人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(二)之基础常考题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(二)之基础常考题型专训(原卷版+解析)，共111页。

题型一 二次根式的混合运算
题型二 二次根式的应用
题型三 勾股定理中以弦图为背景的计算
题型四 用勾股定理解三角形
题型五 勾股定理的实际应用
题型六 最短路径问题
题型七 勾股定理的逆定理
题型八 平行四边形的性质与判定
题型九 矩形的性质与判定
题型十 菱形的性质与判定
题型十一 正方形的性质与判定
题型十二 函数的基础概念
题型十三 正比例函数的图象与性质
题型十四 一次函数的图象与性质
题型十五 一次函数与方程、不等式
题型十六 一次函数的应用
题型十七 数据的集中趋势
题型十八 数据的离散程度
【基础题型一 二次根式的混合运算】
1．（2023春·八年级单元测试）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·八年级单元测试）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·八年级单元测试）计算： 的结果是____________．
4．（2022秋·八年级单元测试）计算： ____．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)； (2)．
(3)．
6．（2022春·八年级单元测试）已知 ，求下面各代数式的值：
(1)；
(2)．
【基础题型二 二次根式的应用】
1．（2023春·八年级单元测试）下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西西安·校考三模）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．如图，在中，，，，则的面积为_________．
4．（2023春·河北唐山·八年级统考阶段练习）已知长方形的长，宽．
（1）该长方形的周长为________；
（2）该长方形的面积为________，若另一个正方形的面积与该长方形面积相等，则该正方形的周长为________．
5．（2023春·河南商丘·八年级校联考阶段练习）海啸，是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播几千米而能量损失很小海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的速度，表示海水的深度，表示重力加速度若在海洋深度处发生海啸，求其行进的速度．
6．（2020秋·贵州贵阳·八年级贵阳十八中校考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【基础题型三 勾股定理中以弦图为背景的计算】
1．（2023春·全国·八年级期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．56B．24C．64D．32
3．（2023春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ．
4．（2023春·全国·八年级期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ____．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【基础题型四 用勾股定理解三角形】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A．B．2.2C．2.3D．
2．（2023春·八年级单元测试）如图，中，，于点，，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．2
3．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，已知点，，以点P为圆心，PM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为_________．
4．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D、E，若，，则线段的长度等于______ ．
5．（2023春·八年级单元测试）一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）
6．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，
(1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
作出的垂直平分线，交于点，交于点．
(2)在(1)的条件下，若，连接，求的面积．
【基础题型五 勾股定理的实际应用】
1．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（ ）
A．24B．25C．15D．20
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
3．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为____海里．
4．（2022春·河北石家庄·八年级统考期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为______m，购买这种地毯至少需要______元．
5．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？ (参考数据转换：)
6．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
【基础题型六 最短路径问题】
1．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．13厘米B．17厘米C．厘米D．5厘米
2．（2022春·八年级单元测试）如图，一长方形操场长，宽，四个顶点各放一面小旗，一名同学站在中心点处，他要到、、、处取小旗，他拿到最后一面旗子时，所走的最短路程是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
3．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，在边长都是1的正方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是_____．
4．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．
5．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
6．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和黄家宝塔B，我区某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向上，C位于B的北偏东的方向上，且
(1)求黄家宝塔B与桑葚基地C的距离；
(2)为了方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【基础题型七 勾股定理的逆定理】
1．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·八年级单元测试）的三边长分别为，，，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．（2022秋·七年级单元测试）把一根厘米长的铁丝，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两根铁丝，用这三条铁丝摆成的三角形面积是 ________．
4．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是秒，乙客轮航行的速度是秒，5分钟后甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向是___．
5．（2023春·八年级单元测试）若三角形的三边a，b，c满足，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．
6．（2023春·八年级单元测试）已知：如图，，，，，，求图形中阴影部分的面积．
【基础题型八 平行四边形的性质与判定】
1．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A．4B．3C．3.5D．2
3．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，在中，为上一点，将沿折叠至处，'与交于点．若，，的度数为______．
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，若，则_____．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，四边形是平行四边形，，平分且交于点E，点F是边上一点，．求证：四边形是平行四边形．
6．（2023春·四川宜宾·八年级校考期中）如图，点E为平行四边形的边的中点，连结并延长交的延长线于F．
(1)求证：；
(2)若，使，求的度数．
【基础题型九 矩形的性质与判定】
1．（2023春·八年级单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）矩形，的平分线交直线于点E，，，则矩形的面积为_______．
4．（2023春·广西防城港·八年级统考期中）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于F，则的最小值为______．
5．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
6．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的面积．
【基础题型十 菱形的性质与判定】
1．（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．24
2．（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023·四川成都·统考二模）如图，，是菱形的对角线，若，则菱形的面积为_______．
4．（2023春·八年级单元测试）如图，在矩形中，，，分别平分，，交，于点，．要使四边形为菱形，则的长为____．
5．（2023春·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，矩形的对角线、交于点O，．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的周长．
6．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，菱形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接．
(1)求证：；
(2)过点A作，交于点G，交于点F，若，试判断的形状，并加以证明.
【基础题型十一 正方形的性质与判定】
1．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，正方形的边长为，点F为对角线上一点，当时，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州遵义·统考二模）如图，正方形的边长为9，将正方形沿点G折叠，使顶点A恰好落在边上的点E处，折痕为，若，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·山东济南·八年级山东省莱芜市陈毅中学校联考期中）如图，在正方形内作等边，连接，则的度数为 ________．
4．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接，延长交于点F，若，则的度数是______．
5．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于F．
(1)证明：；
(2)求的度数；
6．（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，将一张矩形纸片的一端沿折叠，B点恰好落在上的F点．
(1)这样折出来的四边形是________；
(2)证明你在（1）中得到的结论．
【基础题型十二 函数的基础概念】
1．（2023·浙江绍兴·统考一模）王老师家，超市，公园自西向东依次在同一直线上，家到超市的距离，到公园的距离分别为200米，1000米．她从家出发匀速步行5分钟到达超市，停留3分钟后骑共享单车，以250米/分匀速行驶到公园．设王老师离超市的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min），则下列表示s和t之间函数关系的图像中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·六年级单元测试）某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ）
A．用电量每增加千瓦时，电费增加元
B．若用电量为千瓦时，则应缴电费元
C．若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时
D．若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时
3．（2023春·八年级单元测试）本月我市95号汽油的平均价格是7.92元/升，小明爸爸用一张面额为1000元的加油卡付费，若加油x（升）后油卡上的余额为y（元），则y与x的函数关系式是______．
4．（2023·广东汕头·统考一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图像，以下说法：①乙比甲提前分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是______________．（填序号）
5．（2023春·山东济南·七年级统考期中）甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距千米的地，他们行驶的路程与所用时间的关系如图所示，请根据图像回答下列问题：
(1)此变化过程中，________是自变量，________是因变量．
(2)甲乙两人________先出发，早出发________小时．
(3)求乙出发多长时间追上甲？
6．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
(1)写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
(2)当四边形的面积为25时，求的长．
【基础题型十三 正比例函数的图象与性质】
1．（2023·陕西西安·校考三模）正比例函数的图象上有一点A到x轴的距离与到y轴的距离之比为，且y随x的增大而减小，则k的值为（ ）
A．B．C．D．3
2．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是( )
A．B．C．或D．
3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是________．
4．（2023·上海奉贤·统考二模）如果正比例函数（是常数，的图像经过点，那么的值随的增大而________．（填“增大”或“减小”）
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
6．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期中）在同一时间、同一地点测得树高（m）和影长（m）的数据如下表：
(1)在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点；
(2)树高和影长成______比例关系（填“正”或“反”）；
(3)当树高11.5m时，影长是多少米？
【基础题型十四 一次函数的图形与性质】
1．（2022秋·七年级单元测试）已知一次函数，下列说法不正确的是( )
A．图象与x轴的交点坐标是B．图象经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2
2．（2023春·湖南·八年级阶段练习）已知一次函数（k，b为常数，且，y随着x的增大而减小，且，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·八年级单元测试）已知若、是一次函数图象上的两个点，那么________．（用“”、“”或“”填空）
4．（2023·河南安阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为______．
5．（2022春·八年级单元测试）已知关于的一次函数．
(1)为何值时，直线交轴于正半轴？
(2)为何值时，直线交轴于负半轴？
(3)为何值时，直线经过原点？
6．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知点，．
(1)求的面积．
(2)求直线所对应的函数解析式．
【基础题型十五 一次函数与方程、不等式】
1．（2022秋·七年级单元测试）已知直线和直线相交于点，则方程的解是( )
A．B． C． D．
2．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）一次函数与的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：方程的解是；
乙说：当时，．
其中正确的结论有（ ）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲乙都正确D．甲乙都错误
3．（2022春·七年级单元测试）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是_________________．
4．（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是__________．
5．（2023春·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，过点的直线：与直线：相交于点．
(1)求的值；
(2)求直线的解析式；
(3)直接写出的解．
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1)求的面积；
(2)利用函数图象直接写出当时，的取值范围．
【基础题型十六 一次函数的应用】
1．（2023春·四川泸州·九年级统考期中）“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( )
A．2小时B．小时C．小时D．小时
2．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）武汉市推出上网课包月制，每月收取上网课费用y（单位：元）与上网时间x（单位：小时）的函数关系如图所示．若小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为( )
A．32小时B．35小时C．36小时D．38小时
3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图1．在四边形中，，动点P从点B出发，沿的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x的函数图像2所示，那么四边形的面积为_____．
4．（2023·山东聊城·统考二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要__________小时．
5．（2023·广西贵港·统考二模）敬老爱老是我们中华民族的优良传统，甲、乙两位同学周末相约到敬老院看望孤寡老人．已知甲同学家在地，乙同学家在地，敬老院在地．甲、乙两位同学分别从家里出发沿同一条路前往敬老院，他们离地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)，两地的路程为 ．
(2)求乙同学离地的路程关于时间的函数表达式．
(3)甲、乙两位同学相遇时，离敬老院的路程还有多远？
6．（2023·云南·统考二模）为推进我省“绿美家园”建设步伐，某小区决定对小区广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与1棵乙景观树种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树种植费用为390元．
(1)甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为多少元？
(2)如果小区计划购进两种景观树共60棵，且甲景观树数量不低于乙景观树数量的一半，设购进甲景观树x棵，种植总费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并求出最少种植费用．
【基础题型十七 数据集中趋势】
1．（2023·贵州遵义·统考二模）现有一组数据：1，4，3，2，5，x．若该组数据的众数是3，则该组数据的中位数为（ ）
A．B．2C．3D．4
2．（2023春·八年级单元测试）双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按：：计入综合评价，若宸宸学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·八年级单元测试）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位）
4．（2022春·八年级单元测试）某校举行国庆文艺节目演出，由参加演出的个班各派一名同学担任评委，下面是各评委给八年级班一个节目的评分如下：
（1）如果每个节目的得分取各个评委所给分的平均分，那么该节目的得分为________分；
（2）如果先去掉其中一个最高分和一个最低分，再取余下评委所给分的平均数，那么该节目的得分为________分；
（3）两种评分相差________分，________[填写序号（1）或（2）]计算该节目的得分数的方法比较合理．
5．（2023·陕西咸阳·统考二模）李叔叔种植了棵新品种的樱桃树，现已挂果，到了成熟期随机选取部分樱桃树作为样本，对所选取的每棵树上的樱桃产量进行统计．将得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)请将条形统计图和扇形统计图补充完整；
(2)所抽取的樱桃树产量的中位数是______，众数是______；
(3)经了解，这种樱桃的售价为元/，请估计卖完这棵樱桃树上的樱桃一共可收入多少元？
6．（2023·江西上饶·统考一模）为创建文明校园，树立新风，某校开展了以“学习党史，团结力量”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【基础题型十八 数据的离散程度】
1．（2023·山东威海·统考一模）小亮要计算一组数据82，80，83，76，89，79的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据2，0，3，，9，，记这组新数据的方差为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．（2022春·七年级单元测试）数据，，，，，的平均数和标准差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．（2022春·七年级单元测试）已知一组数，，，，的平均数为，那么这一组数的标准差为________．
4．（2022春·七年级单元测试）甲、乙两人进行投篮比赛，共进行了五次，每次每人投个球．比赛结果投进个数分别为甲：，，，，；乙：，，，，．计算并将结果填入下表：________，________，________，________，________，________．
5．（2022春·七年级单元测试）为了从小明和小刚两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，次打靶命中的环数如下：
小明：，，，，；
小刚：，，，，．
(1)填写下表：
(2)根据以上信息，若教练选择小明参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)若小刚再射击次，分别命中环、环，则小刚这次射击成绩的方差________．（填“变大”、“不变”或“变小”）
6．（2023春·八年级单元测试）一次学情检测中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在A、B两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
用电量（千瓦时）
…
应缴电费（元）
…
树高（m）
2
3
4
6
9
…
影长（m）
1.6
2.4
3.2
4.8
7.2
…
评委编号





评分





评委编号





评分





等级
成绩
A
B
C
D
E
极差
方差
标准差
甲
乙
平均数
中位数
方差
小明
________
小刚
________
A
B
C
D
E
平均分
方差
数学
71
68
72
69
70
70
2
英语
85
88
82
84
86
85
期末重难点特训（二）之基础常考题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式的混合运算
题型二 二次根式的应用
题型三 勾股定理中以弦图为背景的计算
题型四 用勾股定理解三角形
题型五 勾股定理的实际应用
题型六 最短路径问题
题型七 勾股定理的逆定理
题型八 平行四边形的性质与判定
题型九 矩形的性质与判定
题型十 菱形的性质与判定
题型十一 正方形的性质与判定
题型十二 函数的基础概念
题型十三 正比例函数的图象与性质
题型十四 一次函数的图象与性质
题型十五 一次函数与方程、不等式
题型十六 一次函数的应用
题型十七 数据的集中趋势
题型十八 数据的离散程度
【基础题型一 二次根式的混合运算】
1．（2023春·八年级单元测试）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类二次根式，以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C．2与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握合并同类二次根式，以及二次根式的乘除法法则是解答本题的关键．
2．（2022春·八年级单元测试）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，正确计算是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）计算： 的结果是____________．
【答案】
【分析】先把原式化为，再计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用积的乘方运算，平方差公式，二次根式的乘法运算，熟记积的乘方运算的运算法则，二次根式的乘法运算法则是解本题的关键．
4．（2022秋·八年级单元测试）计算： ____．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．（2022春·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）首先进行二次根式的乘除运算及利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可；
（2）首先进行二次根式的乘除运算及利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可；
（3）首先利用零指数幂运算法则及二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算以及零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2022春·八年级单元测试）已知 ，求下面各代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)8
(2)5
【分析】（1）首先根据题意得到，，然后将利用完全平方公式变形代入求解即可；
（2）将通分，然后利用完全平方公式变形，最后代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式的求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．
【基础题型二 二次根式的应用】
1．（2023春·八年级单元测试）下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意先求出两个阴影正方形的边长，再求出空白小长方形的长和宽即可求解．
【详解】解：由题意可知，
阴影部分大正方形的边长为：，
阴影部分小正方形的边长为：，
则空白部分长方形的长为、宽为，
则空白部分的面积为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考三模）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．如图，在中，，，，则的面积为_________．
【答案】
【分析】根据三角形面积进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式性质是解题的关键．
4．（2023春·河北唐山·八年级统考阶段练习）已知长方形的长，宽．
（1）该长方形的周长为________；
（2）该长方形的面积为________，若另一个正方形的面积与该长方形面积相等，则该正方形的周长为________．
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）根据长方形的周长公式即可求出答案；
（2）根据长方形的面积公式即可求出面积，正方形面积等于长方形面积，再根据正方形面积可求出正方形的边长．
【详解】（1）该长方形的周长为；
（2）长方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
正方形的周长为．
故答案为：（1）；（2）；
【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
5．（2023春·河南商丘·八年级校联考阶段练习）海啸，是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播几千米而能量损失很小海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的速度，表示海水的深度，表示重力加速度若在海洋深度处发生海啸，求其行进的速度．
【答案】行进的速度为
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
【详解】由题意可得：，，
则．
答：其行进的速度为．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
6．（2020秋·贵州贵阳·八年级贵阳十八中校考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为，
∴长方形的周长为：；
答：长方形的周长是．
（2）由题意可得，
元．
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
【基础题型三 勾股定理中以弦图为背景的计算】
1．（2023春·全国·八年级期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可．
【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以（负值已舍）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．56B．24C．64D．32
【答案】A
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，利用勾股定理求出斜边长，再进行求解即可．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
∴“数学风车”的周长是：．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ．
【答案】49
【分析】由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积可得答案．
【详解】解：直角三角形两直角边边长分别为，，
斜边长为
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证明．
4．（2023春·全国·八年级期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ____．
【答案】16
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意作出如下图，
得，，，是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD=
∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2，
∴边长为a−2b，
由此可画出的图形如下：
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
【基础题型四 用勾股定理解三角形】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A．B．2.2C．2.3D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点B的位置即可得到点A表示的数．
【详解】解：如图，
根据勾股定理得：，
∴，
∴点A表示的实数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）如图，中，，于点，，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用勾股定理先求解，再利用可得答案．
【详解】解：∵， ，，
∴，
∵于点，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．
3．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，已知点，，以点P为圆心，PM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为_________．
【答案】
【分析】先由勾股定理求解，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，求解是解本题的关键．
4．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D、E，若，，则线段的长度等于______ ．
【答案】
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：连接，
垂直平分，，，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
5．（2023春·八年级单元测试）一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）
【答案】
【分析】由题意得，再由勾股定理得，设AP为x km，则，得方程，解方程即可．
【详解】解：、D两村到储藏仓库P的直线距离相等，
，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
设，则，
，
解得：，
答：储藏仓库P到A站点的距离约为
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，
(1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
作出的垂直平分线，交于点，交于点．
(2)在(1)的条件下，若，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，作出的垂直平分线，交于点，交于点
（2）根据垂直平分线的性质得出，由，得出，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，为所作；
（2）垂直平分，
，则，
，
．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【基础题型五 勾股定理的实际应用】
1．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（ ）
A．24B．25C．15D．20
【答案】B
【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求出的长度．
【详解】解：设，依题意，得，，
在中，根据勾股定理
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找到为梯子长等量关系是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】D
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
3．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为____海里．
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意，得，，根据小岛在轮船的北偏东方向上，则，，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．
【详解】过点作于点，
∴，，
∵（海里），
∴（海里），
∵小岛在轮船的北偏东方向上，
∴，
∴，
∴（海里），
∴（海里），
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．
4．（2022春·河北石家庄·八年级统考期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为______m，购买这种地毯至少需要______元．
【答案】 7 420
【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数．
【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3+4=7(m)，
则面积是2×7=14 (m2)，
总钱数是14×30=420（元）．
故答案为：7；420．
【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
5．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？ (参考数据转换：)
【答案】超速了
【分析】求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
；
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键．
6．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
【答案】17米
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得 ，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】解：如图所示
设旗杆高度为 ，则 ，，，
在中，
解得：，
答：旗杆的高度为m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．
【基础题型六 最短路径问题】
1．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．13厘米B．17厘米C．厘米D．5厘米
【答案】A
【分析】根据题意将圆柱展开，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下：
∴，
∴，
∴最短路程为13厘米，
故选：A．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．
2．（2022春·八年级单元测试）如图，一长方形操场长，宽，四个顶点各放一面小旗，一名同学站在中心点处，他要到、、、处取小旗，他拿到最后一面旗子时，所走的最短路程是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答此题的关键．
3．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，在边长都是1的正方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是_____．
【答案】
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】解：展开后如图所示，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
4．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．
【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，
原图长度增加，则，
连接，
四边形是长方形，，宽，
，
蚂蚱从点爬到点，它要走的路程．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
5．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可；
（2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以为斜边的直角，
由（1）可知：，
由题意可得：，，，
∴，，，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键．
6．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和黄家宝塔B，我区某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向上，C位于B的北偏东的方向上，且
(1)求黄家宝塔B与桑葚基地C的距离；
(2)为了方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据方向角的定义得出，，由三角形内角和定理求出，则，根据等角对等边求出；
（2）首先过点C作，垂足为D，然后在中，利用勾股定理求得答案．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴黄家宝塔到桑葚基地C的距离为；
（2）过点C作于点D
在中，，
∴
∴
∵ ，即
即C到公路l的最短距离为
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识．根据条件得出是解题的关键．
【基础题型七 勾股定理的逆定理】
1．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D 是否是直角三角形．
【详解】解：A中，而根据三角形内角和定理，
∴，故A、B是直角三角形；
C中设，
∵，
，
，故C不是直角三角形；
D中符合勾股定理逆定理，故D是直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
2．（2022春·八年级单元测试）的三边长分别为，，，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的定义、判定和勾股定理逆定理分别进行分析即可．
【详解】解：①，，解得，所以是直角三角形；
②，，解得，，，故不是直角三角形；
③，，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④，，不是直角三角形．
其中能判断是直角三角形的个数有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
3．（2022秋·七年级单元测试）把一根厘米长的铁丝，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两根铁丝，用这三条铁丝摆成的三角形面积是 ________．
【答案】
【分析】由于把一根厘米长的铁丝，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两根铁丝，那么剩下的铁丝的长度为4厘米，根据勾股定理的逆定理可证明三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵把一根厘米长的铁丝，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两根铁丝，
∴剩下的铁丝的长度为4厘米，
而，
∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，
∴这三条铁丝摆成的三角形面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能证明出三角形为直角三角形是解答此题的关键．
4．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是秒，乙客轮航行的速度是秒，5分钟后甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向是___．
【答案】北偏西
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【详解】解：如图，
甲的路程：，
乙的路程：，
，即：，
，即甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，即：，
∴，，
乙客轮的航行方向是北偏西，
故答案为：北偏西．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（2023春·八年级单元测试）若三角形的三边a，b，c满足，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．
【答案】直角三角形，面积为6
【分析】将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得，，，根据勾股定理的逆定理进行判断为直角三角形，再利用面积公式计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，即，
∴此三角形为直角三角形，
∴面积为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，完全平方公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．（2023春·八年级单元测试）已知：如图，，，，，，求图形中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中阴影部分的面积．
【详解】解：∵，，，
∴,
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴图形中阴影部分的面积为．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
【基础题型八 平行四边形的性质与判定】
1．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案．
【详解】解：、，
，
又，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
、不能判断四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
、，
，
又，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
2．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A．4B．3C．3.5D．2
【答案】B
【分析】先证明，可得，根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解答本题的关键是得出．
3．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，在中，为上一点，将沿折叠至处，'与交于点．若，，的度数为______．
【答案】/度
【分析】根据平行四边形的性质得出，根据折叠的性质得出，，根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
＋＋，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，若，则_____．
【答案】8
【分析】根据三角形中位线的性质得出，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点D，E分别是的中点，，
∴，
在中， ，
故答案为：8．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握这两个定理是解题关键．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，四边形是平行四边形，，平分且交于点E，点F是边上一点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】由平行四边形的性质可得，求出，由角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理求出，从而证得，再由，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键．
6．（2023春·四川宜宾·八年级校考期中）如图，点E为平行四边形的边的中点，连结并延长交的延长线于F．
(1)求证：；
(2)若，使，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质，证明，即可得结论；
（2）结合（1）根据平行四边形的性质，可得，进而可得结果．
【详解】（1）解：证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，又，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
【基础题型九 矩形的性质与判定】
1．（2023春·八年级单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】根据平行四边形的定义、判定定理，矩形的判定定理即可判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，属于中考常考题型．
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，即可得出，再根据矩形的性质得出，最后根据等边对等角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握矩形对边平行且相等，等腰三角形“等边对等角”．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）矩形，的平分线交直线于点E，，，则矩形的面积为_______．
【答案】20或12
【分析】根据平分，可得，再进行分类讨论，①当点E在线段上时，②当点E在点C右边时上时，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，则，
①当点E在线段上时，如图：
∵，，
∴，
∴矩形的面积；
②当点E在点C右边时上时，如图：
∵，，
∴，
∴矩形的面积；
故答案为：20或12．
【点睛】本题主要考查了矩形的性子，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“等角对等边”．
4．（2023春·广西防城港·八年级统考期中）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于F，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，的最小值，即的最小值为斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．
5．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析
(2)，四边形为矩形，证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据矩形的判定定理证明．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，，分别是各边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2），四边形为矩形，
理由如下：由（1）得：四边形为平行四边形，
又∵°，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的面积．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，，，，，，求出，，求出，利用勾股定理求出，最后求出面积即可．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，，，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，，
矩形的面积是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等，矩形的对角线相等且互相平分，题目比较典型，难度适中．
【基础题型十 菱形的性质与判定】
1．（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】D
【分析】根据菱形对角线互相平分得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线互相平分且菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，
根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，则可求得答案．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得四边形是菱形是解此题的关键．
3．（2023·四川成都·统考二模）如图，，是菱形的对角线，若，则菱形的面积为_______．
【答案】
【分析】设与交于点O，根据菱形的性质与勾股定理求出与，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出结果．
【详解】解：设与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∴，
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得：
菱形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求的值是解题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）如图，在矩形中，，，分别平分，，交，于点，．要使四边形为菱形，则的长为____．
【答案】/
【分析】先根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而证明，利用勾股定理得到，由菱形的性质得到，则．
【详解】解：∵在矩形中，平分，，
，
，
，
．
又，
．
要使四边形为菱形，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2023春·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，矩形的对角线、交于点O，．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）首先由，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形；
（2）求出，由菱形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵四边形 是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由（1）知，四边形为菱形，
∴四边形的周长为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
6．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，菱形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接．
(1)求证：；
(2)过点A作，交于点G，交于点F，若，试判断的形状，并加以证明.
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）只要证明垂直平分线段即可；
（2）利用等腰直角三角形的判定和性质，以及同角的余角相等，想办法证明即可.
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴；
（2）解：结论：是等腰三角形；
理由：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，解题的关键掌握菱形的性质．
【基础题型十一 正方形的性质与判定】
1．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，正方形的边长为，点F为对角线上一点，当时，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得，利用等角对等边即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
2．（2023·贵州遵义·统考二模）如图，正方形的边长为9，将正方形沿点G折叠，使顶点A恰好落在边上的点E处，折痕为，若，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由折叠的性质可知，，由正方形的边长为9，则，，设，则,由，可得到，由勾股定理得到列方程解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵正方形的边长为9，
∴，，
设，则,
∵，
∴，
由勾股定理得到，
，
解得，
即线段的长为4，
故选：B
【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
3．（2023春·山东济南·八年级山东省莱芜市陈毅中学校联考期中）如图，在正方形内作等边，连接，则的度数为 ________．
【答案】/15度
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得出，即可求出，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
4．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接，延长交于点F，若，则的度数是______．
【答案】/度
【分析】证明得到，利用周角的定义求出，进而根据三角形外角的性质求出，则由平角的定义即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键．
5．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于F．
(1)证明：；
(2)求的度数；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，得到，再由，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则，根据等边对等角推出，再由，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵在正方形中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，即．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如图，将一张矩形纸片的一端沿折叠，B点恰好落在上的F点．
(1)这样折出来的四边形是________；
(2)证明你在（1）中得到的结论．
【答案】(1)正方形
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，即可求解；
（2）根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，即可得证．
【详解】（1）这样折出来的四边形是正方形；
故答案为：正方形．
证明：矩形
折叠
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）证明：矩形
折叠
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【基础题型十二 函数的基础概念】
1．（2023·浙江绍兴·统考一模）王老师家，超市，公园自西向东依次在同一直线上，家到超市的距离，到公园的距离分别为200米，1000米．她从家出发匀速步行5分钟到达超市，停留3分钟后骑共享单车，以250米/分匀速行驶到公园．设王老师离超市的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min），则下列表示s和t之间函数关系的图像中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题干描述，可知超市到公园的距离为：米，王老师从超市到达公园所需时间为：（分钟），得到王老师从家出发时，离超市为200米，5分钟后到达超市，距离超市0米，停留3分钟，再经过分钟，离超市800米，进行判断即可．
【详解】解：由题意，可知： 能表示s和t之间函数关系的图像为：
故选C．
【点睛】本条考查用函数图像表示函数．从题干中有效的获取信息，读懂横纵坐标代表的含义，是解题的关键．
2．（2023春·六年级单元测试）某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ）
A．用电量每增加千瓦时，电费增加元
B．若用电量为千瓦时，则应缴电费元
C．若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时
D．若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时
【答案】D
【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可．
【详解】解：A、若用电量每增加千瓦时，则电费增加元，故本选项叙述正确，不符合题意；
B、若用电量为千瓦时，则应缴电费元，故本选项叙述正确，不符合题意；
C、若应缴电费为元，则用电量千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意；
D、若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦·时，故本选项叙述错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．
3．（2023春·八年级单元测试）本月我市95号汽油的平均价格是7.92元/升，小明爸爸用一张面额为1000元的加油卡付费，若加油x（升）后油卡上的余额为y（元），则y与x的函数关系式是______．
【答案】
【分析】根据余额=加油卡原有面额-加油所用的费用列函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：
y与x的函数解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题确定一次函数关系式，关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．
4．（2023·广东汕头·统考一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图像，以下说法：①乙比甲提前分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是______________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】观察函数图像可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图像上特殊点的意义进行解答．
【详解】解：①乙在分时到达，甲在分时到达，
所以乙比甲提前了分钟到达，
故①正确；
③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，
解得，
故③正确；
②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：，
故②正确．
所以正确的结论有三个：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．
5．（2023春·山东济南·七年级统考期中）甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距千米的地，他们行驶的路程与所用时间的关系如图所示，请根据图像回答下列问题：
(1)此变化过程中，________是自变量，________是因变量．
(2)甲乙两人________先出发，早出发________小时．
(3)求乙出发多长时间追上甲？
【答案】(1)时间，路程
(2)甲，
(3)小时
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可求解；
（2）根据函数图像即可解答；
（3）先根据函数图像分别求出甲、乙两人的骑行速度，再设乙出发小时追上甲，以此列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：此变化过程中，时间是自变量，路程是因变量，
故答案为：时间，路程；
（2）由图像可知，甲先出发，早出发小时；
故答案为：甲，；
（3）甲的骑行速度为(千米/时)，
乙的骑行速度为 (千米/时),
设乙出发小时追上甲，
根据题意得：，
解得：，
乙出发小时追上甲．
【点睛】本题主要考查函数的图像、一元一次方程的应用，解题关键是由图像得出正确的信息．
6．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
(1)写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
(2)当四边形的面积为25时，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据四边形的面积等腰长方形的面积减去三角形的面积列出关系式即可；
（2）把代入关系式求出，再求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴
∴四边形的面积y与的长x之间的关系式为：；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量的值，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积公式．
【基础题型十三 正比例函数的图象与性质】
1．（2023·陕西西安·校考三模）正比例函数的图象上有一点A到x轴的距离与到y轴的距离之比为，且y随x的增大而减小，则k的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】先根据增减性求出，再根据到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值列出方程求解即可．
【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∵函数图象上点A到x轴的距离与到y轴的距离之比为，
∴，即，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，点到坐标轴的距离，正确求出，并得出是解题的关键．
2．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是( )
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】分别求出直线和直线的比例系数k，即可求解．
【详解】解：将代入中得：，
解得，
当直线刚好过点B时，将代入中得：，
解得，
∴当直线与线段有交点时，k的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是________．
【答案】
【分析】根据正比例函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．
4．（2023·上海奉贤·统考二模）如果正比例函数（是常数，的图像经过点，那么的值随的增大而________．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】根据点的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出值，再利用正比例函数的性质即可得出结论．
【详解】∵正比例函数（是常数，）的图象经过点，
∴，
∴，
∴的值随的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及正比例函数的增减性与正比例函数的比例系数之间的关系是解题的关键 ．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)y的值为
【分析】（1）设，得到，待定系数法求出解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，
∴，
∴；
（2）把代入，得．
∴当时，y的值为．
【点睛】本题考查求函数解析式以及求函数值．熟练掌握正比例函数的定义，求出函数解析式，是解题的关键．
6．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期中）在同一时间、同一地点测得树高（m）和影长（m）的数据如下表：
(1)在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点；
(2)树高和影长成______比例关系（填“正”或“反”）；
(3)当树高11.5m时，影长是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)正
(3)当树高11.5m时，影长是9.2m.
【分析】（1）根据表格的对应数据描点，然后连线即可；
（2）根据树高和影长的比值一定可得答案；
（3）根据（2）的结论列比例计算即可．
【详解】（1）解：描点，连接直接这些点，如图所示：
形成的图象是一条直线；
（2）解：由树高和影长的比值一定，可得树高和影长成正比例关系．
故答案为：正；
（3）解：设当树高时，影长是米，
则，
解得，
答：当树高时，影长是9.2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握画函数图象的步骤与方法是解答本题的关键．
【基础题型十四 一次函数的图形与性质】
1．（2022秋·七年级单元测试）已知一次函数，下列说法不正确的是( )
A．图象与x轴的交点坐标是B．图象经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2
【答案】A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与x交点的坐标是，原说法错误，故该选项符合题意；
B、的图象中，故直线经过第一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、的图象中 ，有y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、由一次函数可知与坐标轴的交点坐标分别为和，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2．（2023春·湖南·八年级阶段练习）已知一次函数（k，b为常数，且，y随着x的增大而减小，且，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据y随着x的增大而减小，得到，再根据，得到，进而得到直线过二，三，四象限，进行判断即可．
【详解】解：∵y随着x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图像过二，三，四象限，
故符合题意的只有B选项；
故选B．
【点睛】本题考查判断一次函数的图像．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）已知若、是一次函数图象上的两个点，那么________．（用“”、“”或“”填空）
【答案】
【分析】根据一次函数图像性质求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为，
∴，
∴y随x增大而减小，
∵、，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，熟记知识点是解题关键．
4．（2023·河南安阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为______．
【答案】
【分析】先得到平移后的函数表达式，再代入，解方程即可得到答案．
【详解】解：将向下平移3个单位得到，把代入得到
，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的平移和求自变量的的值，熟练掌握平移规律是解题的关键．
5．（2022春·八年级单元测试）已知关于的一次函数．
(1)为何值时，直线交轴于正半轴？
(2)为何值时，直线交轴于负半轴？
(3)为何值时，直线经过原点？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直线交轴于正半轴，可得，解不等式即可；
（2）由直线交轴于负半轴，可得，解不等式即可；
（3）把原点坐标代入函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴直线交轴于点，
∴当，即时，直线交轴于正半轴；
（2）解：由（1）知：直线交轴于点，
∴当，即时，直线交轴于负半轴；
（3）解：当直线经过原点时，
可得，
解得：．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，属于基础题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
6．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知点，．
(1)求的面积．
(2)求直线所对应的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，过点作轴于点，可得，，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）利用待定系数法即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
∵点，，
∴，，
在，，
∴，
∴的面积为．
（2）由（1）知：，
∴，
∵点，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线所对应的函数解析式为．
【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积．掌握待定系数法确定一次函数的解析式、勾股定理是解题的关键．
【基础题型十五 一次函数与方程、不等式】
1．（2022秋·七年级单元测试）已知直线和直线相交于点，则方程的解是( )
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程的解．
【详解】解：∵直线和直线相交于点，
∴的解是，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）一次函数与的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：方程的解是；
乙说：当时，．
其中正确的结论有（ ）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲乙都正确D．甲乙都错误
【答案】A
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系对甲进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对乙进行判断．
【详解】解： ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程的解是，所以甲正确；
当时，，所以乙错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．（2022春·七年级单元测试）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是_________________．
【答案】
【分析】利用待定系数法分别求出解析式即可得到答案．
【详解】解：设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴；
设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴，
∴他解的这个方程组是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】利用图象法，确定不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线的上方，
∴关于的不等式的解集是；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．熟练掌握图象法求不等式的解集，是解题的关键．
5．（2023春·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，过点的直线：与直线：相交于点．
(1)求的值；
(2)求直线的解析式；
(3)直接写出的解．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，
再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式；
根据图象即可求得．
【详解】（1）点在直线：上，
；
的坐标为，
（2）直线：过点，
，
解得．
直线的解析式为：．
（3）∵与的交点是．
方程组的解为．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1)求的面积；
(2)利用函数图象直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的取值范围为
【分析】（1）先求出，再求出点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据图象，写出在图象上方时的自变量的取值范围即可求解．
【详解】（1）∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为.
当时，，
∴，
∴.
（2）解：∵交于点点，
根据函数图象可得当时，
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，以及利用图象求不等式的解集，数形结合是解答本题的关键．
【基础题型十六 一次函数的应用】
1．（2023春·四川泸州·九年级统考期中）“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( )
A．2小时B．小时C．小时D．小时
【答案】C
【分析】根据待定系数法，可得段的解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
【详解】解：设段的函数解析式是，
∵的图象过，
，
解得，
∴段的函数解析式是，
离目的地还有20千米时，即，
当时，，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
2．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）武汉市推出上网课包月制，每月收取上网课费用y（单位：元）与上网时间x（单位：小时）的函数关系如图所示．若小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为( )
A．32小时B．35小时C．36小时D．38小时
【答案】C
【分析】由图象可求出直线的解析式为，再根据小明三月份在家上网课的费用为78元>60元，即可将代入，求出x的值，即为他三月份在家上网课的时间．
【详解】由图可知，．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵小明三月份在家上网课的费用为78元>60元，
∴将代入，得：，
解得：，
∴他三月份在家上网课的时间为36小时．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．由题意结合图象正确求出直线的解析式是解题关键．
3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图1．在四边形中，，动点P从点B出发，沿的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x的函数图像2所示，那么四边形的面积为_____．
【答案】18
【分析】根据题意，分析P的运动路线，分阶段分别进行讨论，可得的值，再由梯形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，当P在上时，
，
此时y随x的增大而增大，
结合图2得：当时，点P与点C重合，
∴；
当P在上时，，
此时y保持不变，
结合图2得：当时，点P与点D重合，
∴；
∴四边形的面积为．
故答案为：18
【点睛】此题主要考查矩形的动点问题，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解．
4．（2023·山东聊城·统考二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要__________小时．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出乙离开A城的距离y与x的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设乙离开A城的距离y与x的关系式为：，
把和代入解析式，得，
解得：，
所以乙离开A城的距离y与x的关系式为：；
当乙追上甲车时，，
解得：，
（小时），
答：乙出发后小时追上甲车．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
5．（2023·广西贵港·统考二模）敬老爱老是我们中华民族的优良传统，甲、乙两位同学周末相约到敬老院看望孤寡老人．已知甲同学家在地，乙同学家在地，敬老院在地．甲、乙两位同学分别从家里出发沿同一条路前往敬老院，他们离地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)，两地的路程为 ．
(2)求乙同学离地的路程关于时间的函数表达式．
(3)甲、乙两位同学相遇时，离敬老院的路程还有多远？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图象直接可得答案；
（2）待定系数法求解析式即可求解；
（3）求得甲同学离地的路程关于时间的函数表达式，联立乙的表达式，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，两地的路程为，
故答案为：．
（2）解：当时，，当时，；
设乙同学离地的路程关于时间的函数表达式为，
，解得：，
∴；
（3）解：设甲同学地的路程关于时间的函数表达式为，将点代入得，
，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴．
即甲、乙两位同学相遇时，离敬老院的路程还有．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
6．（2023·云南·统考二模）为推进我省“绿美家园”建设步伐，某小区决定对小区广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与1棵乙景观树种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树种植费用为390元．
(1)甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为多少元？
(2)如果小区计划购进两种景观树共60棵，且甲景观树数量不低于乙景观树数量的一半，设购进甲景观树x棵，种植总费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并求出最少种植费用．
【答案】(1)甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为150元，120元
(2)，当甲景观树种植数量为20棵时，种植费用最少，最少种植费用为7800元
【分析】（1）设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为m元，n元，根据“3棵甲景观树与1棵乙景观树种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树种植费用为390元”，列出方程组，即可求解；
（2）先求出x的取值范围，再列出y关于x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为m元，n元．
根据题意，得，
解得：．
答：甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为150元，120元．
（2）解：由题意，得，
解得．
由题意得，
y关于x的函数关系式为，
整理得：．
∵，
∴y随x的增大而增大．
∴当甲景观树种植数量为20棵时，种植费用最少，最少种植费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【基础题型十七 数据集中趋势】
1．（2023·贵州遵义·统考二模）现有一组数据：1，4，3，2，5，x．若该组数据的众数是3，则该组数据的中位数为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据众数的定义求得x，再将所有数据从小到大排序，即可求得中位数．
【详解】解：∵该组数据的众数是3，
∴，
将所有数据从小到大排序：1，2，3，3，4，5，
则中位数为，
故选：C．
【点睛】本题考查众数和中位数，理解众数和中位数的概念和求解方法是解答的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按：：计入综合评价，若宸宸学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据加权平均数的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，他的综合评价得分为（分），
故选：C．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
3．（2022秋·八年级单元测试）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位）
【答案】
【分析】根据直方图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查频数分布直方图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2022春·八年级单元测试）某校举行国庆文艺节目演出，由参加演出的个班各派一名同学担任评委，下面是各评委给八年级班一个节目的评分如下：
（1）如果每个节目的得分取各个评委所给分的平均分，那么该节目的得分为________分；
（2）如果先去掉其中一个最高分和一个最低分，再取余下评委所给分的平均数，那么该节目的得分为________分；
（3）两种评分相差________分，________[填写序号（1）或（2）]计算该节目的得分数的方法比较合理．
【答案】 （2）
【分析】（1）用所有评委的评分和除以10即可；
（2）去掉一个最高分和一个最低分后用余下评分除以8即可；
（3）求出两个平均数的差，（2）计算该节目的得分数的方法比较合理．
【详解】解：（1）该节目的得分为：
（分）；
（2）该节目的得分得分为：
（分）；
（3）（分），（2）的方法较为合理，
因为评委的评分常带有主观性，因此去掉一个最高和最低分，能够使评分更具公平性．
故答案为：；；，（2）．
【点睛】本题考查的是平均数的定义．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
5．（2023·陕西咸阳·统考二模）李叔叔种植了棵新品种的樱桃树，现已挂果，到了成熟期随机选取部分樱桃树作为样本，对所选取的每棵树上的樱桃产量进行统计．将得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)请将条形统计图和扇形统计图补充完整；
(2)所抽取的樱桃树产量的中位数是______，众数是______；
(3)经了解，这种樱桃的售价为元/，请估计卖完这棵樱桃树上的樱桃一共可收入多少元？
【答案】(1)补充图见解析，样本容量为，的棵数为，百分比
(2)，
(3)
【分析】（1）用的棵数除以，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的棵数，可得的棵数，进而补全条形统计图和扇形统计图；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）用样本估计出每棵樱桃树平均产量，进而估计出棵樱桃树的产量，再根据“总价单价数量”可得答案．
【详解】（1）解：由题意可知．样本容量为：，
的棵数为：，
的棵数所占百分比为：，
补全条形统计图和扇形统计图如图：
（2）解：所抽取的樱桃树产量的中位数是：，
众数是．
故答案为：；
（3）解：所抽取的樱桃树平均产量为，
估计卖完这棵樱桃树上的樱桃一共可收入：（元）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求众数与中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6．（2023·江西上饶·统考一模）为创建文明校园，树立新风，某校开展了以“学习党史，团结力量”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【答案】(1)150，15
(2)见解析
(3)C
(4)920
【分析】对于（1），根据B等级的人数和所占的百分比求出样本的总人数，再用总人数A等级所占的百分比求出m；
对于（2），求出C等级的人数补全统计图即可；
对于（3），根据中位数的定义判断即可；
对于（4），先求出优秀所占的百分比，再与总数相乘即可．
【详解】（1）本次调查一共抽取了（名）；（人）；
故答案为：150，15；
（2）C等级的人数为（人）；
补全统计图如图所示．
（3）一共有150人，中位数是第75，76个数的平均数，所以中位数落在C等级；
故答案为：C；
（4）（人）．
所以成绩优秀的学生有920人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图（表），扇形统计图，中位数，样本估计总体的思想等，弄清频数分布直方图和扇形统计图之间的关系是解题的关键．
【基础题型十八 数据的离散程度】
1．（2023·山东威海·统考一模）小亮要计算一组数据82，80，83，76，89，79的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据2，0，3，，9，，记这组新数据的方差为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
2．（2022春·七年级单元测试）数据，，，，，的平均数和标准差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平均数的定义以及标准差的定义即可求解．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．标准差：方差的算术平方根叫做标准差．
【详解】解：数据，，，，，的平均数为，
，
∴标准差为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求平均数和标准差，熟练掌握平均数和标准差的定义是解题的关键．
3．（2022春·七年级单元测试）已知一组数，，，，的平均数为，那么这一组数的标准差为________．
【答案】
【分析】先由平均数的公式求出a的值，再求出方差，由此得到标准差．
【详解】解：∵数，，，，的平均数为，
∴，
解得，
∴这组数据为2，4，5，1，3，
∴方差为，
∴数据的标准差为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用平均数求数据中的未知数，计算方差和标准差，正确掌握各计算公式是解题的关键．
4．（2022春·七年级单元测试）甲、乙两人进行投篮比赛，共进行了五次，每次每人投个球．比赛结果投进个数分别为甲：，，，，；乙：，，，，．计算并将结果填入下表：________，________，________，________，________，________．
【答案】
【分析】根据极差，方差，标准差的定义进行计算即可．极差是最大的数减最小的数；方差，标准差是方差的算术平方根．
【详解】解：甲组：平均数为
极差为；
方差为 ；
标准差为．
乙组：平均数为
极差为9-3=6；
方差为
标准差为．
故答案为： ，，；，，．
【点睛】本题考查了极差，方差和标准差的计算．掌握极差，方差和标准差的计算方法是解题的关键．
5．（2022春·七年级单元测试）为了从小明和小刚两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，次打靶命中的环数如下：
小明：，，，，；
小刚：，，，，．
(1)填写下表：
(2)根据以上信息，若教练选择小明参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)若小刚再射击次，分别命中环、环，则小刚这次射击成绩的方差________．（填“变大”、“不变”或“变小”）
【答案】(1)8，8
(2)见详解
(3)变小
【分析】（1）根据中位数和平均数的求解方法求解即可；
（2）根据方差的意义进行解答即可；
（3）求出这次射击成绩的方差，再进行比较即可作答．
【详解】（1）从小打大排列，小明的成绩：， ，，，，
则小明成绩的中位数为8；
，
故答案为：8，8；
（2）∵，，且，
∴小明的成绩比小刚的成绩更加稳定，
∴选择小明参赛；
（3），
即，
∵，
∴小刚这次射击成绩的方差变小．
【点睛】本题考查了平均数、中位数和方差，掌握方差的求解方法及其实际含义，是解答本题的关键．
6．（2023春·八年级单元测试）一次学情检测中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在A、B两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
【答案】(1)4
(2)A同学
【分析】（1）根据方差的定义得出五位同学英语成绩的方差即可；
（2）分别求得A，B同学的得分，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：英语成绩的方差为：
；
答：这五位同学在本次考试中英语成绩的方差为4；
（2）A同学的总得分为，
B同学的总得分为，
因为A同学的总得分高，
所以是A同学能够被“达人”社团录取．
【点睛】本题考查的是加权平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
用电量（千瓦时）
…
应缴电费（元）
…
树高（m）
2
3
4
6
9
…
影长（m）
1.6
2.4
3.2
4.8
7.2
…
评委编号





评分





评委编号





评分





等级
成绩
A
B
C
D
E
极差
方差
标准差
甲
乙
极差
方差
标准差
甲
乙
平均数
中位数
方差
小明
________
小刚
________
A
B
C
D
E
平均分
方差
数学
71
68
72
69
70
70
2
英语
85
88
82
84
86
85