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初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程教学演示课件ppt
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了21配方法，22公式法等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程的定义及一般形式
(2022山东德州期中)下列关于x的方程中是一元二次方 程的是 (填序号).①x2+1=0;②x2+ = ;③x2+y+1=0;④mx2-3x=5;⑤x3-x2-x+1=0;⑥2x(3x-5)=6x2+4.
判断方程是不是一元二次方程,需看方程是否同 时满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知 数的最高次数是2.另外,一些复杂的方程要先化简再根据定 义进行判断.
(2019四川遂宁中考)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2- 2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 ( )A.0 B.±1 C.1 D.-1
∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0, ∴代入,得a2-1=0,又a-1≠0,∴a=-1.故选D.
(2022湖北孝感期中)已知a是方程x2-2 022x+1=0的一个 根,则a2-2 021a+ = .
根据实际问题列出一元二次方程
(2022福建泉州期中)如图,用一段篱笆靠墙围成一个大 长方形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小 长方形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为19 m(恰好用完), 围成的大长方形花圃的面积为24 m2,设垂直于墙的一段篱笆 长为x m,可列出方程为 .
x(19-3x)=24
垂直于墙的一段篱笆长为x m,则平行于墙的篱笆长为(19- 3x)m,根据矩形面积公式可列方程为x(19-3x)=24.
未整理成一般形式就确定各项及其系数,导致错解
确定一元二次方程的各项系数及常数项时,必须将方程化为 一般形式.若二次项系数为负数,一般将二次项系数化为正数, 再确定各项系数及常数项.
(2022湖北丹江口期中)将一元二次方程2x2+3x=5化成 一般式后,如果二次项系数是2,则一次项系数和常数项分别 是 ( )A.3,5 B.3,-5 C.-3,5 D.3x,-5
(2022辽宁葫芦岛期中)如果关于x的方程(m-3)x|m-1|-3x+1 =0是一元二次方程,则m= .
理解概念不透彻,忽视二次项系数不为0这个条件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
知识点2 用配方法解一元二次方程
用直接开平方法解一元二次方程
解下列方程:(1)2x2=54;(2)9x2+6x+1=8;(3)2( x-3)2=12.
当p>0时,利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p的 一元二次方程,开方后不要丢掉负值.
用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程:(1)x2- x+1=0;(2)2x2-2=3x;(3)3x2+8x-3=0.
(2)移项,得2x2-3x=2.二次项系数化为1,得x2- x=1.配方,得x2- x+ =1+ ,即 = .可得x- =± ,解得x1=2,x2=- .(3)移项,得3x2+8x=3.二次项系数化为1,得x2+ x=1.配方,得x2+ x+ =1+ ,即 = .可得x+ =± ,解得x1=-3,x2= .
知识点1 一元二次方程根的判别式
知识点2 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
(2022福建泉州期中)下列关于x的方程没有实数根的是 ( )A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0C.(x-1)(x+2)=0 D.x2+2x-1=0
直线y=-x+a不经过第一象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0 的实数解的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.1或2
用公式法解一元二次方程
用公式法解方程:(1)x2-5x+2=0; (2)2x2-2x=x+5;(3)x2-2 x+3=0; (4) x-2=2x2.
(2)方程整理得2x2-3x-5=0,a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=9+40=49>0,
方程有两个不相等的实数根,x= = = ,即x1=-1,x2= .(3)a=1,b=-2 ,c=3,Δ=(-2 )2-4×1×3=12-12=0,
方程有两个相等的实数根,x1=x2=- =- = .(4)方程整理得2x2- x+2=0,
a=2,b=- ,c=2,Δ=(- )2-4×2×2=2-16=-14<0,方程无实数根.
应用根的判别式时,忽略二次项系数不为零的条件
(2021广西梧州中考)关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
默认ax2+bx+c=0是一元二次方程
(2021河南平顶山一中期中)若关于x的方程kx2+x-2=0有 实数根,则k的取值范围是 .
则Δ=12-4k×(-2)≥0,解得k≥- ,∴k的取值范围为k≥- .
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
知识点2 选择合适的方法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
解下列一元二次方程:(1)2x2-8x=0;(2)x(2x-1)=3(2x-1);(3)(x+3)2=4.
因式分解,得(2x-1)(x-3)=0,于是有2x-1=0或x-3=0,∴x1= ,x2=3.(3)移项,得(x+3)2-4=0.因式分解,得(x+3+2)(x+3-2)=0.
于是有x+5=0或x+1=0,∴x1=-5,x2=-1.
(2022广东珠海期中)解方程:(1)x2+2x-8=0;(2)2x2+3x+1=0.
选择合适的方法解一元二次方程
(2022河北保定期中)用适当的方法解下列方程:(1)4x2-81=0;(2)x2-3x+1=0;(3)x2-2x-120=0;(4)3(x-5)2=4(5-x).
则x= = ,∴x1= ,x2= .(3)移项,得x2-2x=120,配方,得x2-2x+1=120+1,即(x-1)2=121,开
方,得x-1=±11,∴x1=12,x2=-10.(4)整理,得3(x-5)2+4(x-5)=0,因式分解,得(x-5)(3x-11)=0,于是有x-5=0或3x-11=0,∴x1=5,x2= .
配方法和公式法可以解所有一元二次方程,其中 公式法较为简单.直接开平方法和因式分解法适用于特殊的 方程.对于一个一元二次方程,要善于观察,根据其特点选择合 适的方法.
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
(2021江苏泰州中考)关于x的方程x2-x-1=0的两根分别 为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为 .
(2021湖北仙桃中考)关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个 实数根α,β,且 + =1,则m= .
21.3 实际问题与一元二次方程
知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
知识点2 典型问题——传播问题
知识点3 典型问题——平均增长（降低）率问题
知识点4 典型问题——几何图形面积问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
2.常见实际问题的数量关系、相等关系
(2022山东青岛期中)某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品,如果每盒的售价为60元,每天可以销售200 盒,通过市场调查发现,每盒售价每提高1元,每天少卖出10盒. 该村办企业要想每天获得2 240元利润,该有机产品的售价应 定为多少元/盒?
(2020贵州黔西南州中考)有一人患了流感,经过两轮传 染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了 个人.
设每轮传染中平均每人传染了x人.依题意,得1+x+x(1+x)= 121,即(1+x)2=121,解得x1=10,x2=-12(舍去),即每轮传染中平均 每人传染了10个人.
a为起始量,b为终止量,n为增长(或降低)的次数,当平均增长 率为x时,平均增长率公式为a(1+x)n=b;当平均降低率为x时,平 均降低率公式为a(1-x)n=b.
典型问题——平均增长(降低)率问题
(2022广西河池期中)在“乡村振兴”工作中,某养殖场 从今年起采用“场内+农户”的养殖模式,同时加强对蛋鸡的 科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,3月份和5月份的产蛋量分 别是2.5万千克与3.6万千克,若该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长 率相同,鸡蛋的市场价格为15元/千克.(1)求养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率;(2)求养殖场6月份的鸡蛋产值(单位:万元).
(1)设养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率为x,由题意,得2.5(1+x)2=3.6,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答:养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率为20%.(2)由题意,得15×3.6×(1+20%)=64.8.答:养殖场6月份的鸡蛋产值是64.8万元.
在平均增长(或降低)率的问题中,若基数为a,平均 增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为2,增长(或降低)后 的量为b,则等式为a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).
典型问题——几何图形面积问题
(2022山东青岛李沧期中)如图,某小区居委会打算把一 块长20 m,宽8 m的长方形空地修建成一个矩形花圃,供居民 休闲散步,若三面修成宽度相等的花砖路,中间花圃的面积是 126 m2.请计算花砖路面的宽度.
设花砖路面的宽度为x m,则中间花圃的长为(20-2x)m,宽 为(8-x)m,由题意,得(20-2x)(8-x)=126,整理得x2-18x+17=0,解得 x1=1,x2=17.∵8-x>0,∴x<8,∴x=1.答:花砖路面的宽度为1 m.
(2019湖北襄阳中考)改善小区环境,争创文明家园.如图 所示,某社区决定在一块长(AD)16 m,宽(AB)9 m的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条 与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2, 则小路的宽应为多少?
设小路的宽为x m,根据题意,得(16-2x)(9-x)=112,解得x1=1,x2=16.∵16>9,∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.答:小路的宽应为1 m.
数学建模——销售中的一元二次方程
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程 主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题, 分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进 模型,最终解决实际问题.
建立一元二次方程模型解决销售利润问题、几何图形 面积问题、平均增长(或降低)率问题是常见的实际问题,也 是中考命题的热点内容,解题时,要通过分析建立相应的一元
二次方程模型,将实际问题转化为数学问题求解.
典例剖析 (2022山西左权月考)为了保护人民群众生命安全,减少 交通事故,自2021年6月1日起,某市市民骑车出行必须严格遵 守“一盔一带”规定.某头盔经销商4至6月份统计,某品牌头 盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售 量的月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种头盔的进价为30元/个,经测算,在新市场中,当售价 为40元/个时,月销售量为600个,若在原售价的基础上每个上
涨0.5元,则月销售量将减少5个,为使月销售利润达到10 000 元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应 定为多少元?
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元,依题意,得(y-30) =10 000,整理,得y2-130y+4 000=0,解得y1=80,y2=50,因为要尽可能让顾客得到实惠,所以取y=50.答:该品牌头盔的实际售价应定为50元.
(2)本小题是“销量随售价变化,已知利润求售价”问题,实质上为一元二次方程问题,关系如下:
一元二次方程的定义及一般形式
(2022山东德州期中)下列关于x的方程中是一元二次方 程的是 (填序号).①x2+1=0;②x2+ = ;③x2+y+1=0;④mx2-3x=5;⑤x3-x2-x+1=0;⑥2x(3x-5)=6x2+4.
判断方程是不是一元二次方程,需看方程是否同 时满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知 数的最高次数是2.另外,一些复杂的方程要先化简再根据定 义进行判断.
(2019四川遂宁中考)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2- 2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 ( )A.0 B.±1 C.1 D.-1
∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0, ∴代入,得a2-1=0,又a-1≠0,∴a=-1.故选D.
(2022湖北孝感期中)已知a是方程x2-2 022x+1=0的一个 根,则a2-2 021a+ = .
根据实际问题列出一元二次方程
(2022福建泉州期中)如图,用一段篱笆靠墙围成一个大 长方形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小 长方形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为19 m(恰好用完), 围成的大长方形花圃的面积为24 m2,设垂直于墙的一段篱笆 长为x m,可列出方程为 .
x(19-3x)=24
垂直于墙的一段篱笆长为x m,则平行于墙的篱笆长为(19- 3x)m,根据矩形面积公式可列方程为x(19-3x)=24.
未整理成一般形式就确定各项及其系数,导致错解
确定一元二次方程的各项系数及常数项时,必须将方程化为 一般形式.若二次项系数为负数,一般将二次项系数化为正数, 再确定各项系数及常数项.
(2022湖北丹江口期中)将一元二次方程2x2+3x=5化成 一般式后,如果二次项系数是2,则一次项系数和常数项分别 是 ( )A.3,5 B.3,-5 C.-3,5 D.3x,-5
(2022辽宁葫芦岛期中)如果关于x的方程(m-3)x|m-1|-3x+1 =0是一元二次方程,则m= .
理解概念不透彻,忽视二次项系数不为0这个条件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
知识点2 用配方法解一元二次方程
用直接开平方法解一元二次方程
解下列方程:(1)2x2=54;(2)9x2+6x+1=8;(3)2( x-3)2=12.
当p>0时,利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p的 一元二次方程,开方后不要丢掉负值.
用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程:(1)x2- x+1=0;(2)2x2-2=3x;(3)3x2+8x-3=0.
(2)移项,得2x2-3x=2.二次项系数化为1,得x2- x=1.配方,得x2- x+ =1+ ,即 = .可得x- =± ,解得x1=2,x2=- .(3)移项,得3x2+8x=3.二次项系数化为1,得x2+ x=1.配方,得x2+ x+ =1+ ,即 = .可得x+ =± ,解得x1=-3,x2= .
知识点1 一元二次方程根的判别式
知识点2 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
(2022福建泉州期中)下列关于x的方程没有实数根的是 ( )A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0C.(x-1)(x+2)=0 D.x2+2x-1=0
直线y=-x+a不经过第一象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0 的实数解的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.1或2
用公式法解一元二次方程
用公式法解方程:(1)x2-5x+2=0; (2)2x2-2x=x+5;(3)x2-2 x+3=0; (4) x-2=2x2.
(2)方程整理得2x2-3x-5=0,a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=9+40=49>0,
方程有两个不相等的实数根,x= = = ,即x1=-1,x2= .(3)a=1,b=-2 ,c=3,Δ=(-2 )2-4×1×3=12-12=0,
方程有两个相等的实数根,x1=x2=- =- = .(4)方程整理得2x2- x+2=0,
a=2,b=- ,c=2,Δ=(- )2-4×2×2=2-16=-14<0,方程无实数根.
应用根的判别式时,忽略二次项系数不为零的条件
(2021广西梧州中考)关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
默认ax2+bx+c=0是一元二次方程
(2021河南平顶山一中期中)若关于x的方程kx2+x-2=0有 实数根,则k的取值范围是 .
则Δ=12-4k×(-2)≥0,解得k≥- ,∴k的取值范围为k≥- .
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
知识点2 选择合适的方法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
解下列一元二次方程:(1)2x2-8x=0;(2)x(2x-1)=3(2x-1);(3)(x+3)2=4.
因式分解,得(2x-1)(x-3)=0,于是有2x-1=0或x-3=0,∴x1= ,x2=3.(3)移项,得(x+3)2-4=0.因式分解,得(x+3+2)(x+3-2)=0.
于是有x+5=0或x+1=0,∴x1=-5,x2=-1.
(2022广东珠海期中)解方程:(1)x2+2x-8=0;(2)2x2+3x+1=0.
选择合适的方法解一元二次方程
(2022河北保定期中)用适当的方法解下列方程:(1)4x2-81=0;(2)x2-3x+1=0;(3)x2-2x-120=0;(4)3(x-5)2=4(5-x).
则x= = ,∴x1= ,x2= .(3)移项,得x2-2x=120,配方,得x2-2x+1=120+1,即(x-1)2=121,开
方,得x-1=±11,∴x1=12,x2=-10.(4)整理,得3(x-5)2+4(x-5)=0,因式分解,得(x-5)(3x-11)=0,于是有x-5=0或3x-11=0,∴x1=5,x2= .
配方法和公式法可以解所有一元二次方程,其中 公式法较为简单.直接开平方法和因式分解法适用于特殊的 方程.对于一个一元二次方程,要善于观察,根据其特点选择合 适的方法.
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
(2021江苏泰州中考)关于x的方程x2-x-1=0的两根分别 为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为 .
(2021湖北仙桃中考)关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个 实数根α,β,且 + =1,则m= .
21.3 实际问题与一元二次方程
知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
知识点2 典型问题——传播问题
知识点3 典型问题——平均增长（降低）率问题
知识点4 典型问题——几何图形面积问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
2.常见实际问题的数量关系、相等关系
(2022山东青岛期中)某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品,如果每盒的售价为60元,每天可以销售200 盒,通过市场调查发现,每盒售价每提高1元,每天少卖出10盒. 该村办企业要想每天获得2 240元利润,该有机产品的售价应 定为多少元/盒?
(2020贵州黔西南州中考)有一人患了流感,经过两轮传 染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了 个人.
设每轮传染中平均每人传染了x人.依题意,得1+x+x(1+x)= 121,即(1+x)2=121,解得x1=10,x2=-12(舍去),即每轮传染中平均 每人传染了10个人.
a为起始量,b为终止量,n为增长(或降低)的次数,当平均增长 率为x时,平均增长率公式为a(1+x)n=b;当平均降低率为x时,平 均降低率公式为a(1-x)n=b.
典型问题——平均增长(降低)率问题
(2022广西河池期中)在“乡村振兴”工作中,某养殖场 从今年起采用“场内+农户”的养殖模式,同时加强对蛋鸡的 科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,3月份和5月份的产蛋量分 别是2.5万千克与3.6万千克,若该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长 率相同,鸡蛋的市场价格为15元/千克.(1)求养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率;(2)求养殖场6月份的鸡蛋产值(单位:万元).
(1)设养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率为x,由题意,得2.5(1+x)2=3.6,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答:养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率为20%.(2)由题意,得15×3.6×(1+20%)=64.8.答:养殖场6月份的鸡蛋产值是64.8万元.
在平均增长(或降低)率的问题中,若基数为a,平均 增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为2,增长(或降低)后 的量为b,则等式为a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).
典型问题——几何图形面积问题
(2022山东青岛李沧期中)如图,某小区居委会打算把一 块长20 m,宽8 m的长方形空地修建成一个矩形花圃,供居民 休闲散步,若三面修成宽度相等的花砖路,中间花圃的面积是 126 m2.请计算花砖路面的宽度.
设花砖路面的宽度为x m,则中间花圃的长为(20-2x)m,宽 为(8-x)m,由题意,得(20-2x)(8-x)=126,整理得x2-18x+17=0,解得 x1=1,x2=17.∵8-x>0,∴x<8,∴x=1.答:花砖路面的宽度为1 m.
(2019湖北襄阳中考)改善小区环境,争创文明家园.如图 所示,某社区决定在一块长(AD)16 m,宽(AB)9 m的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条 与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2, 则小路的宽应为多少?
设小路的宽为x m,根据题意,得(16-2x)(9-x)=112,解得x1=1,x2=16.∵16>9,∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.答:小路的宽应为1 m.
数学建模——销售中的一元二次方程
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程 主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题, 分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进 模型,最终解决实际问题.
建立一元二次方程模型解决销售利润问题、几何图形 面积问题、平均增长(或降低)率问题是常见的实际问题,也 是中考命题的热点内容,解题时,要通过分析建立相应的一元
二次方程模型,将实际问题转化为数学问题求解.
典例剖析 (2022山西左权月考)为了保护人民群众生命安全,减少 交通事故,自2021年6月1日起,某市市民骑车出行必须严格遵 守“一盔一带”规定.某头盔经销商4至6月份统计,某品牌头 盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售 量的月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种头盔的进价为30元/个,经测算,在新市场中,当售价 为40元/个时,月销售量为600个,若在原售价的基础上每个上
涨0.5元,则月销售量将减少5个,为使月销售利润达到10 000 元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应 定为多少元?
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元,依题意,得(y-30) =10 000,整理,得y2-130y+4 000=0,解得y1=80,y2=50,因为要尽可能让顾客得到实惠,所以取y=50.答:该品牌头盔的实际售价应定为50元.
(2)本小题是“销量随售价变化,已知利润求售价”问题,实质上为一元二次方程问题,关系如下:
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