北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件复习练习题

这是一份北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件复习练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是 ．
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B． C．D．
3．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，下列条件中不能说明的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．（13-14九年级上·全国·课后作业）如图，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，、分别在、上，单独添加下列条件，不能使∽的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是( )
A．B．
C．D．
10．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠AB．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CBD．＝
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
12．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则 ．
13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ．
14．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．

15．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．

16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知，请添加一个条件 （只需填写一个即可），使得．
17．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ．
18．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，能判定的有 ．
①；②；③；④．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，，，，求证：．

20．（8分）（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)求证：．
21．（10分）（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．
(1)求的值；
(2)求证：．
22．（10分）（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
23．（12分）（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
24．（2020九年级下·江苏连云港·学业考试）如图，在中，，，、为线段上两动点，且，过点、分别作、的垂线相交于点，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）试探究、、之间有何数量关系？说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似．
B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：A．
2．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵，，
∴．故A正确；
∵，，
∴．故B正确；
∵，，
∴．故D正确；
没有条件可证，故C错误．
故选：C
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：A、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、与不一定相等，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
C、，且，能判定两个三角形相似，故本选项不符合题意；
D、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：B
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故A不符合题意；
由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故B不符合题意；
由条件，结合，可以由两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似证明，故C不符合题意；
由条件，结合，不可以证明，故D符合题意；
故选D．
5．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，∴，不符合题意；
B、∵，，∴，不符合题意；
C、，，不能得出，符合题意；
D、∵，，∴，不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可得，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
，
A．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意；
B．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意；
C．添加后，不能判定，符合题意；
D．添加后，可用两边及其夹角法判定，不合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【详解】解：A、∵，，
∴，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，故B不符合题意；
C、由，不能判断和相似，符合题意；
D、∵，
∴，
又∵，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
8．D
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可．
【详解】
解：、，，
∽，
故A选项不符合题意；
B、，，
∽，
故B选项不符合题意；
C、，，
∽，
故C选项不符合题意；
D、，，
不能判定∽，
故D选项符合题意；
故选：．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出的度数是，进而根据，证明，即可求解．
【详解】如图，在等边中，，，
在与中，
，
；故B选项正确
，
，
即的度数是，故C选项正确，
，
，故D选项正确，
无法判断，故A选项错误
故选：A．
10．D
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意；
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意；
∵CE•CD＝CA•CB，
∴．
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意；
由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意.
故选：D．
【点拨】本题考查判断三角形相似，直角三角形的性质．掌握判定三角形相似的条件是解题关键．
11．（答案不唯一）
【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可．
【详解】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．或
【分析】当∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似.
【详解】∵∠BAC=90°，PD∥AB，
∴∠PDA=90°，
又∵∠C=60°，
∴∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似，
∴∠APD=30°或60°.
【点拨】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似.
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，，则；
若，，则；
若，，则无法证明；
从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种，
能判断的概率为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
15．70
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案．
【详解】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
16．或或（其中任何一个条件即可）
【分析】本题考查了相似三角形的判定．先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
即，
所以，添加的条件为或或．
∴
故答案为：或或．
17．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性质。
由于与都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当时能得到，即可得到．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∴与都是直角三角形，
∴当时能得到，
∵E是的中点，
∴，
∵在正方形中，，
∴，即，
∴，即．
故答案为：
18．①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似，
熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得：，
，
，
①∵，
∴，
∴，
故①能判定；
②∵，
∴，
∴，
故②能判定；
③∵，
∴，
即两组对应边的比相等且相应的夹角相等，
∴，
故③能判定；
④，
对应边成比例但无法得到其夹角相等，
故④不能判定；
故答案为：①②③．
19．证明见详解；
【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明；
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证；
（2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）把代入即可求解；
（）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵在直线上，
∴，
解得：；
（2）由（）得，
∴所在直线的方程为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
又，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论；
（2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
24．（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）由已知得出∠A=∠5=45°，再证得∠7=∠ACE，即可得出△ACE∽△BFC；
（2）将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，由旋转的性质得出CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，证得∠DCE=∠2，由SAS可证△ECF≌△ECD，得出EF=DE，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
将顺时针旋转至，如图所示：
则，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点拨】本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度．