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．fx的图象关于点5π18,1对称
B．若fx+t是偶函数，则t=kπ3+π9,k∈Z
C．fx在区间0,π3上的值域为−12,52
D．fx的图象关于直线x=π9对称
【解题思路】代入验证法判断函数fx的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得t的值判断选项B；求得fx在区间0,π3上的值域判断选项C.
【解答过程】对于A：f5π18=3sin3×5π18+π6+1=1，
则fx的图象关于点5π18,1对称，故A正确．
对于B：因为fx+t=3sin3x+t+π6+1=3sin3x+3t+π6+1是偶函数，
所以3t+π6=kπ+π2,k∈Z，即t=kπ3+π9,k∈Z，故B正确．
对于C：当x∈0,π3时，3x+π6∈π6,7π6,sin3x+π6∈−12,1，
所以fx=3sin3x+π6+1∈−12,4，
即fx在区间0,π3上的值域为−12,4，故C错误．
对于D：当x=π9时，3x+π6=3×π9+π6=π2，
则fx的图象关于直线x=π9对称，故D正确．
故选：C.
【变式3-1】（2024·贵州黔南·二模）若函数fx=csx−π3+φ为偶函数，则φ的值可以是（ ）
A．5π6B．4π3C．πD．π2
【解题思路】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【解答过程】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，
则−π3+φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ+π3,k∈Z，
对于选项A：令φ=kπ+π3=5π6，解得k=12∉Z，不合题意；
对于选项B：令φ=kπ+π3=4π3，解得k=1∈Z，符合题意；
对于选项C：令φ=kπ+π3=π，解得k=23∉Z，不合题意；
对于选项D：令φ=kπ+π3=π2，解得k=16∉Z，不合题意；
故选：B.
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为x=π3+kπ,k∈Z的是（ ）
A．fx=sinx−π3B．fx=csx+2π3
C．fx=sin2x−π6D．fx=cs2x+π3
【解题思路】
根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.
【解答过程】对于A，fx=sinx−π3，令x−π3=π2+kπ,k∈Z，即x=5π6+kπ,k∈Z，
即fx的对称轴方程为x=5π6+kπ,k∈Z，A错误；
对于B，fx=csx+2π3，令x+2π3=π+kπ,k∈Z，即x=π3+kπ,k∈Z，
即fx的对称轴方程为x=π3+kπ,k∈Z，B正确；
对于C，fx=sin2x−π6，令2x−π6=π2+kπ,k∈Z，即x=π3+12kπ,k∈Z，
即fx的对称轴方程为x=π3+12kπ,k∈Z，C错误；
对于D，fx=cs2x+π3，令2x+π3=kπ,k∈Z，即x=−π6+12kπ,k∈Z，
即fx的对称轴方程为x=−π6+12kπ,k∈Z，D错误；
故选：B.
【变式3-3】（2024·广东佛山·二模）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[π4,3π2]有且仅有两个零点，且f(3π8)=f(11π8)，则f(x)图象的一条对称轴是（ ）
A．x=7π12B．x=11π12C．x=13π8D．x=15π8
【解题思路】由函数的零点情况，求出ω的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.
【解答过程】由函数f(x)=sin(ωx+π3)在[π4,3π2]有且仅有两个零点，
得T2≤3π2−π4<32T，解得T∈(5π6,5π2]，则ω∈[45,125)，
又f(3π8)=f(11π8)，而11π8−3π8=π，当T=π时，ω=2，f(x)=sin(2x+π3)，
由x∈[π4,3π2]，得2x+π3∈[5π6,10π3]，当2x+π3=π,2π,3π时，f(x)=0，
即函数f(x)在[π4,3π2]有3个零点，不符合题意，
因此x=7π8是函数f(x)图象的一条对称轴，即7π8ω+π3=π2+kπ,k∈N，解得ω=4(1+6k)21，
当k≥2时，ω>125，当k=0时，ω=421<45，均不符合题意；
当k=1时，ω=43，得T=3π2，则f(x)图象的对称轴为x=7π8+T2=13π8.
故选：C.
【题型4 三角函数的周期性问题】
【例4】（2024·天津·一模）下列函数中，以π2为周期，且在区间π4,π3上单调递增的是（ ）
A．fx=sinxB．fx=sin2x
C．fx=csxD．fx=cs2x
【解题思路】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.
【解答过程】对A：f0=sin0=0，fπ2=sinπ2=1≠f0，故fx=sinx不以π2为周期，故A错误；
对B：fx+π2=sin2x+π=sin2x=fx，故fx=sin2x以π2为周期，
当x∈π4,π3时，2x∈π2,2π3，由y=sinx在π2,2π3上单调递减，
且y=sinx>0，故fx=sin2x在π4,π3上单调递减，故B错误；
对C：f0=cs0=1，fπ2=csπ2=0≠f0，故fx=csx不以π2为周期，故C错误；
对D：fx+π2=cs2x+π=cs2x=fx，故fx=cs2x以π2为周期，
当x∈π4,π3时，2x∈π2,2π3，由y=csx在π2,2π3上单调递减，
但y=csx<0，故x∈π4,π3时，fx=cs2x=−cs2x，
故fx=cs2x在π4,π3上单调递增，故D正确.
故选：D.
【变式4-1】（2023·湖南长沙·一模）已知函数fx=sinωx−π6(1<ω<2)，若存在x1,x2∈R，当x1−x2=2π时，fx1=fx2=0，则函数fx的最小正周期为（ ）
A．2π3B．4π3C．2πD．4π
【解题思路】由题意可得出k⋅T2=2π，结合1<ω<2，可得ω=32，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案.
【解答过程】因为存在x1,x2∈R，当x1−x2=2π时，fx1=fx2=0，
所以k⋅T2=k⋅πω=2π,k∈Z，即ω=k2,k∈Z，
又因为1<ω<2，则k=3，所以ω=32，
所以函数fx的最小正周期为：T=2π32=4π3，
故选：B.
【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）记函数f(x)=sin(ωx+π6) (ω>0)的最小正周期为T，若π2A．113B．103C．83D．43
【解题思路】由最小正周期π2【解答过程】函数f(x)的最小正周期π2又f(x)≤fπ8，即x=π8是函数f(x)的一条对称轴，
所以π8ω+π6=π2+kπ,k∈Z，解得ω=83+8k,k∈Z.
又2<ω<4，当k=0时，ω=83.
故选：C.
【变式4-3】（2023·内蒙古赤峰·三模）定义运算如果abcd=ad−bc，fx=1052sinωx+φω>0,0<φ<π2，φ满足等式3sinφ=csφ，函数fx在0,π2单调递增，则ω取最大值时，函数fx的最小正周期为（ ）
A．3πB．πC．π2D．2π
【解题思路】求出函数fx的解析式，根据已知条件求出φ的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于ω的不等式组，解出ω的取值范围，可得出ω的最大值，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.
【解答过程】fx=1052sinωx+φ=10sinωx+φ−10，
因为3sinφ=csφ，所以，tanφ=33，
而0<φ<π2，所以φ=π6，即fx=10sinωx+π6−10，
当x∈0,π2时，π6<ωx+π6<π2ω+π6，
因为fx在0,π2上单调递增，所以，π2ω+π6≤π2ω>0，解得0<ω≤23，
当ω取最大值23时，fx的最小正周期T=2π23=3π，
故选：A．
【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】
【例5】（2024·青海·模拟预测）下列区间中，函数fx=3sinx+π4单调递增的区间是（ ）
A．0,π2B．π4,5π4
C．5π4,9π4D．π,2π
【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.
【解答过程】令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z，
当k=0时，增区间是−3π4,π4，当k=1时，增区间是5π4,9π4，
其中只有5π4,9π4是增区间的子集.
故选：C.
【变式5-1】（2023·陕西·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ在x=π6处取得到最大值，则fx的一个单调递增区间是（ ）
A．−π12,5π12B．π6,2π3C．5π12,11π12D．2π3,7π6
【解题思路】根据函数的最值结合正弦函数性质可得φ=2kπ+π6,k∈Z，即fx=sin2x+π6，进而求fx的单调递增区间，结合选项分析判断.
【解答过程】因为fx=sin2x+φ在x=π6处取得到最大值，则fπ6=sinπ3+φ=1，
可得π3+φ=2kπ+π2,k∈Z，解得φ=2kπ+π6,k∈Z，
所以fx=sin2x+2kπ+π6=sin2x+π6,k∈Z，
令2kπ−π2<2x+π6<2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π3所以fx的单调递增区间是kπ−π3,kπ+π6,k∈Z，
令k=0,1，可得−π3,π6，2π3,7π6，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【变式5-2】（2023·贵州·模拟预测）已知a=sin1，b=sin32，c=sin2，则（ ）
A．a【解题思路】根据诱导公式，得到sin2=sinπ−2，结合y=sinx在(0,π2)上是增函数，即可求解.
【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得sin2=sinπ−2，
因为0<1<π−2<32<π2，且y=sinx在(0,π2)上是增函数
所以sin1故选：D.
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπ6−x,gx=csx−π3，则使得fgx和gfx都单调递增的一个区间是（ ）
A．π6,π3B．π3,π2C．π2,2π3D．2π3,5π6
【解题思路】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【解答过程】当x从π6增加到π3时，fx从0递减到−12，gx从32递增到1，
所以fgx从sinπ6−32递减到sinπ6−1，gfx从12递减到cs−12−π3，A错误；
当x从π3增加到π2时，fx从−12递减到−32，gx从1递减到32，
所以fgx从sinπ6−1递增到sinπ6−32，gfx从cs−12−π3递减到cs−32−π3，B错误；
当x从π2增加到2π3时，fx从−32递减到−1，gx从32递减到12，
所以fgx从sinπ6−32递增到sinπ6−12，gfx从cs−32−π3递减到cs−1−π3，C错误；
当x从2π3增加到5π6时，fx从-1递增到−32，gx从12递减到0，
所以fgx从sinπ6−12递增到12，gfx从cs−1−π3递增到cs−32−π3，D正确；
故选：D.
【题型6 根据三角函数的单调性求参数】
【例6】（2023·天津·二模）若函数fx=2sinωx+π6ω>0在区间−π6,π6上具有单调性，则ω的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由x的范围确定ωx+π6的范围，分别讨论fx单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得ω的范围，进而确定最大值.
【解答过程】当x∈−π6,π6时，ωx+π6∈−π6ω+π6,π6ω+π6；
若fx在−π6,π6上单调递增，则−π6ω+π6≥−π2+2kππ6ω+π6≤π2+2kπk∈Z，
解得：ω≤4−12kω≤2+12kk∈Z，又ω>0，∴若不等式组有解，则4−12k>02+12k>0
解得：−16若fx在−π6,π6上单调递减，则−π6ω+π6≥π2+2kππ6ω+π6≤3π2+2kπk∈Z，
解得：ω≤−2−12kω≤8+12k，又ω>0，∴若不等式组有解，则−2−12k>08+12k>0，
解得：−23综上所述：ω∈0,2，则ω的最大值为2.
故选：B.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数fx在区间π6,π4不单调，则ω的取值范围是（ ）
A．34,1B．12,1
C．23,1D．45,1
【解题思路】由函数fx在区间π6,π4不单调，转化为在π6,π4上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.
【解答过程】已知fx=sinωx+π3(ω>0)，
令ωx+π3=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ+π6ω,(k∈Z)
则函数fx对称轴方程为x=kπ+π6ω,(k∈Z)
∵函数fx在区间π6,π4不单调，
∴ π6又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1，
故仅当k=0时，23<ω<1满足题意.
故选：C.
【变式6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2，fx≤fπ6，fx+f4π3−x=0，fx在π3,5π12上单调，则ω的最大值为（ ）．
A．3B．5C．6D．7
【解题思路】根据fx≤fπ6可知直线x=π6为fx图象的对称轴，根据fx+f4π3−x=0可得fx的对称中心为2π3,0，结合三角函数的周期性可得ω=2k+1,k∈N，再根据fx在π3,5π12上单调，可得0<ω≤12，逐一验证当ω取到最大值11,9,7时，求解φ，检验在π3,5π12上单调性看是否满足，即可得答案.
【解答过程】∵fx≤fπ6，∴直线x=π6为fx图象的对称轴，
∵f(x)+f4π3−x=0，∴f(x)的对称中心为2π3,0，
∴1+2k4T=2π3−π6=π2,k∈N，
∴T=2π2k+1=2πω,k∈N，
∴ω=2k+1,k∈N．
又f(x)在π3,5π12上单调，∴T2≥5π12−π3=π12．
∴T=2πω≥π6，∴0<ω≤12，
又ω=2k+1,k∈N，
∴当ω=11时，f(x)=Asin11x+φ，因为直线x=π6为fx图象的对称轴，
所以11×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=−4π3+kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=−π3，则f(x)=Asin11x−π3，
当x∈π3,5π12时，11x−π3∈10π3,17π4，则fx在π3,5π12上不单调，舍去；
当ω=9时，f(x)=Asin9x+φ，因为直线x=π6为fx图象的对称轴，
所以9×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=−π+kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=0，则f(x)=Asin9x，
当x∈π3,5π12时，9x∈3π,15π4，则fx在π3,5π12上不单调，舍去；
∴当ω=7时，f(x)=Asin7x+φ，因为直线x=π6为fx图象的对称轴，
所以7×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=−2π3+kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，则f(x)=Asin7x+π3，
当x∈π3,5π12时，7x+π3∈8π3,13π4，则fx在π3,5π12上单调.
则ω的最大值为7．
故选：D.
【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）定义mina,b=a,a≤bb,a>b设函数fx=minsinωx,csωx(ω>0)，可以使fx在(5π12,π2)上单调递减的ω的值为（ ）
A．25,35B．2,3C．35,2D．3,4
【解题思路】分段写出函数f(x)解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.
【解答过程】依题意，f(x)=sinωx,x∈[−3π4ω+2kπω,π4ω+2kπω)csωx,x∈[π4ω+2kπω,5π4ω+2kπω),k∈Z，
函数f(x)的递减区间是[−3π4ω+2kπω,−π2ω+2kπω]，[π4ω+2kπω,πω+2kπω]，k∈Z，
于是(5π12,π2)⊆[−3π4ω+2kπω,−π2ω+2kπω]或(5π12,π2)⊆[π4ω+2kπω,πω+2kπω]，k∈Z，
即−3π4ω+2kπω≤5π12−π2ω+2kπω≥π2，k∈Z，解得24k5−95≤ω≤4k−1，由0<ω≤4k−124k5−95<4k−1，得14或π4ω+2kπω≤5π12πω+2kπω≥π2，k∈Z，解得24k5+35≤ω≤4k+2，由0<ω≤4k+224k5+35<4k+2，得−12当k=0时，35≤ω≤2，当k=1时，275≤ω≤6，选项C满足，ABD不满足.
故选：C.
【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例7】（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8,0，点B0,22在f(x)的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．f(x)=cs2x+π4B．直线x=5π8是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在7π8,11π8上单调递减D．fx+π8是奇函数
【解题思路】
由f0=22可得φ=π4，由对称中心Aπ8,0可求得ω=2，从而知函数fx的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【解答过程】因为点B0,22在f(x)的图象上， 所以f(0)=csφ=22.又0<φ<π，所以φ=π4.
因为f(x)图象的一个对称中心是Aπ8,0，所以ωπ8+π4=π2+kπ，k∈Z，
则ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，则f(x)=cs2x+π4，A正确.
f5π8=cs3π2=0，则直线x=5π8不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确.
当x∈7π8,11π8时，2x+π4∈[2π,3π]，f(x)单调递减，C正确.
fx+π8=cs2x+π2=−sin2x，是奇函数，D正确.
故选：B.
【变式7-1】（2024·天津·模拟预测）已知fx=sinωx+π3+φω>0,φ<π2为偶函数，gx=sinωx+φ，则下列结论错误的个数为（ ）
①φ=π6；
②若gx的最小正周期为3π，则ω=23；
③若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为73,103；
④若gπ4=32，则ω的最小值为2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据正弦函数的性质一一判断即可.
【解答过程】对于①：若fx=sinωx+π3+φ(ω>0，φ<π2)为偶函数，
则π3+φ=π2+kπ,k∈Z，即φ=π6+kπ,k∈Z，又φ<π2，所以φ=π6，故①正确；
对于②：若gx的最小正周期为3π且ω>0，则T=2πω=3π，所以ω=23，故②正确；
对于③：由x∈0,π，ω>0，得ωx+π6∈π6,ωπ+π6，
若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，
则5π2<ωπ+π6≤7π2，解得73<ω≤103，故③正确；
对于④：因为gx=sinωx+π6，若gπ4=sinπ4ω+π6=32，
则π4ω+π6=π3+2kπ或π4ω+π6=2π3+2kπ，k∈Z，
解得ω=23+8k或ω=2+8k,k∈Z，
又ω>0，所以ω的最小值为23，故④错误.
故选：A.
【变式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函数fx=sinωx+csωxω>0的最小正周期为π，则（ ）
A．fx在−π8,π8单调递增B．3π8,0是fx的一个对称中心
C．fx在−π6,π6的值域为1,2D．x=π8是fx的一条对称轴
【解题思路】由函数fx的最小正周期为π，求出ω=2，再代入化简fx，画出fx的图象，再对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】因为函数fx的最小正周期为π，所以ω=2，
所以函数fx=sin2x+cs2x=sin2x+cs2x,x∈kπ,π2+kπ−sin2x+cs2x,x∈π2+kπ,π+kπ
即fx=2sin2x+π4,x∈kπ,π2+kπ−2sin2x−π4,x∈π2+kπ,π+kπ，作出函数fx的图象，
如下图所示：
对于A，由图可知，fx在−π8,π8单调有增有减，故A错误；
对于B，由图象可知，fx无对称中心，故B错误；
对于C，由图象可知，fx为偶函数，当x∈0,π6，
2x+π4∈π4,7π12，所以sin2x+π4∈22,1，
所以2sin2x+π4∈1,2，所以fx在−π6,π6的值域为1,2，故C正确；
对于D，由图象可知，fx的对称轴为x=kπ2,k∈Z，故D错误.
故选：C.
【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx=csx−1csx，现给出下列四个结论：
①fx的图象关于点π2,0对称；
②函数ℎx=fx的最小正周期为2π；
③函数gx=2fx+fx在0,π2上单调递减；
④对于函数gx=2fx+fx,∀x∈0,π2,3gx=gx+π．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
【解题思路】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D.
【解答过程】对于①，由csx≠0得fx的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z，
f(π−x)+f(x)=cs(π−x)−1cs(π−x)+csx−1csx=0，
因此f(x)的图象关于点(π2,0)对称，故①正确；
对于②，因为ℎπ+x=fπ+x=csπ+x−1csπ+x=csx−1csx=ℎx，
所以π是ℎx的周期，故②错误；
对于③，当x∈0,π2时，csx∈0,1，所以csx−1csx<0，
故gx=2fx+fx=2csx−1csx−csx−1csx=csx−1csx，
因为t=csx在0,π2上单调递减，y=t−1t在0,1上单调递增，
所以，由复合函数性质可知，函数gx在0,π2上单调递减，③正确；
对于④，由上知，当x∈0,π2时，3|g(x)|=3(1csx−csx)，
g(x+π)=2[cs(x+π)−1cs(x+π)]+|cs(x+π)−1cs(x+π)|
=2(−csx+1csx)+1csx−csx=3(1csx−csx)，
因此3|g(x)|=g(x+π)，故④正确.
故选：C.
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=3csωx+φω<0，−π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间−π6,π6上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是（ ）
A．π6,π2B．−π2,−π3C．π3,π2D．0,π3
【解题思路】根据给定周期求得ω=−2，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【解答过程】由函数f(x)的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=−2，
则f(x)=3cs(−2x+φ)=3cs(2x−φ)，由2kπ≤2x−φ≤2kπ+π,k∈Z，
得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π+φ,k∈Z，又f(x)在(−π6,π6)上单调递减，
因此2kπ+φ≤−π3，且π3≤2kπ+π+φ,k∈Z，解得−2π3−2kπ≤φ≤−π3−2kπ,k∈Z①，
由余弦函数的零点，得2x−φ=nπ+π2,n∈Z，即2x=nπ+π2+φ,n∈Z，
而f(x)在(0,π6)上存在零点，则0于是−nπ−π2<φ<−nπ−π6,n∈Z②，又−π2<φ<π2，联立①②解得−π2<φ≤−π3，
所以φ的取值范围是(−π2,−π3].
故选：B.
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sin2πωxω>0在区间0,2上单调，且在区间0,18上有5个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．19,536B．19,536
C．19,18D．19,18
【解题思路】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
【解答过程】因为fx=sin2πωx，所以函数fx的最小正周期T=2π2πω=1ωω>0．
因为fx在区间0,2上单调，所以14T=14ω≥2，可得ω≤18；
因为fx在区间0,18上有5个零点，所以2T≤18<52T，即2ω≤18<52ω，可得19≤ω<536；
综上，19≤ω≤18．
故选：D．
【变式8-2】（2024·全国·一模）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)在区间π3,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．83,113∪4,143B．113,4∪143,173
C．[113,143)∪(5,173)D．143,5∪173,203
【解题思路】先由零点个数求出3≤ω<6，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.
【解答过程】因为x∈π3,π，ωx+π3∈π3ω+π3,πω+π3，其中2πω≤π−π3<4πω，解得：3≤ω<6，
则π3ω+π3≥4π3，要想保证函数在π3,π恰有三个零点，
满足①π+2k1π≤π3ω+π3<2π+2k1π4π+2k1π<πω+π3≤5π+2k1π，k1∈Z，令k1=0，解得：ω∈113,143；
或要满足②2k2π≤π3ω+π3<π+2k2π2k2π+3π<πω+π3≤2k2π+4π，k2∈Z，令k2=1，解得：ω∈5,173；
经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件，
综上：ω的取值范围是113,143∪5,173.
故选：C.
【变式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4=−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．17π6,23π6B．17π6,236πC．7π3,10π3D．7π3,10π3
【解题思路】根据题意可确定T为函数f(x)=2cs(ωx+φ)的最小正周期，结合fT4=−1求出φ，再根据f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【解答过程】由题意知T为函数f(x)=2cs(ωx+φ)的最小正周期，故T=2πω，
由fT4=−1得2cs(π2+φ)=−1，即cs(π2+φ)=−12，
由于−π2<φ<π2，故φ=π6，
f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，故ωx+π6∈[π6,ω+π6]，
且由于y=csx在(0,+∞)上使得csx=0的x的值依次为π2,3π2,5π2,7π2,…，
故5π2≤ω+π6<7π2，解得7π3≤ω<10π3，即ω∈7π3,10π3，
故选：D.
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例9】（2024·上海金山·二模）已知函数y=f(x)，记f(x)=sinωx+φ，ω>0，0<φ<π，x∈R.
(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，当f(π6)=1时，求ω和φ的值；
(2)若ω=1，φ=π6，函数y=f2(x)−2f(x)−a有零点，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得φ，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为t2−2t−a=0在x∈[−1,1]有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【解答过程】（1）因为函数y=f(x)的最小正周期2πω=π，所以ω=2，
则当x=π6时，sinπ3+φ=1，
所以π3+φ=2kπ+π2(k∈Z)，得φ=2kπ+π6(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以取k=0得φ=π6，
（2）解法一：
当ω=1，φ=π6时，fx=sinx+π6，x∈R，
设t=fx=sinx+π6∈[−1,1]，
由题意得，t2−2t−a=0在x∈[−1,1]有解，化简得a=t2−2t，
又g(t)=t2−2t=t−12−1在t∈[−1,1]上单调递减，
所以−1≤g(t)≤3，则a∈[−1,3].
解法二：
当ω=1，φ=π6时，fx=sinx+π6，x∈R，
设t=fx=sinx+π6∈[−1,1]，
由题意得，t2−2t−a=0在x∈[−1,1]有解，
记ℎ(t)=t2−2t−a，对称轴为t=1，
则由根的分布可得Δ≥0ℎ−1≥0，即4+4a≥0−12−2⋅−1−a≥0，解得−1≤a≤3，
所以a∈[−1,3].
【变式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函数fx=2sinωx+π3+m−3(ω>0).在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知.
(1)求fπ6的值；
(2)若函数fx在区间0,a上是增函数，求实数a的最大值.
条件①：f0=2；条件②：fx最大值与最小值之和为0；条件③：fx最小正周期为π.
【解题思路】（1）选择适合的条件求出ω和m的值，得出函数fx的表达式，即可求出fπ6的值；
（2）求出函数单调区间，根据函数在区间0,a上是增函数即可求出实数a的最大值.
【解答过程】（1）由题意，
在fx=2sinωx+π3+m−3(ω>0)中，
选条件①②：
由①知，f0=2sinπ3−3+m=2，所以m=2；
由②知，2−3+m+−2−3+m=0，所以m=3；矛盾.
∴函数fx不能同时满足条件①和②，
∴不能选①和②.
选条件①③：
由条件③得，T=2πω=π，又因为ω>0，所以ω=2.
由①知，f0=2sinπ3−3+m=2，所以m=2.
则fx=2sin2x+π3+2−3.
所以fπ6=2sin2π3+2−3=2
选条件②③：
由于fx最小正周期为π，所以ω=2，所以fx=2sin2x+π3+m−3；
由fx最大值与最小值之和为0，a≤π12
fxmin=−2−3+m,fxmax=2−3+m，
故−2−3+m+2−3+m=0，解得m=3.
所以fx=2sin2x+π3.故fπ6=2sin2π3=3.
（2）由题意及（1）得，
选条件①③：
在fx=2sin2x+π3+2−3中，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，
∴−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，
∴函数fx的单调增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z.
∵函数在区间0,a上单调递增，且0∈−5π12,π12，此时k=0，
所以a≤π12，
∴a的最大值为π12.
选条件②③：
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，所以−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，
所以函数fx的单调增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z.
因为函数在区间0,a上单调递增，且0∈−5π12,π12，此时k=0，
∴a的最大值为π12.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−2cs2x+2sinx+3t，t为常数.
(1)证明：fx的图象关于直线x=π2对称.
(2)设fx在π,3π2上有两个零点m，n.
（ⅰ）求t的取值范围；
（ⅱ）证明：m+n<5π2.
【解题思路】（1）利用平方关系将函数变形为fx=2sin2x+2sinx+3t−2，再计算fπ−x=fx即可证明；
（2）（ⅰ）令k=sinx则k∈−1,0，问题转化为关于k的方程2k2+2k+3t−2=0在−1,0上有两个不相等实数根，即可得到3t−2>02×−12+2×−1+3t−2>0Δ=4−4×23t−2>0，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令k1=sinm<0，k2=sinn<0，根据韦达定理得到sinm+sinn=−1，将两边平方可得sin2m【解答过程】（1）因为fx=−2cs2x+2sinx+3t
=−21−sin2x+2sinx+3t
=2sin2x+2sinx+3t−2，
因为fπ−x=2sin2π−x+2sinπ−x+3t−2 =2sin2x+2sinx+3t−2=fx，
所以fx的图象关于直线x=π2对称.
（2）（ⅰ）令k=sinx，因为x∈π,3π2，所以sinx∈−1,0，则k∈−1,0，
则2sin2x+2sinx+3t−2=2k2+2k+3t−2，k∈−1,0，
因为y=sinx在π,3π2上单调递减，
所以关于k的方程2k2+2k+3t−2=0在−1,0上有两个不相等实数根，
所以3t−2>02×−12+2×−1+3t−2>0Δ=4−4×23t−2>0，解得23即t的取值范围为23,56.
（ⅱ）令k1=sinm<0，k2=sinn<0，则k1，k2为关于k的方程2k2+2k+3t−2=0的两根，
所以k1+k2=−1，k1k2=3t−22，
所以sinm+sinn=−1，
所以sinm+sinn2=−12，即sin2m+sin2n+2sinmsinn=1，
因为2sinmsinn>0，
所以sin2m+sin2n<1=cs2n+sin2n，所以sin2m由于π则−sinm<−sin5π2−n，即sinm>sin5π2−n，
又y=sinx在π,3π2上单调递减，所以m<5π2−n，即m+n<5π2.
【变式9-3】（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1．
(1)若fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m(3)已知函数ℎ(x)=acs(2x−π6)−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得ℎ(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2可求得函数fx的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得gx的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n−m的最小值；（3）将所给条件转化为ℎ(x)和g(x)的值域的包含关系，即可求得参数a的取值范围．
【解答过程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π6)+1的最小正周期为T=2π2ω，
又∵fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2，∴fx的最小正周期是π，
故T=2π2ω=π，解得ω=±1，
当ω=1时，fx=2sin2x+π6+1，由2x+π6=kπk∈Z⇒x=−π12+kπ2k∈Z，fx的对称中心为−π12+kπ2，1k∈Z；
当ω=−1时，fx=2sin−2x+π6+1，由−2x+π6=kπk∈Z⇒x=π12−kπ2k∈Z，fx的对称中心为π12−kπ2，1k∈Z；
综上所述，fx的对称中心为−π12+kπ2,1k∈Z或π12−kπ2,1k∈Z.
（2）∵函数fx图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，
∴g(x)=2sin2ωx+π6−π3ω+1.
又∵x=π3是gx的一个零点，
g(π3)=2sin2π3ω+π6−π3ω+1=0，即sinπ3ω+π6=−12，
∴π3ω+π6=7π6+2kπ或π3ω+π6=11π6+2kπ，k∈Z，
解得ω=3+6kk∈Z或ω=5+6kk∈Z，
由0<ω<5可得ω=3
∴g(x)=2sin6x−5π6+1，最小正周期T=π3.
令gx=0，则sin6x−5π6=−12
即6x−5π6=−π6+2k1π或6x−5π6=−5π6+2k2π，k∈Z，解得x=k1π3+π9或x=k2π3，k1,k2∈Z；
若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m要使n−m最小，须m、n恰好为gx的零点，故n−mmin=4×π3+π9=13π9.
（3）由（2）知g(x)=2sin6x−5π6+1，对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得ℎ(x1)=g(x2)成立，则{y|y=ℎ(x)}⊆{y|y=g(x)}，
当x2∈[0,π4]时，6x−5π6∈−5π6,2π3,sin6x−5π6∈−1,1,gx2∈−1,3，
当x1∈[0,π4]时，2x−π6∈−π6,π3,cs2x−π6∈12,1,ℎx1∈−32a+3,−a+3，
由{y|y=ℎ(x)}⊆{y|y=g(x)}可得a>0−32a+3≥−1−a+3≤3，解得a∈0,83，
故实数a的取值范围为0,83.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,π3内单调递增，则f(x)可能是（ ）
A．f(x)=sinx−π3B．f(x)=csx−π3
C．f(x)=sin2x−π3D．f(x)=cs2x−π3
【解题思路】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【解答过程】因为函数f(x)的周期为π，
所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω=2πT=2ππ=2，故排除AB，
当x∈π6,π3时，2x−π3∈0,π3，
因为y=sinx在0,π3上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C.
2．（2024·江西九江·模拟预测）函数fx=e−x−excsx的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】判断函数的奇偶性，并判断x∈0,π2时，函数值的正负，即可判断选项.
【解答过程】∵f(x)=(e−x−ex)csx，
∴定义域为R，关于原点对称，
由f(−x)=(ex−e−x)cs(−x)=−(e−x−ex)csx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
当00，因为y=e−x为R上减函数，y=ex为R上的增函数，
则y=e−x−ex为R上的减函数，且当x=0，y=0，则当0e−x−ex<0，故f(x)<0，排除A.
故选：C.
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx=sinx+φ−π2<φ<0的图象关于点π12,0对称，若当x∈m,π3时，f(x)的最小值是−1，则m的最大值是（ ）
A．−π6B．−5π12C．5π12D．π6
【解题思路】利用正弦型函数的对称性可得φ，再利用正弦型函数的最小值即可得解.
【解答过程】由题意可得π12+φ=kπk∈Z，则φ=−π12+kπk∈Z，
又−π2<φ<0，故φ=−π12，即fx=sinx−π12，
当x∈m,π3时，x−π12∈m−π12,π4，又f(x)的最小值是−1，
则m−π12≤−π2，故m≤−π2+π12=−5π12，即m的最大值是5π12.
故选：B.
4．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)，B，C两点的横坐标分别为x1,x2，若x2−x1=π4，则（ ）
A．φ=π4B．f(π2)=−2
C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称D．f(x)在[0,π2]上单调递减
【解题思路】根据给定条件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，进而求得x2−x1=π2ω，结合x2−x1=π4，得到ω=2，再逐项分析判断即可.
【解答过程】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π，且点A在f(x)图象的下降部分，则φ=3π4，
于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，显然A,B,C是直线y=2与fx的图象的三个连续的交点，
由A点横坐标xA=0，即ωxA+3π4=3π4，解得ωx1+3π4=9π4，ωx2+3π4=11π4，
解得x1=3π2ω，x2=2πω，则x2−x1=π2ω，而x2−x1=π4，因此ω=2，所以f(x)=2sin(2x+3π4)，
对于A，φ=3π4，A错误；
对于B，f(π2)=2sin(π+3π4)=−2sin3π4=−2，B正确；
对于C，f(π)=2sin(2π+3π4)=2sin3π4=2≠0，f(x)的图象关于(π,0)不对称，C错误；
对于D，当x∈[0,π2]时，3π4≤2x+3π4≤7π4，当2x+3π4=3π2，即x=3π8时，函数f(x)取得最小值，
又3π8∈(0,π2)，因此f(x)在[0,π2]上不单调，D错误.
故选：B.
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<π2，且x=π6,x=2π3是函数y= f(x)相邻的两个零点，∀x∈R,f(x)≤3，则下列结论错误的是（ ）
A．A=3B．ω=2
C．φ=−π6D．fx−π12=f−x−π12
【解题思路】对于A，由∀x∈R,f(x)≤3判断，对于B，由题意可得T2=2π3−π6，结合周期公式可求出ω，对于C，由fπ6=0可求出φ，对于D，求f−π12的值可判断x=−π12是否为对称轴即可.
【解答过程】对于A，因为∀x∈R,f(x)≤3,A>0，所以A=3，故A正确；
对于B，f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2，且x=π6,x=2π3是函数y=f(x)相邻的两个零点，
所以其周期T2=πω=2π3−π6=π2，所以ω=2，故B正确；
对于C，令π6×2+φ=kπ (k∈Z)，则φ=kπ−π3(k∈Z)，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π3，故C错误；
对于D，由以上可知f(x)=3sin2x−π3，所以f−π12=3sin2×−π12−π3=−3，
所以f(x)的图象关于直线x=−π12对称，所以fx−π12=f−x−π12，故D正确.
故选：C.
6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数fx=sin2x−π6，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数fx的图象关于点5π12,0中心对称
（2）函数fx的图象关于直线x=−π8对称
（3）函数fx在区间−π,π内有4个零点
（4）函数fx在区间−π2,0上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于（1），由f(5π12)=sin(2×5π12−π6)=sin2π3=32≠0，
所以5π12,0不是函数fx的图象的对称中心，所以（1）错误；
对于（2）中，由f(−π8)=sin(−2×π8−π6)=sin(−5π12)≠±1，
所以x=−π8不是函数fx的图象的对称轴，所以（2）错误；
对于（3）中，令2x−π6=kπ,k∈Z，可得x=π12+kπ2,k∈Z，
当k=0时，可得x=π12；当k=1时，可得x=7π12；当k=−1时，可得x=−5π12；
当k=−2时，可得x=−11π12，所以在−π,π内，函数fx有4个零点，所以（3）正确；
对于（4）中，由x∈−π2,0，可得2x−π6∈−7π6,−π6，此时函数fx不是单调函数，所以（4）错误.
故选：A.
7．（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=csωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为π4，则f(x)的单调递增区间为（ ）
A．−π3+kπ,π6+kπ,k∈ZB．−π3+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
C．−π12+kπ,5π12+kπ,k∈ZD．−π12+2kπ,5π12+2kπ,k∈Z
【解题思路】先求出函数f(x)的周期，再求出ω，求出函数f(x)的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求解.
【解答过程】函数f(x)=csωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0，|α−β|的最小值为π4，
则T4=π4，所以T=π，故2πω=π，所以ω=2，所以f(x)=cs2x−π3，
令2kπ−π≤2x−π3≤2kπ,k∈Z得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
故选：A.
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3（ω>0）在区间0,5π6上只有1个零点，且当x∈−2π3,π6时，fx单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．45,2B．45,54C．45,1D．54,2
【解题思路】由x范围求得ωx+π3的范围，结合整体思想转化为y=sint在π3,5π6ω+π3上只有1个零点，在−2π3ω+π3,π6ω+π3上单调递增，求解即可.
【解答过程】当x∈0,5π6时，ωx+π3∈π3,5π6ω+π3，
因为f(x)在0,5π6上只有1个零点，
所以π<5π6ω+π3≤2π，解得45<ω≤2，
当x∈−2π3,π6时，ωx+π3∈−2π3ω+π3,π6ω+π3，
因为45<ω≤2，所以−π≤−2π3ω+π3<−π5，
又因为f(x)在−2π3,π6上单调递增，
所以−π2≤−2π3ω+π3π6ω+π3≤π2，解得ω≤1.
综上可得45<ω≤1.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·吉林·二模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2部分图象如图所示，则（ ）
A．φ=π3
B．函数fx在π12,π2上单调递减
C．方程fx=1的解集为x|x=kπ−π12,k∈Z
D．θ=−π6是函数y=fx+θ是奇函数的充分不必要条件
【解题思路】对于A：根据图象结合五点法求相应参数即可；对于B：以2x+π3为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：以2x+π3为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：以2x+π3为整体，根据正弦函数奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】由图象可得：A=2，且图象过点0,3，
则f0=2sinφ=3，即sinφ=32，
且0<φ<π2，可得φ=π3，故A正确；
则fx=2sinωx+π3，
由ω>0结合图象可得fπ12=2sinπ12ω+π3=214×2πω>π12，
则π12ω+π3=2kπ+π2,k∈Z0<ω<6，解得ω=2，
所以fx=2sin2x+π3.
对于B：因为x∈π12,π2，则2x+π3∈π2,4π3，
且y=sinx在π2,4π3内单调递减，所以函数fx在π12,π2上单调递减，故B正确；
对于C：令fx=1，即sin2x+π3=12，
则2x+π3=2kπ+π6或2x+π3=2kπ+5π6,k∈Z，
解得x=kπ−π12或x=kπ+π4,k∈Z，
所以方程fx=1的解集为x|x=kπ−π12或x=kπ+π4,k∈Z，故C错误；
对于D：若θ=−π6，则fx+θ=2sin2x−π6+π3=2sin2x为奇函数，即充分性成立；
若fx+θ=2sin2x+θ+π3=2sin2x+2θ+π3为奇函数，
则2θ+π3=kπ,k∈Z，解得θ=kπ2−π6,k∈Z，
可知不一定得到θ=−π6，故必要性不成立；
综上所述：θ=−π6是函数y=fx+θ是奇函数的充分不必要条件，故D正确；
故选：ABD.
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=3sinωx+π3,ω>0，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的最大值为2
B．函数fx的图象关于直线x=1ωkπ+π6k∈Z对称
C．不等式fx>32的解集为2kπω,6k+1π3ωk∈Z
D．若fx在区间−π2,π2上单调递增，则ω的取值范围是0,13
【解题思路】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由ωx+π3=kπ+π2,k∈Z，可求出对称轴方程判断，对于C，由sinωx+π3>32求解即可，对于D，先由2kπ−π2≤ωx+π3≤2kπ+π2求出fx的递增区间，再由−π2,π2为函数增区间的子集可求出ω的取值范围.
【解答过程】对于A，fx的最大值为3，故A错误；
对于B，令ωx+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=1ω⋅kπ+π6,k∈Z，
所以函数fx的图象关于直线x=1ωkπ+π6k∈Z对称，故B正确；
对于C，不等式fx>32可化为sinωx+π3>32，则2kπ+π3<ωx+π3<2kπ+2π3,k∈Z，解得2kπω因此原不等式的解集为2kπω,6k+1π3ωk∈Z，故C正确；
对于D，由2kπ−π2≤ωx+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−5π6ω≤x≤2kπ+π6ω,k∈Z.
因为fx在区间−π2,π2上单调递增，所以−π2,π2⊆−5π6ω,π6ω，
所以−5π6ω≤−π2π6ω≥π2ω>0，解得0<ω≤13，故D正确.
故选：BCD.
11．（2024·贵州贵阳·二模）函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则（ ）
A．ω⋅φ=2π3
B．f(x)在0,π3上的值域为(−∞,−3]∪[3,+∞)
C．函数y=|f(x)|的图象关于直线x=5π3对称
D．若函数y=|f(x)|+λf(x)在区间−5π6,π6上不单调，则实数λ的取值范围是[−1,1]
【解题思路】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得ω的值，再根据函数特殊点求得φ,A的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】函数的最小正周期为T，则有T=πω=π6−−5π6⇒ω=1，即f(x)=Atan(x+φ)，
由函数的图象可知：π6+φ=π2⇒φ=π3，即f(x)=Atanx+π3，
由图象可知：f(0)=Atanπ3=23⇒A=2，所以ω⋅φ=π3，因此A不正确；
关于B,f(x)=2tanx+π3， 当x=π6时，x+π3=π2，故fx在x=π6处无定义，
故B错误.
因为f5π3−x=2tan5π3−x+π3=|2tanx|,f5π3+x=2tan5π3+x+π3=|2tanx|，
所以f5π3−x=f5π3+x，所以函数y=|f(x)|的图象关于直线x=5π3对称，C正确；
y=|f(x)|+λf(x)=2tanx+π3+2λtanx+π3，
当x∈−π3,π6时，y=|f(x)|+λf(x)= 2tanx+π3+2λtanx+π3=2tanx+π3+2λtanx+π3=(2+2λ)tanx+π3，
当x∈−5π6,−π3时，y=|f(x)|+λf(x)=2tanx+π3+2λtanx+π3=−2tanx+π3 +2λtanx+π3=(−2+2λ)tanx+π3，
当函数y=|f(x)|+λf(x)在区间−5π6,π6上不单调时，则有(2+2λ)(−2+2λ)≤0⇒−1≤λ≤1，故D正确.
故选：CD．
三、填空题
12．（2024·河北衡水·三模）已知x=112是函数f(x)=sin(3πx+φ)0<φ<π2的一条对称轴，f(x)在区间(−t,t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取值范围为 (512,712] ．
【解题思路】根据函数的对称轴求出φ=π4，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案.
【解答过程】由题意知x=112是函数f(x)=sin(3πx+φ)0<φ<π2的一条对称轴，
故3π12+φ=π2+kπ(k∈Z)，解得φ=π4+kπ，k∈Z，因为0<φ<π2，故φ=π4，
故f(x)=sin3πx+π4，令3πx+π4=kπ(k∈Z)，解得x=−112+k3，
原点附近的6个对称中心分别为−34,0,−512,0,−112,0,14,0,712,0,1112,0，
若3个对称中心恰好是−112,0,14,0,712,0，
则−512≤−t<−112712若3个对称中心恰好是−512,0,−112,0,14,0，
则−34≤−t<−51214故当512故t的取值范围为(512,712]，
故答案为：(512,712].
13．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=2csωx+π3−1(ω>0)在0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围为 2,103 .
【解题思路】结合余弦函数的图象与性质计算即可得.
【解答过程】由fx=0，得csωx+π3=12，
由0由在0,π上恰有两个零点可得7π3<ωπ+π3≤11π3，
解得2<ω≤103.

故答案为：2,103.
14．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ(φ>0)图象的一个对称中心为π6,0，且fx在0,π3上单调递增，则φ的最小值为 5π3 .
【解题思路】根据题意，由fx的一个对称中心为π6,0，可得φ=−π3+k1π，k1∈Z，再由fx在0,π3上单调递增，得−π2+2k2π≤φ≤−π6+2k2π，k2∈Z，由上两式可得答案.
【解答过程】因为fx的一个对称中心为π6,0，所以2×π6+φ=k1π，k1∈Z，
即φ=−π3+k1π，k1∈Z，①；
又x∈0,π3，则2x+φ∈φ,2π3+φ，fx在0,π3上单调递增，
所以φ,2π3+φ⊆−π2+2k2π,π2+2k2π，k2∈Z，
即φ≥−π2+2k2π2π3+φ≤π2+2k2π，解得−π2+2k2π≤φ≤−π6+2k2π，k2∈Z，②；
又φ>0，结合①②可得，φ的最小值为5π3.
故答案为：5π3.
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=sinx−3csx.
(1)求fπ6的值，
(2)求函数y=fx⋅sinx的单调递增区间.
【解题思路】
（1）将x=π6代入化简即可得出答案；
（2）化简y=fx⋅sinx，求y=12−sin2x+π6的单调递增区间即求y=sin2x+π6的单调递减区间，令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，即可得出答案.
【解答过程】（1）fπ6=sinπ6−3csπ6=12−3×32=−1.
（2）y=fx⋅sinx=sin2x−3sinxcsx=12−12cs2x−32sin2x=12−sin2x+π6 ,
求y=12−sin2x+π6的单调递增区间即求y=sin2x+π6的单调递减区间，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，
解得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
所以所求的单调增区间为π6+kπ,2π3+kπk∈Z.
16．（2023·广东佛山·一模）已知函数fx=sinωx+φ在区间π6,2π3上单调，其中ω为正整数，φ<π2，且fπ3=−fπ2.
(1)求y=fx图象的一个对称中心；
(2)若fπ4=32，求φ.
【解题思路】（1）根据单调区间，以及fπ3=−fπ2可得fπ3+π22=0，进而可得对称中心；
（2）先根据单调区间求出ω的可能取值，然后根据fπ4=32得到ω和φ的关系，根据关系以及ω的可能取值对照验证计算即可.
【解答过程】（1）因为fx在区间π6,2π3上单调，
且fπ3=−fπ2，π3∈π6,2π3，π2∈π6,2π3，
所以fπ3+π22=f5π12=0，
所以y=fx图像的一个对称中心是5π12,0；
（2）由题设，fx的最小正周期T≥2×2π3−π6=π，π2−π3=π6<π2，
故ω=2πT≤2，由ω∈N∗，得ω=1,2，
由5π12,0为f(x)=sinωx+φ的一个对称中心，
所以5π12ω+φ=k1π，k1∈Z①.
因为fπ4=32，所以π4ω+φ=π3+2k2π或π4ω+φ=2π3+2k3π，k2，k3∈Z.
若π4ω+φ=π3+2k2π②，①-②得π6ω=−π3+k1−2k2π，
即ω=−2+6k1−2k2.
不存在整数k1，k2，使得ω=1,2.
若π4ω+φ=2π3+2k3π③，①-③得π6ω=−2π3+k1−2k3π，
即ω=−4+6k1−2k3，
不存在整数k1，k3，使得ω=1，当k1=2k3+1时，ω=2.
此时φ=2π3−π2+2k3π=π6+2k3π，由φ<π2，
得φ=π6.
17．（2024·广东佛山·一模）记T为函数fx=sinωx+φ的最小正周期，其中ω>0,0<φ<π，且f0=32，直线x=112T为曲线y=fx的对称轴.
(1)求φ；
(2)若fx在区间π,2π上的值域为−1,32，求fx的解析式.
【解题思路】
（1）根据题意由f0=32可得sinφ=32，再结合x=112T为曲线y=fx的对称轴即可确定φ的值；
（2）由题意确定区间π,2π的长度小于一个周期，即可确定0<ω<2，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出ω，经验证即可确定其值，从而求得答案.
【解答过程】（1）由题意知T为函数fx=sinωx+φ的最小正周期，故T=2πω,∴ωT=2π；
由f0=32得sinφ=32，而0<φ<π，故φ=π3或φ=2π3；
又直线x=112T为曲线y=fx的对称轴，即ωT12+φ=π6+φ=π2+kπk∈Z，
则φ=π3+kπk∈Z，结合0<φ<π，可知φ=π3；
（2）由（1）可知fx=sinωx+π3，fx在区间π,2π上的值域为−1,32，
可知区间π,2π的长度小于一个周期，即T=2πω>π,∴0<ω<2，
由x∈π,2π，得ωx+π3∈ωπ+π3,2ωπ+π3，
①若f(π)=−1，则ωπ+π3=−π2+2kπk∈Z，即ω=−56+2k,k∈Z，
则ω=76，此时ωx+π3∈3π2,8π3，函数最大值为1，不符合题意；
②若f(2π)=−1，则2ωπ+π3=−π2+2kπk∈Z，即ω=−512+k,k∈Z，
则ω=712或ω=1912，
当ω=712时，ωx+π3∈11π12,3π2，函数取不到最大值32，不符合题意，
当ω=1912时，ωx+π3∈23π12,7π2，函数最大值为1，不符合题意；
③若f(π)=32，则ωπ+π3=π3+2kπ或ωπ+π3=2π3+2kπ,k∈Z，
则ω=2k,k∈Z或ω=13+2k,k∈Z，则ω=13，
此时ωx+π3∈2π3,π，函数取不到最小值−1，不符合题意；
④若f(2π)=32，则2ωπ+π3=π3+2kπ或2ωπ+π3=2π3+2kπ,k∈Z，
则ω=k,k∈Z或ω=16+k,k∈Z，则ω=1或ω=76或ω=16，
当ω=1时，ωx+π3∈4π3,7π3，能满足题意，此时fx=sinx+π3；
当ω=16时，ωx+π3∈π2,2π3，函数最大值为1，不符合题意，
当ω=76时，由上面分析可知不符合题意，
综合以上可知fx=sinx+π3.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ≤π2.
(1)若fx的图象经过点A3π4,0，Bπ4,2，且点B恰好是fx的图象中距离点A最近的最高点，试求fx的解析式；
(2)若f0=−1，且fx在5π9,π上单调，在0,3π4上恰有两个零点，求ω的取值范围.
【解题思路】（1）依题意可得函数fx的周期求出ω，又过点B取最值求φ；
（2）根据f0=−1求φ，由已知条件及正弦函数的性质求ω的取值范围.
【解答过程】（1）依题意可知：T4=3π4−π4=π2，即T=2π=2πω，所以ω=1，
又过点Bπ4,2，所以1×π4+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π4+2kπ,k∈Z，
又φ≤π2，所以φ=π4，即fx=2sinx+π4.
（2）因为f0=2sinφ=−1，且φ≤π2，所以φ=−π6，即fx=2sinωx−π6ω>0，
又当x∈0,3π4时fx恰有两个零点，−π6<ωx−π6<3π4ω−π6，
依题意：π<3π4ω−π6≤2π，即149<ω≤269，
又fx在5π9,π上单调，所以5π9ω−π6<ωx−π6<πω−π6，
依题意;若5π9ω−π6≥−π2πω−π6≤π2，即ω>0ω≤23，所以0<ω≤23，因149<ω≤269，故不合题意；
若5π9ω−π6≥π2πω−π6≤3π2，即ω≥65ω≤53，所以65≤ω≤53，因149<ω≤269，故149<ω≤53；
若5π9ω−π6≥3π2πω−π6≤5π2，即ω≥3ω≤83，显然不等式组无解；
综上ω的取值范围为149,53.
19．（2023·北京通州·三模）已知函数fx=sinωx+φ(ω>0,φ<π2)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使fx的解析式唯一确定.
(1)求fx的解析式：
(2)设函数gx=fx+fx+π6，求gx在区间0,π4上的最大值.
条件①：fx为奇函数：
条件②：fx图像上相邻两个对称中心间的距离为π2：
条件③：fx图像的一条对称轴为x=π4.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）可以选择条件①②或条件②③，先由周期计算ω，再计算φ即可；
（2）先求出2x+π6整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
【解答过程】（1）选①②:由①fx为奇函数，所以fx关于原点对称，
sinφ=0，解得φ=kπ，k∈Z
又φ<π2，所以φ=0.
由条件②得T=2πω=π，解得ω=2所以fx=sin2x；
选②③
由条件②得T=2πω=π，解得ω=2.
由条件③中一条对称轴为x=π4，可得2×π4+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=0，所以fx=sin2x
（2）gx=sin2x+sin2x+π6 =sin2x+sin2xcsπ3+cs2xsinπ3
=32sin2x+32cs2x =3sin2x+π6..
因为0≤x≤π4，所以π6≤2x+π6≤2π3，
所以当2x+π6=π2时，即x=π6时gx取得最大值，最大值为3.考点要求
真题统计
考情分析
(1)能画出三角函数的图象
(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值
(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质
2023年新课标I卷：第15题，5分
2023年天津卷：第6题，5分
2024年新课标I卷：第7题，5分
2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分
2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分
三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.