数学人教版（2024）14.1.1 同底数幂的乘法授课课件ppt

这是一份数学人教版（2024）14.1.1 同底数幂的乘法授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了整式的乘法与因式分解，第十四章等内容，欢迎下载使用。
　 计算:(1)m2·m4;(2)(-10)2×(-10)3×(-10)4;(3)am-1·am+1;(4)x·(-x)2·(-x)3;(5)(x+y)3·(x+y)5;(6)(m-n)3·(n-m)4·(m-n).
分析    第(1)~(3)题直接根据“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”进行 计算,第(4)题先化为同底数幂,再运用同底数幂相乘的法则进行 计算,第(5)题把(x+y)看成一个整体,运用同底数幂相乘的法则进 行计算,第(6)题将(n-m)4转化为(m-n)4,再用整体思想及同底数幂 相乘的法则进行计算.
解:(1)m2·m4=m2+4=m6.(2)(-10)2×(-10)3×(-10)4=(-10)2+3+4=(-10)9=-109.(3)am-1·am+1=am-1+m+1=a2m.(4)x·(-x)2·(-x)3=-x·x2·x3=-x1+2+3=-x6.
(5)(x+y)3·(x+y)5=(x+y)3+5=(x+y)8.(6)(m-n)3·(n-m)4·(m-n)=(m-n)3·(m-n)4·(m-n)=(m-n)3+4+1=(m-n)8.
在同底数幂的乘法中,当底数互为相反数时,经常用到以下变形:
    (1)若am=2,an=5,求am+n的值;(2)已知2a=5,2b=1,求2a+b+3的值.
分析    根据同底数幂乘法法则的逆运算,将am+n写成am·an,将2a+b+3写成2a·2b ·23,然后代入计算.
解:(1)∵am=2,an=5,∴am+n=aman=2×5=10.(2)∵2a=5,2b=1,∴2a+b+3=2a×2b×23=5×1×8=40.
·教材知识全解知识点1 幂的乘方　知识点2 积的乘方　
14.1　整式的乘法14.1.2　幂的乘方14.1.3　积的乘方
　计算:(1)(s3)4;(2)(an+1)2;(3)[(-m)3]2·(m2)4;(4)[(x+y)2]3·[(x+y)3]4.
解:(1)(s3)4=s3×4=s12.(2)(an+1)2=a2(n+1)=a2n+2.(3)[(-m)3]2·(m2)4=(-m)6·m8=m6·m8=m14.
(4)[(x+y)2]3·[(x+y)3]4=(x+y)2×3·(x+y)3×4=(x+y)6·(x+y)12=(x+y)6+12=(x+y)18.
　计算:(1)(-xy)3;(2)(x2y)2;(3)(2×102)2;(4) ;(5)(-an)3·(-bn)2-(a3b2)n;(6)[(x+y)2(x-y)3]6;(7) × ;(8)0.1259×(-8)10+ × .
解:(1)(-xy)3=(-1)3x3y3=-x3y3.(2)(x2y)2=(x2)2·y2=x4y2.(3)(2×102)2=22×(102)2=4×104.(4) = a2(b2)2= a2b4.(5)(-an)3·(-bn)2-(a3b2)n=(-1)3(an)3·(-1)2·(bn)2-(a3)n·(b2)n=-a3nb2n-a3nb2n=-2a3nb2n.(6)[(x+y)2(x-y)3]6=[(x+y)2]6[(x-y)3]6=(x+y)12(x-y)18.
(7) × = =(-1)2 023=-1.(8)0.1259×(-8)10+ × =(-0.125×8)9×(-8)+ × =8+ = .
运用法则 (n为正整数)进行运算时,a,b既可以表示单个数字或字母,也可以表示一个式子,因此,解题时不仅要准确理解幂的有关运算性质,还要注意整体思想的运用.
·教材知识全解知识点1 单项式乘单项式知识点2 单项式乘多项式　知识点3 多项式乘多项式　 知识点4 同底数幂的除法　知识点5 零指数幂的性质　知识点6 单项式除以单项式　知识点7 多项式除以单项式　
14.1　整式的乘法14.1.4　整式的乘法
　计算:(1)4xy2· ;(2)(0.3x3y4)2·(-0.2x4y3)2;(3)5x· ax·(-2.25axy)·(-3x2y2);(4)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2.
分析    第(1)(2)(3)题可按单项式与单项式相乘的法则直接进行计算,即 把系数与同底数幂分别相乘,第(4)题是混合运算,要注意运算顺 序,应先算乘方,再算乘法,最后算加减.
解:(1)4xy2· = ·x1+2y2+1z=-2x3y3z.(2)(0.3x3y4)2·(-0.2x4y3)2=0.09x6y8·0.04x8y6=(0.09×0.04)x6+8y8+6=0.003 6x14y14.(3)5x· ax·(-2.25axy)·(-3x2y2)
=5× ×(-2.25)×(-3)a1+1x1+1+1+2y1+2= a2x5y3.(4)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2=5a3b·9b2+36a2b2·(-ab)-ab3·16 a2=45a3b3-36a3b3-16a3b3=-7a3b3.
　计算:(1) · ;(2)(-2a-3a2b2)· ;(3)x(3x2-5x+1)-3x2(x-2).
解:(1) · = · x2y+ ·(-4xy2)+ · y=-x3y2+6x2y3-2xy2.(2)(-2a-3a2b2)· =(-2a)· +(-3a2b2) = a2bc+ a3b3c.(3)x(3x2-5x+1)-3x2(x-2)=3x3-5x2+x-3x3+6x2=x2+x.
　计算:(1)(x+2y)(x-2y);(2)(-2x+3)(-3x+5);(3)(a-b)(a2+ab+b2);(4)(1-x+y)(x+y).
解:(1)(x+2y)(x-2y)=x·x-x·2y+2y·x-2y·2y=x2-2xy+2yx-4y2=x2-4y2.(2)(-2x+3)(-3x+5)=-2x×(-3x)-2x×5-3×3x+3×5=6x2-10x-9x+15=6x2-19x+15.(3)(a-b)(a2+ab+b2)
=a·a2+a·ab+a·b2+(-b)·a2+(-b)·ab+(-b)· b2=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3.(4)(1-x+y)(x+y)=x+y-x2-xy+xy+y2=x+y-x2+y2.
多项式乘多项式要注意以下两点:(1)多项式是单项式的和,每一项都包括它前面的符号,在计算时一定要注意确定积中各项的符号;(2)多项式与多项式相乘,仍得多项式,如有同类项,一定要进行合并,在合并同类项之前,积的项数应该是两个多项式项数之积.
　计算:(1)x15÷x;(2)(-a)4÷(-a)2;(3)(-xy)13÷(-xy)8;(4) ÷ ;(5)a2m+4÷am-2;(6)(x-2y)3÷(2y-x)2.
解:(1)x15÷x=x15-1=x14.(2)(-a)4÷(-a)2=(-a)4-2=(-a)2=a2.(3)(-xy)13÷(-xy)8=(-xy)13-8=(-xy)5 =-x5y5.(4) ÷ = = =- m3.(5)a2m+4÷am-2=a(2m+4)-(m-2)=a2m+4-m+2=am+6.(6)(x-2y)3÷(2y-x)2 =(x-2y)3÷(x-2y)2 =(x-2y)3-2=x-2y.
(1)运用同底数幂的除法法则计算的关键是看底数是否相同,如果底数不同,应先把底数化为相同的底数后再进行计算.(2)指数为多项式时,在指数相减时应加上括号,如第(5)题.(3)底数不是单独的数字或单独的字母时,均应加上括号,如第(2) (3)(4)(6)题.
　若(2m-1)0=1,则 (　    )A.m= 　　    B.m=0　　    C.m≠ 　　    D.m≠0
解:∵a0=1成立的条件是a≠0,∴2m-1≠0,解得m≠ .
　计算:(1)-21x2y4÷(-3x2y3);(2)(2x2y)2÷(6x3y2);(3)(-3ab2)3÷ .
解:(1)原式=[(-21)÷(-3)]·(x2÷x2)·(y4÷y3)=7y.(2)原式=4x4y2÷(6x3y2)=(4÷6)·(x4÷x3)·(y2÷y2)= x.(3)原式=-27a3b6÷(-3a3b)=[(-27)÷(-3)]·(a3÷a3)·(b6÷b)=9b5.
单项式除以单项式的一般步骤:(1)把系数相除,所得结果作为商的系数;(2)把同底数幂分别相除,所得结果作为商的因式;(3)把只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.
　计算:(1)(12a3-6a2+3a)÷(3a);(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷(2x).
解:(1)(12a3-6a2+3a)÷(3a)=12a3÷(3a)-6a2÷(3a)+3a÷(3a)=4a2-2a+1.(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y.
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷(2x)=(x2+xy+xy+y2-2xy-y2-8x)÷(2x)=(x2-8x)÷(2x)=x2÷(2x)-8x÷(2x)= x-4.
　如果(2x-y)2+|y+2|=0,求[(x2+y2)+2y(x-y)-(x-y)(x+3y)]÷(4y)的 值.
解:由题意,得2x-y=0,y+2=0,解得x=-1,y=-2,原式=(x2+y2+2yx-2y2-x2-2yx+3y2)÷(4y)=2y2÷(4y)= ,当x=-1,y=-2时,原式=-1.
整式的化简求值的两种方式:(1)将求值式化简后,把字母的值直接代入求值;(2)将求值式化简后,把含字母的式子整体代入求值.
·教材知识全解知识点 平方差公式　·易错易混全解
14.2　乘法公式14.2.1　平方差公式
　　应用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2时,有如下几种变化形式:(1)位置变化:(b+a)(-b+a)=a2-b2;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=b2-a2;(3)系数变化:  = -(3b)2= a2-9b2;(4)指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=a4-b4;(5)增项变化:(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2.
　计算:(1)(3x-5y)(3x+5y);(2)(3a-2b)(2b+3a);(3)  ;(4)(-2y-3x)(2y-3x).
解:(1)(3x-5y)(3x+5y)=(3x)2-(5y)2=9x2-25y2.(2)(3a-2b)(2b+3a)=(3a-2b)(3a+2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2.(3)  =  =y2- =y2- .(4)(-2y-3x)(2y-3x)=[(-3x)-2y]·[(-3x)+2y]=(-3x)2-(2y)2=9x2-4y2.
运用平方差公式的关键是分清哪一项是“a”,哪一项是“b”, 这个看符号不看位置,如“  ”中完全相同的“y”是“a”,符号相反的 是“b”,不要错误地认为第一项就是“a”,第二项就是“b”.
　计算:(1)59.8×60.2;(2)103×97.
分析    仔细观察数的特点,寻找规律,不难发现当59.8写成60-0.2,60.2写 成60+0.2,103写成100+3,97 写成100-3时,原算式可转化为符合平 方差公式结构的算式,即可运用公式进行简便运算.
解:(1)59.8×60.2=(60-0.2)×(60+0.2)=602-0.22=3 600-0.04=3 599.96.(2)103×97=(100+3)×(100-3)=1002-32=10 000-9=9 991.
　计算:(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10);(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b).
解:(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]=(2x+10)2-(y-z)2=4x2-y2-z2+40x+2yz+100.(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b)=[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3)=(a2-b2)2-a3-ab2+a2b+b3=a4-a3-2a2b2+a2b-ab2+b3+b4.
第(1)题在添括号时容易产生符号错误.第(2)题容易用a4-b4代替(a2-b2)2,其实它们并不相等.进行多项式的乘法运算时,应该牢固地掌握乘法公式的特征,不要误用,解题时每一步都必须有理有据.
14.2　乘法公式14.2.2　完全平方公式
·教材知识全解知识点1 完全平方公式知识点2 添括号法则
　运用完全平方公式计算:(1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2;(3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).
解:(1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2=a2+6ab+9b2.(2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2×3y·x+x2=9y2-6xy+x2.(3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9.
求二项式的平方时,当所给的二项式中两项的符号相同时,一般选“和”的完全平方公式,当所给的二项式中两项的符号相反时,一般选“差”的完全平方公式.
    (1)已知x-y=5,x2+y2=51,求(x+y)2的值;(2)已知a+b=5,ab= ,求a2+b2的值.
解:(1)∵x-y=5,∴(x-y)2=x2+y2-2xy=25,又∵x2+y2=51,∴2xy=26,∴(x+y)2=x2+y2+2xy=51+26=77.(2)∵a+b=5,ab= ,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2× =25- = .
完全平方公式变形求值的三种思路:(1)将已知式变形出现求值式;(2)将求值式变形出现已知式;(3)将已知式和求值式都适当变形,求出第三方式子的值,代入计算.
(1)无论添括号还是去括号,只改变式子的形式不改变式子的值, 这就是多项式的恒等变形.(2)添括号正确与否,可用去括号法则 进行检验.(3)应特别注意括号前是负号时,括到括号里的各项都 改变符号,而不是只改变第一项的符号.
    分别按下列要求把多项式5a-b-2a2+ b2添上括号:(1)把前两项括到前面带有“+”的括号里,后两项括到前面带有 “-”的括号里;(2)把后三项括到前面带有“-”的括号里;(3)把含有字母a的项括到前面带有“+”的括号里,把含有字母b 的项括到前面带有“-”的括号里.
解:(1)5a-b-2a2+ b2=+(5a-b)- .(2)5a-b-2a2+ b2=5a- .(3)5a-b-2a2+ b2=5a-2a2-b+ b2=+(5a-2a2)- .
·教材知识全解知识点1 因式分解的概念知识点2 用提公因式法分解因式　·易错易混全解
14.3　因式分解14.3.1　提公因式法
　　把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫 做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形.m(a+b+c) ma+mb+mc
   一个式子的恒等变形是因式分解,应满足以下三个条件:(1)变形后的式子是乘积的形式;(2)每个因式都是整式;(3)结果分解彻底.
  (2023山西运城三校联考)下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是 (　    )A.(x-2)(x+3)=x2+x-6B.2(x-2)=2x-4C.4x2-4x+1=4x(x-1)+1D.x3-x=x(x-1)(x+1)
解:A.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分 解;B.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分 解;C.不是把一个多项式化成几个整式的积的形式,不属于因式分解;D.x3-x=x(x-1)(x+1),由左边到右边的变形属于因式分解,故本选项符合题意.故选D.
确定公因式需五看:看系数:若各项系数都是整数,应提取各项系数的最大公因数;看字母:公因式的字母是各项相同的字母;看字母的指数:各相同字母的指数取指数最低的;看整体:当多项式的各项中含有的相同因式是多项式时,应将其 看成整体,不要拆开;看首项符号:若多项式中首项符号是“-”,则公因式的符号一般为负.
　多项式3x-9,x2-9与x2-6x+9的公因式是 (　    )A.x+3　　　　    B.(x+3)2　　    C.x-3　　　　     D.x2+9
解:因为3x-9=3(x-3),x2-9=(x+3)(x-3),x2-6x+9=(x-3)2,所以公因式是x-3.故选C.
　把下列各式因式分解:(1)75a3b5-25a2b4;(2)-4m3+16m2-26m;(3)m(a-3)+2(3-a);(4)6a(b-a)2-2(a-b)3.
解:(1)75a3b5-25a2b4=25a2b4(3ab-1).(2)-4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13).(3)m(a-3)+2(3-a)=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2).(4)6a(b-a)2-2(a-b)3=6a(a-b)2-2(a-b)3=2(a-b)2[3a-(a-b)]=2(a-b)2(2a+b).
用提公因式法分解因式的技巧:(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“-”,同时多项式中的各项都变号.(2)如果多项式中某些项的系数为小数(或分数),那么一般要提取小数(或分数),使多项式中各项的系数为整数.如0.5x2-2xy=0.5x(x-4y).
　已知x+y=8,xy=15,则x2y+xy2的值为　　　    .   
解:∵x+y=8,xy=15,∴x2y+xy2=xy(x+y)=15×8=120,故答案为120.
　因式分解:4x2+6xy+2x.
解:原式=2x(2x+3y+1).
运用提公因式法分解因式时,括号里的多项式的项数应与原多项 式的项数一致,原多项式中,2x可写为2x·1,提取2x后剩余的项为1, 而不是0.
·教材知识全解知识点1 用平方差公式分解因式知识点2 用完全平方公式分解因式　·核心素养全解
14.3　因式分解14.3.2　公式法
　把下列各式分解因式:(1)a2-4b2;(2)16(a-b)2-25(a+b)2;(3)x5-16x;(4)a-1+a2(1-a).
解:(1)a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b).(2)16(a-b)2-25(a+b)2=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).(3)x5-16x=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).(4)a-1+a2(1-a)=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)·(1-a2)=(a-1)(1+a)(1-a)=-(a-1)2(a +1).
用平方差公式分解因式的一般步骤:第1步:观察多项式的特点,确定a,b;第2步:把多项式的两项写成两数(或两式)的平方;第3步:因式分解成两数(或两式)和与两数(或两式)差的积的形式;第4步:因式分解的结果能化简的要进行化简.
　把下列各式分解因式:(1)a2-14a+49;(2)-m2-m- ;(3)a2+2a(b+c)+(b+c)2;(4)-3x2+6xy-3y2.
解:(1)a2-14a+49=a2-2·a·7+72=(a-7)2.(2)-m2-m- =- =- .(3)a2+2a(b+c)+(b+c)2=[a+(b+c)]2=(a+b+c)2.(4)-3x2+6xy-3y2=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2.
用完全平方公式分解因式的一般步骤:第1步:观察多项式的特点,确定a,b;第2步:把多项式写成a2±2ab+b2的形式;第3步:因式分解成(a±b)2的形式;第4步:因式分解的结果能化简的要进行化简.
    (1)若△ABC的三边长a,b,c都是正数,且满足a2+b2-6a-6b+18 +|3-c|=0,则△ABC是什么形状?(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,c是△ABC的最短边长,且a,b满足 a2+b2=12a+8b-52,求c的取值范围.
解:(1)∵a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,∴a2-6a+9+b2-6b+9+|3-c|=0,∴(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0,∴a=b=c=3,∴△ABC是等边三角形.(2)∵a2+b2=12a+8b-52,∴a2-12a+36+b2-8b+16=0,∴(a-6)2+(b-4)2=0,∴a=6,b=4,∴2