高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质备课课件ppt

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| 自 学 导 引 |
　　　函数的最大值与最小值
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值．(　　)(2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值．(　　)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
【解析】(1)反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值．(2)若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m．(3)由于f(x)在区间[a，b]上单调递增，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)．
| 课 堂 互 动 |
题型1　图象法求函数的最值
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间；(2)根据函数的图象求出函数的最小值．
解：(1)函数的图象如图所示．由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1．
图象法求最值的一般步骤
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
解：(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在[3，5]上单调递增．(2)由(1)知f(x)在[3，5]上单调递增，
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．
函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．提醒：求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．
由－3≤x1＜x2≤－1可得x1－x2＜0，x1x2＞1，即有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在[－3，－1]上单调递增．(2)因为函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(－1)＝－2．
所以当x＝300时，f(x)max＝25 000．当x＞400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．所以当x＝300时，f(x)max＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
3．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q＞p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k．(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
即x2＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立．记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，知当x＝1时，y取得最小值3＋a．所以当3＋a＞0，即a＞－3时，f(x)＞0恒成立．于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
所以a＞－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，所以a＞－3，故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
分离参数法在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a＞f(x)恒成立，则a＞f(x)max；若对于区间D上的任意x，a＜f(x)恒成立，则a＜f(x)min；若在区间D上存在x使a＞f(x)成立，则a＞f(x)min；若在区间D上存在x使a＜f(x)成立，则a＜f(x)max，其他(如a≥f(x)等)情形类似可得相应结论．
4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】记f(x)＝－x2＋2x，0≤x≤2，因为a＜－x2＋2x恒成立，所以a＜f(x)min，而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0，2]时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，所以a＜0．故选C．
易错警示　忽视单调性致误　　　　若f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值为－3，则m＝__________．错解：因为f(x)在区间[2，＋∞)上的最小值为－3，所以f(2)＝4－12＋m＝－3，即m＝5．错解分析：由于f(x)图象的对称轴方程为x＝3，且3∈[2，＋∞)，所以f(x)在x＝3时取得最小值，错因在于没有考虑f(x)的单调性．
正解：因为f(x)图象的对称轴方程是x＝3，所以f(x)在区间[2，3]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，故x＝3时，f(x)最小，f(3)＝－9＋m＝－3，即m＝6．防范措施：防范措施是研究二次函数在给定区间上的性质必须数形结合，从单调性入手．
| 素 养 达 成 |
2．二次函数在闭区间上的最值．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在图象的顶点处取得．
3．(题型4)当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
解：作出f(x)的图象如图所示．由图象可知，当x＝2时，f(x)取得最大值，最大值为2；