数学九年级上册21.1 一元二次方程同步达标检测题

这是一份数学九年级上册21.1 一元二次方程同步达标检测题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
3．已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A．8B．－8C．4D．－4
4．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．5D．7
5．将方程配方后，原方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2021C．2022D．2023
9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（ ）
A．B．6C．2D．
11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
12．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣x=0的根是 ．
14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
15．已知，是一元二次方程的两根，则 ．
16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
18．代数式的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解下列一元二次方程：
(1)
(2)
20．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
21．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
22．某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为．

(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
23．下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．
(1)任务一：
①杨老师解方程的方法是 ；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)任务二：请你按要求解下列方程：
①；（公式法）
②．（因式分解法）
24．一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
25．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①； ②．
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
26．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？
解方程：．
解： 第一步
， 第二步
， 第三步
， 第四步
，． 第五步
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义判定即可．本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键．
【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意；
B、当时，是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】根据根与系数的关系得到，即可代入求出答案．
【详解】解：由题意得：，
∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，
∴，
∴b=-3，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的公式，熟记公式是解题的关键．
3．A
【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
故选：C
5．A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
6．D
【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．
【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，
则可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程．
【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），
由题意得．
故选：C
8．D
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
9．A
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
10．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式后，常数项为，
一般形式为，
一次项系数是，
故选：A．
11．C
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程(m−1)x2−2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=(−2)2−4×(m−1)×（-1）＞0，
∴m＞0；
∵m−1≠0，
∴m≠1；
∴实数m的取值范围是m＞0且m≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式．
12．B
【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．
13．x1=0，x2=1
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
14．20%
【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可.
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，
根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，
整理得，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；
即该药品平均每次降价的百分率是20%，
故答案为：20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键.
15．
【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
16．13
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系，先解一元二次方程得出，，设第三边长为，再由三角形三边关系得出，从而得出，即可得解．
【详解】解：解得：，，
∵一个三角形的两边长分别为3和6，
∴设第三边长为，则，即，
∵第三边是方程的一个根，
∴，
∴这个三角形的周长是，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用根的判别式列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，解得：．
故答案为：．
18．
【分析】利用配方法将代数式变形，再利用非负数的性质求出最小值即可．
【详解】解：
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（1）详见解析
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
21．(1)20%
(2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
22．(1)小路的宽度为；
(2)每次降价的百分率为．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（）设小路的宽度为，根据总面积为，列方程求解即可；
（）设每次降价的百分率为，根据等量关系列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）设小路的宽度为，根据题意，
得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：小路的宽度为；
（2）设每次降价的百分率为，
根据题意，得：，
解得：，（舍去），
答：每次降价的百分率为．
23．(1)①B；②等式的基本性质；
(2)①，；②，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
（1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可；
（2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质．
（2）解：①（公式法）
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
或，
∴，．
②（因式分解法）
，
，
，
，
或，
，．
24．(1)每天的销售是千克；
(2)水果店需将每千克的售价降低1元．
【分析】（1）销售量＝原来销售量＋上升的销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可．
【详解】（1）每天的销售量是：（千克）；
（2）设这种水果每斤售价降低x元，
根据题意得：
解得：
当时，销售量是；
当时，销售量是（斤）．
∵每天至少售出230斤，
∴．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，第一问关键求出总销售量．第二问，根据售价和销售量、利润之间的等量关系列方程求解．
25．(1)x2＋x−6＝0不是“邻根方程”；是“邻根方程”
(2)m＝−1或−3
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；
（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．
【详解】（1）解：①解方程得：，
，，
，
不是“邻根方程”；
②，
，，
，
是“邻根方程”；
（2）解：
，
，，
方程是常数）是“邻根方程”，
或，
或.
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
26．(1)5秒
(2)秒
【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理，
对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可；
对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解.
【详解】（1）当运动时间为t秒时，，，依题意，得
，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
（2）过点Q作于点M，如图所示．
∵，，
∴，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是．