人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数一课一练

这是一份人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数一课一练，共89页。


【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的性质： 上加下减
的性质： 左加右减
的性质：左加右减，上加下减
一般式：（，，为常数，）；
知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考三模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．则下列四个结论：①；②若与是抛物线上的两个点，则；③；④当时，函数的值为．其中，正确结论的个数是( )

A．1B．2C．3D．4
2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．

3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则______ （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是_______．
【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】
【例2】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线（a、b是常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”，将抛物线沿轴向下平移个单位，使其平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为______．
3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】
【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12B．﹣4≤t≤5C．﹣4＜t≤5D．﹣4≤t≤12
2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】
【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．当时，的值随值的增大而减少
C．的值为D．方程有两个根、，且满足
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则________．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．
(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．
(2)若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若，当时，总有，求的取值范围．
【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】
【例5】（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A．B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点．点在线段上，点与点关于抛物线对称轴对称，连结并延长交轴于点．若，则点的横坐标为_______．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式．其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式：
(2)函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
①若，则，试求的值；
②当，对任意的都有，试求的取值范围．
【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】
【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已如二次函数，当时，自变量的取值范围为，则以下式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）

A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为______．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】
【例7】（2023·福建南平·统考二模）已知抛物线（为常数）的顶点不在抛物线（为常数）上，则应满足（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）抛物线G：与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是_______.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D．关于的方程的所有实数根的和为4
【变式训练】
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．0
2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数在轴下方部分沿轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数，那么称函数为原二次函数的有趣函数．
(1)二次函数_______________（有/没有）有趣函数．
(2)已知二次函数与轴交于点（1，0），（5，0），与轴交于点，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．
(3)在（2）的条件下：
①过点作轴的平行线与抛物线交于点，求线段的长度．
②若函数为原二次函数的有趣函数，画出函数的图像并求解当函数的函数值大于2时，自变量的取值范围（直接写出答案）．
【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】
【例9】（2023·辽宁辽阳·统考三模）如图，已知抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）已知三个不重合的点，，均在抛物线（）上，且，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为，且经过．

(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段绕点P顺时针旋转得，其中A、B的对应点分别是、．
①当与D点重合时，请在图中画出线段，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段上，若线段与抛物线有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
【重难点训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
2．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
3．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，若抛物线与线段有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）方程有两实根，，且满足，那么k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽六安·校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：．
（1）该抛物线的对称轴是 ；
（2）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m的取值范围是 ；
6．（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为， ，若，则m的最大值是 ．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）已知抛物线（m为常数）．若该抛物线与x轴只有一个交点，则 ；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是 ．
8．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 ．

9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______．
10．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当时，求自变量的取值范围；
(3)点为抛物线上一点且到轴距离小于，结合函数的图象求点纵坐标的取值范围．
11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中有三个点：，二次函数的图象恰好经过这三个点之中的两个点．

(1)试推断二次函数的图象经过点之中的哪两个点？请简要说明理由；
(2)求常数与的值；
(3)将二次函数的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为，且经过点，连、，请判断的形状，并证明你的判断
12．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图像上至少存在不同的两点，满足，则称此函数为关于d的“函数”，这两点叫做一对关于d的“点”．
(1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在的打“×”：① ；② ；③；
(2)若关于3的“函数”的图象和反比例函数第四象限的图象交于两点，求的面积；
(3)关于x的函数G：是关于t的“函数”，记函数H为（为常数，），常数h的图象经过三点，且，若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，求线段长的取值范围．
专题06 二次函数的图象与性质重难点题型专训【九大题型】
【题型目录】
【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的性质： 上加下减
的性质： 左加右减
的性质：左加右减，上加下减
一般式：（，，为常数，）；
知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据对称轴为求出，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出，结合即可判断④．
【详解】解：二次函数对称轴为直线，
，即，故①正确；
二次函数经过，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
是抛物线上两点，，且，
，故③正确；
，，
，即
，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考三模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．则下列四个结论：①；②若与是抛物线上的两个点，则；③；④当时，函数的值为．其中，正确结论的个数是( )

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用图象的信息与已知条件求得、的符号，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，
，．
，①正确；
抛物线的对称轴为直线，
点，关于直线对称的对称点为，，
，
当时，随的增大而减小．
，
②正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线与抛物线都经过点，．
抛物线一定经过点，，
，
直线与抛物线都经过点，．
，
，
，即，③正确
当时，

，
，
，
，④正确；
综上，结论正确的有：①②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件求得、的符号，、的关系式，、的关系式是解题的关键．
2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．

【答案】①⑤/⑤①
【分析】根据抛物线的对称轴是，即可判断①；由抛物线的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点位置得出的取值范围，即可判断②；利用抛物线的对称性可得出抛物线与x轴的另一个交点为，即可判断③；利用抛物线与直线只有一个交点，即可判断④；结合一次函数和二次函数的图象即可判断⑤．
【详解】∵抛物线的对称轴是，
∴，即．
故①正确；
∵抛物线开口向上，
∴．
∴．
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴．
∴．
故②错误；
∵抛物线的对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为．
故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线与直线只有一个交点．
∴方程有两个相等的实数根．
故④错误；
∵当时，，
∴不等式的解集为．
故⑤正确；
故答案是①⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，二次函数与方程，利用一次函数与二次函数的图象求不等式的解集等知识，准确识图，从图象中获取相关信息是解题的关键，体现了数形结合的数形思想．
3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则______ （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是_______．
【答案】 < 且
【分析】（1）先求出，然后分三种情况讨论即可；
（2）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在范围内分和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【详解】（1）解：∵点，在函数图像上，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当或时，，
当时，，
当时，．
（2）∵二次函数，
整理可得：，
由（1）可知：当时，解得：，，
∴二次函数的图像交轴于和两点，
对称轴，
当时，
，
∴二次函数图像的顶点坐标为，
由（2）可知：当时，，
当时，，
当时，二次函数的图像开口向上，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当时，二次函数图像开口向下，
∵对称轴，
当，即时，
∴二次函数图像在顶点处取得最大值，
∴，
解得：，
∴，
当，即，
由题意可知，，解得：，即a=-2；
综上所述，当时，，的取值范围是：，且．
故答案为：<，且．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法．解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定．
【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】
【例2】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线（a、b是常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】先求出抛物线关于y轴对称的抛物线为，再根据抛物线平移的性质得出抛物线向下平移2个单位长度后为，即可得出a和b的值．
【详解】解：∵，
∴抛物线关于y轴对称的抛物线为，
∵抛物线向下平移2个单位长度后为，
∵与关于y轴对称，
∴，
整理得：，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”，将抛物线沿轴向下平移个单位，使其平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据题意将化为顶点式，再根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”及新定义即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为：，
∴，
∴将抛物线沿轴向下平移个单位新的函数解析式为，
∵在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”，
设新抛物线上这个好点为，
∴，
∴整理得：，
∵平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的顶点式，平面直角坐标系的新定义，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为______．
【答案】
【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线，的解析式，设过原点的直线解析式为，过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，即可求解．
【详解】解：∵抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，
，，
设的解析式为，代入，得，
，
解得：，
∴的解析式为，
∵抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．
∴，
则的解析式为，
即
设过原点的直线解析式为，与，分别交于点，如图所示，
联立，
即，
∴，，
∴、两点横坐标之差为，
联立，
即，
∴，，
∴、两点横坐标之差为，
∵
∴，
解得，故直线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，将一次函数与二次函数联立求得交点横坐标之差是解决本题的关键.
3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；
（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
解得，，
；
（2）令，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，
，，
，
把代入得：
，
解得．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】
【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．
【详解】解：将，分别代入得，
解得
，
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
，
解得，
当时，点P为最低点，
将代入得，
解得(舍)，，
或，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12B．﹣4≤t≤5C．﹣4＜t≤5D．﹣4≤t≤12
【答案】D
【分析】根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，﹣4≤t≤12，进而求解；
【详解】∵对称轴为直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x，
∴顶点坐标为（2，-4），
∵﹣1＜x≤6，
∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12，
∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∴﹣4≤t≤12，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
【答案】或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【答案】(1)该二次函数的解析式为.
(2)①的值为或；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①时，则，
解得，；
故的值为或；
，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】
【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．当时，的值随值的增大而减少
C．的值为D．方程有两个根、，且满足
【答案】D
【分析】根据题意待定系数法求得二次函数的解析式，进而根据解析式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：将点代入，得
解得：
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，故A选项错误；
∵，
∴对称轴为直线，开口向上，
当时，的值随值的增大而减少，故B选项错误；
当时与时，函数值相等，即，故C选项错误；
方程即，
，
∴有两个根、，
∴，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用点平移的规律得到点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为，接着把把代入求得，于是原抛物线的解析式可设为，然后化为一般式得到、、的值，从而可计算出的值．
【详解】解：点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
原抛物线的解析式为，
即，
，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与几何变换．
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则________．
【答案】
【分析】令代入得或，则，过A作轴，E为垂足，则，而轴，则，又点A关于直线的对称点恰好落在线段上，则，即，故，即可求得，把D点的坐标代入，即可求解．
【详解】解：令代入得或，
∴，
过A作轴，E为垂足，则，
∵轴，
∴，
又点A关于直线的对称点恰好落在线段上，
∴，即，
∴，
则，
∴，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，用勾股定理求出的长度是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．
(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．
(2)若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若，当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出函数经过定点，则，且在函数的图象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出抛物线的对称轴在定点的左侧，再结合函数图象可知当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴；
（2）解：①在中，当时，，
∴函数经过定点，
∵函数 的图象始终经过同一定点M，
∴，且在函数的图象上，
∴，
∴；
②∵，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴在定点的左侧，
由①得，
∵，当时，总有，
∴如图所示，当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值
∴

∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】
【例5】（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A．B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为D．
【答案】D
【分析】由题意可得出该二次函数对称轴为直线，再根据点A坐标为，即得出，可判断C；结合A，B，C三点坐标可判断其图象开口向上，可判断A；根据对称轴为直线，图象开口向上，即得出当时，随的增大而增大，可判断B；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解二次函数与直线的方程，由得，方程的根为，从而求出，所以函数解析式为，根据函数解析式求得顶点坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，
故函数是
∴函数图象开口向下，顶点为，
与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过，
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当时，函数的最小值为，最大值为，
∴，
故选：C．
．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键．
2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点．点在线段上，点与点关于抛物线对称轴对称，连结并延长交轴于点．若，则点的横坐标为_______．
【答案】
【分析】根据抛物线的解析式得到点的坐标与对称轴，结合求得的直线解析式，进而求得点的坐标，根据点与点关于抛物线对称轴对称，求得点的坐标，求得的直线解析式，进而求得的坐标，根据关于抛物线对称轴对称求得点的坐标，根据求得的值，代入点坐标，即可求得．
【详解】与轴交于点，
，
设的直线解析式为：，
，，
代入得：，
，
令，
，
，
是抛物线的对称轴，
和关于对称，
设，
，
解得，
则，
又关于轴对称，
设，
，
解得，
，
设的直线解析式为：，
,，
，
解得：，
，
令，解得：，
，
；
，
，
即，
解得：，
，
，
点的横坐标为：．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图像，一次函数的待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性确定坐标是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式．其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的解析式：
(2)函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点．
①若，则，试求的值；
②当，对任意的都有，试求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）直接将点代入即可；
（2）①利用题意，由，求解a；②由已知当，对任意的都有，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：∵函数图象过点，
∴将点代入,
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①函数的对称轴是直线，
，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则，
，
；
②函数的对称轴是直线，
，对任意的都有，
当，时，
；
当时，不符合题意舍去；
．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的特征，能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】
【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已如二次函数，当时，自变量的取值范围为，则以下式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出，开口向上，与x轴的两个交点为，得出的两根为，，然后根据二次函数的基本性质依次判断即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，自变量的取值范围为，
∴，开口向上，与x轴的两个交点为，
∴对称轴为，
∴，选项A错误，不符合题意；
∵当时，自变量的取值范围为，
∴即，选项B错误，不符合题意；
将点代入解析式得：，
∴，选项C错误，不符合题意；
∵与x轴的两个交点为，
∴的两根为，，
∴，
∴，选项D正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，
当时，，，
∴抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，
如图所示，∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），
∴，
解得，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．

【点睛】考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点坐标，解题时，利用了数形结合的数学思想，难度较大．
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为______．
【答案】6
【分析】根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令，即可求得点的坐标，从而可求出的长．
【详解】解：长为4，是半圆的直径，
点坐标为，点坐标为，
将点坐标代入抛物线的解析式为，
得，，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
点坐标为，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入解析式即可；
（2）根据（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；
（3）先求出的解析式，再根据的对称轴，然后分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴的交点为，
∴，
解得，
∴a的值为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴二次函数在x轴上截得的线段长的值为；
（3）解：∵，
∴，
∴对称轴为，
当即时，当时，有最小值，
∴；
当时，即，当时，有最小值，
∴；
当即时，当时，有最小值，
∴，
综上所述，的解析式为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】
【例7】（2023·福建南平·统考二模）已知抛物线（为常数）的顶点不在抛物线（为常数）上，则应满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，因为该顶点不在抛物线上，所以将该点坐标代入中，不能使等式成立，据此分析的取值范围．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
又抛物线的顶点不在抛物线上，
，即，
又，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活运用配方法解决二次函数及二次方程的问题是本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）抛物线G：与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，进而求出直线的解析式为，再推出抛物线G沿直线平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线上，设抛物线H的顶点坐标为，则抛物线H的解析式为，进而求出，则的最大值为．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为，即抛物线的顶点在直线上，
∴抛物线G沿直线平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线上，
设抛物线H的顶点坐标为，
∴抛物线H的解析式为，
在中，令，则，
∴的最大值为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定在直线上是解题的关键．
2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】分两种情形：当，在对称轴的异侧，且时，当，在对称轴的异侧，时，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当，在对称轴的异侧，且时，
，，抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，即，
，
，
，
，
，
；
当，在对称轴的异侧，时，
，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称，解不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想，分类思考问题．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；
（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；
（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分 、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当，时，，
∴当，时，该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵该函数图象经过点，
∴，则，
∵该二次函数图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，，
∴，即；
（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，
∵，
∴当即时，该函数的最大值为，即，
解得，，不合题意，舍去；
当即时，时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；
当即时，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为，
解得，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．
【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D．关于的方程的所有实数根的和为4
【答案】D
【分析】由是函数图像和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图像可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
【详解】解：是函数图像和x轴的交点，
，
解得：，
，
故A、B错误；
如下图，当直线与该图像恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于x的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点A、B，
令，即，解得：或，
∴A（，），B（，），
观察图象可知：
①当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，的最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键．
2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______．
【答案】-1或0/0或-1
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=kx2+2x-1，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到4+4k=0，求解即可．
【详解】∵（kx＋1）⊕（x－1）＝（kx+1）（x-1）+（kx+1）+（x-1）=kx2+2x-1，
∴y= kx2+2x-1，
当k≠0时
∵y= kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴△=0，即4+4k=0，
∴k=-1．
当k=0时，
函数为y=2x-1，其图象与x轴一定有一个交点
故答案是：-1或0．
【点睛】考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数在轴下方部分沿轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数，那么称函数为原二次函数的有趣函数．
(1)二次函数_______________（有/没有）有趣函数．
(2)已知二次函数与轴交于点（1，0），（5，0），与轴交于点，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．
(3)在（2）的条件下：
①过点作轴的平行线与抛物线交于点，求线段的长度．
②若函数为原二次函数的有趣函数，画出函数的图像并求解当函数的函数值大于2时，自变量的取值范围（直接写出答案）．
【答案】(1)没有
(2)，图见解析
(3)①6；②或或
【分析】（1）由于函数在轴下方没有图像，根据定义可知二次函数 没有有趣函数；
（2）用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）①根据平行的性质，求出点坐标，即可求的长；②画出图像，结合图像求范围即可．
【详解】（1）解：，
函数在轴下方没有图像，
二次函数 没有有趣函数；
（2）解：将、，代入，
，解得，
；
作图如下：
（3）解：①轴，
，解得或，
，
；
②当时，，解得或，
或时，或的函数值大于2；
函数关于轴对称的函数解析式为，
当时，解得或，
时，的函数值大于2；
作出函数图像如下：
综上所述：或或时，函数的函数值大于2．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，弄清定义，数形结合是解题的关键．
【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】
【例9】（2023·辽宁辽阳·统考三模）如图，已知抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据抛物线可表示为得即可判断的正负及的关系可判断①②③；根据图象可知，对称轴为求出对称点的坐标，可判断④，根据求出抛物线解析式，再求出的坐标，以此即可判断⑤．
【详解】解：抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，
则抛物线可表示为，
，
，，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
抛物线的对称轴为，关于直线的对称点为，
∴关于x的一元二次方程的两个根分别为，5，故④错误；
当时，，顶点，，
，且，是等腰直角三角形，故⑤正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，得到与之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答．
【变式训练】
1．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）已知三个不重合的点，，均在抛物线（）上，且，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据，推出抛物线的对称轴为：，得到，为抛物线的顶点，再根据，和二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，为抛物线的顶点，
∵，
∴，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴，
∴，
①，无解；
②，解得：，
③，解得：；
综上：或；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是求出对称轴，确定抛物线开口向下，，为抛物线的顶点．
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
【答案】或者，或者
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线，相切时m的值以及直线过点A、B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】令，即，
解得或，
则点，，
抛物线：，，
由于抛物线向右平移两个长度单位得抛物线，
则抛物线解析式为，，
令，即，
解得或，
则点，
如图，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
结合图象可知：直线与、共有2个不同的交点时，
则m的取值范围是，或者，或者，
故答案为：或者，或者．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为，且经过．

(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段绕点P顺时针旋转得，其中A、B的对应点分别是、．
①当与D点重合时，请在图中画出线段，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段上，若线段与抛物线有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ②或
【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①过点作轴的垂线交轴于点，交于点,则，即，，根据解题即可；
②由当时，，由旋转可得)，再根据求出解集即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴
（2）①解：如图，过点作轴的垂线交轴于点，交于点,
则，
由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
令，则，
解得：
∴
设点坐标为，
则，，
即，
解得：，
∴点坐标为，
②解：∵，
当时，，
由题可知：)，
即，
由同号两数相乘得正可知：m，同号，
∴或
解得：或，
又∵，
∴或
【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，旋转得性质和全等三角形，掌握旋转的性质是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
2．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
3．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，若抛物线与线段有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的对称轴公式计算抛物线的对称轴为：直线，得抛物线与轴交于点，先计算过边界点时，，对于抛物线，当时，无论取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与轴的交点都在点的上方，随着的值变大，抛物线的开口越小，可得答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
对于，
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴抛物线在平面直角坐标系中的大致位置如图：

当抛物线经过点时，，
解得，
对于抛物线，当时，无论取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与轴的交点都在点的上方，随着|a|的值变大，抛物线的开口越小，
∵抛物线与线段只有一个交点，
∴，
又∵，
∴（两个负数比较大小，绝对值较大的反而小）．
∴的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握的值变大，抛物线的开口越小，并利用数形结合的思想解决问题．
4．（2023春·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）方程有两实根，，且满足，那么k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抛物线与轴的交点问题，把题目转化为抛物线与轴的交点一个在与之间，另一个在和之间，利用抛物线开口向上可得不等式组，然后解不等式组即可．
【详解】解：把方程有两实根，，且满足，
转化为抛物线与轴的交点一个在与之间，另一个在和之间，
，；，；，，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了解一元二次方程．
5．（2023·安徽六安·校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：．
（1）该抛物线的对称轴是 ；
（2）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m的取值范围是 ；
【答案】 直线
【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线代入即可求解；
（2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论与，由两点中点与对称轴的位置关系求解．
【详解】解：（1）抛物线：，
对称轴为直线；
故答案为：直线；
（2）抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，，
，
即，
解得，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．
6．（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为， ，若，则m的最大值是 ．
【答案】 0 4
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为，即可得出原二次函数为，与原二次函数比较可得，可得；然后再将代入求解即可求得m的最大值．
【详解】解：把二次函数的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为
原二次函数的顶点为，
原二次函数为，
，
∴；
，
，
，
即，
m的最大值是4；
故答案为：0；4．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、作关于x轴对称的点的坐标特征、二次函数的图像与几何变换等知识点，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）已知抛物线（m为常数）．若该抛物线与x轴只有一个交点，则 ；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】抛物线与x轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程只有一个实数根，利用根的判别式即可求出m的值；抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，那么在对称轴出抛物线的函数值一定要大于一次函数的函数值，且对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此列出不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
解得；
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，
∴当时，，即，且方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】先根据抛物线的解析式求出、坐标，再利用待定系数法求出的解析式，再设，则，得出，然后利用函数的性质求出的最大值即可．
【详解】解：令，则，
解得：，，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
在线段上方，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：4.
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一次函数，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点，代入
得：，
解得，
则该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
当时，，即，
∵P为的中点，且，
∴即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当时，求自变量的取值范围；
(3)点为抛物线上一点且到轴距离小于，结合函数的图象求点纵坐标的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）令，解方程求得的坐标，进而结合图象即可求解；
（3）根据解析式可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，根据，且，根据增减性，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将和代入
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）由(1)可知抛物线的解析式为，
令，则，得，，
，，
结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为或；
（3），
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
，且，
当时，取得最大值，最大值是，
当时，；
当时，；
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式解析式，求与坐标轴的交点坐标，根据图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中有三个点：，二次函数的图象恰好经过这三个点之中的两个点．

(1)试推断二次函数的图象经过点之中的哪两个点？请简要说明理由；
(2)求常数与的值；
(3)将二次函数的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为，且经过点，连、，请判断的形状，并证明你的判断
【答案】(1)点、在抛物线上，理由见解析
(2)，
(3)等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）轴，故、中只有一个点在抛物线上，求得的解析式，交轴于点，抛物线与轴也交于点，故不符要求，由此解答即可；
（2）把、点的坐标代入解析式，由此解答即可；
（3）由平移可得新的解析式，代入得出点的坐标，再判断三角形的形状．
【详解】（1）∵，
∴轴，
故、中只有一个点在抛物线上，
∵设直线的解析式为，代入点，点，
∴
解得：，
∴直线，交y轴于点．
且抛物线与轴也交于点，故不符要求．
∴点在抛物线上
（2）代入、到，
得，
解得，，
∴
（3）原抛物线的解析式为
∴先向下平移2个单位长度，再向右平移个单位长度后的解析式为，
又平移后的顶点为D，
∴
代入到，
得，
解得（舍），，
∴
∴，，
∴，，
∴．
∴是等腰直角三角形

【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．
12．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图像上至少存在不同的两点，满足，则称此函数为关于d的“函数”，这两点叫做一对关于d的“点”．
(1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在的打“×”：① ；② ；③；
(2)若关于3的“函数”的图象和反比例函数第四象限的图象交于两点，求的面积；
(3)关于x的函数G：是关于t的“函数”，记函数H为（为常数，），常数h的图象经过三点，且，若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，求线段长的取值范围．
【答案】(1)√；×；√
(2)
(3)
【分析】（1）先根据新定义计算，再进行判断即可；
（2）先根据新定义求得，再联立方程组求得点E、F的坐标，再利用分割法求三角形的面积即可；
（3）根据函数的新定义求得，联立方程组可得，且一元二次方程有两个不相等的实数根，从而可得，再由的图象经过三点，且，求得，即可求解．
【详解】（1）解：①由题意可得，，
∴，
∴此时图象上存在无数个关于1的“点”，
故答案为：√；
②由题意可得：，
∵，
∴图象上不存在一对关于1的“点”，
故答案为：×；
③由题意可得：，，
∴，，
∴此时图象上存在无数个关于1的“点”，
故答案为：√；
（2）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∴联立方程组得：，解得：，，
∵当时，；当时，，
∴，，
∵当时，；当时，，即，
∴一次函数与x、y轴的交点为、，
∴；

（3）解：∵是关于t的“函数”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴函数G的解析式为，
∵函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，
∴联立方程组：，得：，
∴一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，且经过点，
∴是一元二次方程的根，
∴，即，
∴，
∵的图象经过三点，且，
又∵，，
∴，，
∴，，即，，
∴，
∴，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题考查函数的新定义、二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的图象与性质，理解新定义，将所求问题转化为函数问题是解题的关键．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，