初中数学北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明同步达标检测题

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第一部分【知识点归纳】
【模型一】“一线三垂直”模型
【模型二】“一线三等角”模型
一线三等角模型：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧，若有第三个与之相等的角，其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形.如下图.
一线三等角模型的拓展：如下图，点P在线段AB上，连接CD,若点P是线段AB中点或CD//AB,则△ACP~△BPD~△PCD(反之亦成立).
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】“一线三垂直”模型
【例1】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，四边形是矩形，，，点在第四象限．
（1）求的长；（2）求点的坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，
过点作轴，垂足为，即可求得，结合矩形的性质得，利用勾股定理即可；
过点作轴，垂足为，利用矩形的性质可证明，则有，即可求得和．
（1）解：过点作轴，垂足为，如图，
在中，，
，
，
，
，
∵，
∴在中，；
（2）过点作轴，垂足为，如图，
矩形中，，
，
又，
．
，
，
，
，，
．
【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可．
解：过F作于G，交于H，
，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【变式2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．

【答案】1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
解:设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
【点拨】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
【题型2】等边三角形中的“一线三等角”模型
【例2】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，是等边三角形，点分别在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．]
【答案】(1)见解析 (2)的长为3或6
【分析】此题考查的是相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，从而证出，根据相似三角形的判定定理即可证出结论；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出的长，即可得出结论．
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
即的长为3或6．
【变式1】（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，，则的长等于（ ）

A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，外角的性质，推出，列出比例式进行求解即可．
解：∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
故选B．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．
【变式2】（2024·安徽宿州·二模）已知，是等边三角形，点D，E分别是，上的点，将沿着折叠得到，点F落在边上．

图1 图2
（1）如图1，当时， °；
（2）如图2，当，时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质：
（1）根据等边三角形的性质，三角形的内角和以及折痕为角平分线，进行求解即可；
（2）设，得到，证明，求出，根据，列出方程进行求解即可．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴；
故答案为：；
（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，经检验是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【题型3】等腰三角形中的“一线三等角”模型
【例3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为．
（1）求证：；
（2）当时，求x的值；
（3）当x为何值时，为等腰三角形？
【答案】(1)见解析; (2)，; (3)或
【分析】（1）根据等边对等角得，利用三角形外角和的性质得即有相似成立；
（2）利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等，列方程即可求得答案；
（3）分类讨论等腰三角形腰和底的情形，结合相似三角形的性质解出x的值．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，；
（3）①，
∵，
∴，
∴，即；
②，则有，
∵，与矛盾，
∴此种情况不成立；
③，则有，
∴，
∴，
则，解得，
即当或时，为等腰三角形．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，以及分类讨论思想，熟练掌握利用三角形相似的性质是解题的关键．
【变式1】将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点在边上，绕点旋转，腰和底边分别交的两腰于两点，若，，，则的最小值为( )

A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
解：∵AB=6，AD:AB=1:3，
∴AD=6×=2，BD=6−2=4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠FDE，
由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，
∴∠AMD=∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴，
∴MA⋅DN=BD⋅MD=4MD，
∴MD+ =MD+
=()2+()2−2+2=(−)2+2，
∴当=,即MD=1时有最小值为2.
故答案为C.
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、旋转的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、旋转的性质和相似三角形的判定与性质.
【变式2】如图，在等腰直角三角形中，，，直角三角板（含角）的顶点在边上移一动（点不与，重合），直角三角板的这一条直角边始终经过点，斜边与边交于点．当为等腰三角形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】先证明△BAP∽△CPQ，得到，然后分当BP=AP=2时，当BP=AP时，两种情况分类讨论求解即可．
解：如图1所示，
由题意得：∠APQ=45°，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴△BAP∽△CPQ，
∴，即，
如图2所示，当BP=AB=2时，
∴，
∴；

如图3所示，当BP=AP时，
∴∠B=∠BAP=45°，
∴∠APB=90°，
∴，
∴，
∴；
∴综上所述，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为1或．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意证明△BAP∽△CPQ，得到．
【题型4】矩形中的“一线三等角”模型
【例4】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F．
①求证：．
②若，，E为的中点，求的长．
（2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？

【答案】（1）①见解析；②;（2）或
【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键．
（1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解；
（1）①证明：由题意得：
∴
∴
∴
②解：∵，
∴
∵E为的中点，
∴
∴
∴
（2）解：∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∵为等腰三角形且
∴若，则；
若，则，
∴；
综上所述：或
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质可得，进而可得，设，则，利用勾股定理可得，进而可求解．
解：根据等角的余角相等，得：，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，得：，
解得：，
则矩形的周长为：，
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ．

【答案】4或
【分析】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的综合运用．设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论．
解：设，则，
如图所示，过作于，则，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，即，
，
由折叠可得，，，，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
中，，
，
解得或，
或．
故答案为：4或．
【题型5】正方形中的“一线三等角”模型
【例6】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点P是正方形边上一点（不与点A，B重合），连接并将线段绕点P顺时针方向旋转得到线段，交边于点F，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）当点P是的中点且，则的长为 ．
【答案】(1)见解析； (2)；(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，根据，可得，即可证明；
（2）根据正方形的性质和证明，可得，进而证明，即可求解；
（3）过点E作交的延长线于点Q，根据条件证明，即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作交的延长线于点Q，则，

∴
又∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点E作交的延长线于点Q，
∵点P是的中点且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，是一道相似形综合题．正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，若，则正方形的边长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质．根据正方形的性质可得，，由，可设，，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解．
解：四边形是正方形，
，，
，
设，，则，
，，
，，
，
由，
，
，即
，
，，
，
，即，
解得：，
，
故选：B．
【变式2】（2024·黑龙江绥化·三模）如图，正方形的边长为10，点G在边上，，E是边上一动点，连接，过点E作交直线于点F，则线段长度的最大值为 ．

【答案】//
【分析】根据题意，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案．
解：在正方形中，，边长为10，设的长为，则，
，
，即，
，
，
，
，
，，
∴，
，
∴，
，
在时有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
【例2】（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
（1）求证：．
（2）若为中点，且，求长．
（3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．

【答案】(1)见详解 (2) (3)
【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明；
（2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以；
（3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答．
（1）解：如图：

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图：

∵四边形是矩形，
∴，，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）解：如图：延长交于一点M，连接
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴直线
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵为中点，
∴设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点拨】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点拨】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【例2】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．
（1）___________；当时，求的值；
（2）试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）当是等腰三角形时，请求出的值．

【答案】(1)4， (2)是， (3)或4
【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；
（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；
（3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解．
（1）解：作于交于．

四边形是矩形，
，，，
．
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为4，．
（2）结论：的值为定值．
理由：由，可得．，，，
，
；
（3）连接交于．
，所以只能，
，
，
，
，
垂直平分线段，
在中，，
，
，
，
．
综上所述，的值为．
【点拨】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．