初中数学21.2.1 配方法课时练习

这是一份初中数学21.2.1 配方法课时练习，共26页。试卷主要包含了2 解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【考点5 根的判别式】
【考点6 根与系数的关系】
考点1： 解一元二次方程-直接开方
（1）如或的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程
（2）如果化成的开式，那么可得
（3）如果化成的形式，那么，进而得出方程的根
注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】
（2024春•新兴县期中）
1．解方程．
【变式1-1】
（2024春•中山市期中）
2．解方程：
【变式1-2】
（2023秋•萍乡期末）
3．解方程：
【变式1-3】
（2023秋•扬州期中）
4．解方程：
(1) ；
(2)．
考点2：解一元二次方程-配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【典例2】
（2023秋•未央区期末）
5．用配方法解方程：
【变式2-1】
（2023秋•济阳区期末）
6．配方法解方程：．
【变式2-2】
（2023秋•闵行区期末）
7．用配方法解方程：
【变式2-3】
（2023秋•松江区期末）
8．用配方法解方程：．
考点3： 解一元二次方程-公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式的值，判断根的情况
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【典例3】
（2024•鞍山模拟）
9．解下列一元二次方程
(1)（公式法）
(2)（公式法）
【变式3-1】
（2023春•合浦县期中）
10．用公式法解方程：．
【变式3-2】（2023秋•朝阳区校级月考）
11．解方程（用公式法）
【变式3-3】
12．用公式法解下列各方程：
(1)
(2)
(3)
考点4：解一元二次方程-因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解．
如：
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【典例4】
（2024春•瑶海区期中）
13．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A．10B．11C．10或11D．以上都不对
【变式4-1】
（2023秋•定州市期末）
14．方程的解是（ ）
A．B．x=0
C．，D．，
【变式4-2】
（2024•新疆模拟）
15．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝5B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝﹣5D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【变式4-3】
（2023秋•孟津区校级期末）
16．方程的根是( )
A．B．
C．，D．，
考点5： 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
【考点5 根的判别式】
【典例5】
（2024春•瑶海区期中）
17．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A．10B．11C．10或11D．以上都不对
【变式5-1】
（2023秋•定州市期末）
18．方程的解是（ ）
A．B．x=0
C．，D．，
【变式5-2】
（2024•新疆模拟）
19．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝5B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝﹣5D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【变式5-3】
（2023秋•孟津区校级期末）
20．方程的根是( )
A．B．
C．，D．，
考点6：一元二次方程的根与系数根与系数的关系：即的两根为，则，．利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【考点6 根与系数的关系】
【典例6】
（2024•江西模拟）
21．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】
（2024•北流市一模）
22．已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】
（2024•西青区一模）
23．已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（ ）
A．B．0C．3D．7
【变式6-3】（2024•张店区一模）
24．已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
一．选择题（共7小题）
（2024春•鄞州区期中）
25．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
（2024•红桥区模拟）
26．若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A．B．C．D．
（2024•连州市一模）
27．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
（2024春•浙江期中）
28．一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（ ）
A．B．1C．5D．9
（2024•江西模拟）
29．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
（2024•郸城县一模）
30．定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有实数根D．没有实数根
（2024春•莱芜区期中）
31．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A．1B．C．3D．
二．填空题（共4小题）
（2023秋•江阳区期末）
32．一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ．
（2024春•长沙期中）
33．已知、是一元二次方程 的两个根，则的值为 ．
（2024•崇明区二模）
34．已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为 ．
（2023秋•锦江区校级期末）
35．已知a，b是方程的两根，则 ．
三．解答题（共4小题）
（2024春•吴兴区期中）
36．解方程：
(1)
(2)
（2024春•香坊区校级期中）
37．解下列一元二次方程：
(1)
(2)
（2024春•鼓楼区校级期中）
38．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根．
(2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
（2024春•新昌县期中）
39．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
参考答案：
1．，
【分析】本题考查了利用平方根解方程，先移项，再根据平方根的定义得出，求解即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，．
2．
【分析】该题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
由原方程得到，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【详解】解：由原方程，得，
直接开平方，得，
解得．
3．
【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可．
【详解】解：，
∴，
则或，
解得．
4．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用直接开平方法求解；
（2）先移项，再利用直接开平方法求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，．
5．，
【分析】先移项，再配方，最后开方，即可求出答案．
【详解】解：，
，
配方得：，
，
开方得：x-2=，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．．
【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
7．
【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案.
【详解】解：
故答案为
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
∴．
9．(1)，；
(2)，．
【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；
（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；
本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤．
【详解】（1），，，
，
∴，
∴，；
（2），，，
，
∴，
∴，．
10．，
【分析】先求出的值，再代入公式求出方程的解即可．
【详解】解：这里，，，
∵
，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是能熟记公式．
11．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题．
（1）把代入求根公式计算即可；
（2）把代入求根公式计算即可；
（3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：整理，得，
．
13．B
【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．
【详解】∵，
解得
∴三角形三边长可能的情况为：
①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形
②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故选B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，注意用三角形三边关系验证是否能构成三角形是解决本题的关键．
14．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴x=0或，
∴，，
故选：．
15．A
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2﹣6x+5＝0，
∴（x-1）（x-5）=0，
解得：x1＝1，x2＝5，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．
16．C
【分析】本题考查了解一元二次方程， 因式分解是解题关键 ．根据因式分解法， 可得答案 ．
【详解】
解： 因式分解， 得
得或，
解得，，
故选：C．
17．B
【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．
【详解】∵，
解得
∴三角形三边长可能的情况为：
①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形
②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故选B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，注意用三角形三边关系验证是否能构成三角形是解决本题的关键．
18．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴x=0或，
∴，，
故选：．
19．A
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2﹣6x+5＝0，
∴（x-1）（x-5）=0，
解得：x1＝1，x2＝5，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．
20．C
【分析】本题考查了解一元二次方程， 因式分解是解题关键 ．根据因式分解法， 可得答案 ．
【详解】
解： 因式分解， 得
得或，
解得，，
故选：C．
21．D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
22．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴，
∴．
故选：A．
23．A
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可得到答案．
【详解】解：方程的两根分别为，
，
．
故选A．
24．D
【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
25．A
【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法．把两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：，
配方得，即，
故选：A．
26．C
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵的两个根分别为、 ，
∴，
故选：．
27．C
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程(m−1)x2−2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=(−2)2−4×(m−1)×（-1）＞0，
∴m＞0；
∵m−1≠0，
∴m≠1；
∴实数m的取值范围是m＞0且m≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式．
28．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．根据配方法的步骤解答，即可．
【详解】解：
∴，
即，
∴，
解得：．
故选：A
29．D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
30．B
【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
31．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，则，
解得：，
故选：C．
32．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案为：x1=0，x2=2．
33．
【分析】本题考查一元二次方程的根的求解，可采取公式法或配平方的方法求解一元二次方程，进而求出所需的两根之和．关键在于对一元二次方程的根正确求解，最终按要求作答题目．
【详解】利用公式法求解一元二次方程，
∵，
∴，
可得：， ，
由于、是一元二次方程 的两个根，
∴．
故答案为：．
34．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
35．0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
36．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）移项后利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，即
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ．
37．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用公式法求解；
（2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
或，
解得，．
38．(1)证明见解析
(2)，方程的另一个根为1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用判别式求解即可；
（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴不论取何值，该方程都有两个实数根．
（2）解：设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系可得，
解得，
∴，方程的另一个根为1．
39．(1)是
(2)26或5
(3)13或
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值．
【详解】（1），
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2），
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力．