北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明同步练习题

这是一份北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明同步练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2024·河南信阳·模拟预测）如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．2
4．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，平分，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，分别交，于点D，E，连接，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
7．（2024·河北唐山·二模）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠，使点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A．B．1C．2D．3
8．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
10．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
12．（2024·北京·三模）如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于 ．
13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为的三等分点，且，连接，为的中点，连接并延长，与交于点，若，则线段的长是 ．
14．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
15．（17-18九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
16．（2024·吉林长春·二模）如图，在中，，连接，交于点，则的长为 ．

17．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ．
18．（21-22九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，中，，，D为边上一点，．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
20．（8分）（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
21．（10分）（21-22九年级上·辽宁丹东·期中）如图，AF，AG分别是和的高，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
22．（10分）如图，，分别是与边上的高．
求证：．
23．（10分）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：．
24．（12分）（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
参考答案：
1．B
【分析】设，则，，结合，得到，列式，结合，解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选B．
2．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．
根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
3．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了相似的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线判定相似是解题的关键．先利用角平分线和平行模型判定，再判定，利用对应边比相等计算即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．
先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
，
，
∴
，
∴，
，
，
∴，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及相似三角形的判定以及性质，根据由作图可知∶垂直平分，可得出，，进一步证明，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即
【详解】解：由作图可知∶垂直平分，
∴，
∵，
即，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可．
【详解】解：沿折叠，使点A落在点处，
，，
又∵，
∴，
∴，
，
又为的中点，，
∴，
，
即，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明以及平行线分线段成比例可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故只有C选项不正确
故选：C．
9．C
【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示．
，是的平分线，
，
．
是中点，，
∴
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点M作于D，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．12
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
12．2
【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，根据点为的中点，得出，根据平行四边形性质，得出，，可证，利用相似三角形性质得出，根据等高三角形面积比得出即可．
【详解】解：点为的中点，
，
在平行四边形中，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键．过点作，交于，可推出，结合为的中点可得，即，然后易证，结合为的三等分点可得，从而得到，最后利用，得到即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作，交于，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
为的三等分点，且，
，
，
，
，
，
，
，，
，即．
故答案为：3．
14．2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：3
17．
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．
18．
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
设CD＝2a，则CG＝a，
CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝；
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．
19．(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
（1）根据对应边成比例且夹角相等判定相似；
（2）利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴
∴，
∵，
∴．
20．1.5
【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长．
【详解】解：∵AD与BC交于O点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；
（2）由相似三角形的性质可得到答案．
【详解】（1），分别是和的高，
，，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
23．见解析
【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出．
【详解】证明：∵ABCD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵ADBC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型．
24．(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点拨】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．