苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题2.17锐角三角函数与实际问题大题专练(培优强化30题)特训(原卷版+解析)

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2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.17锐角三角函数与实际问题大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·江苏淮安·一模）如图1是武威某动车站出口处的自动扶梯，图2是其简化示意图．自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面D处测得扶梯顶端A的仰角为62°，点B到点D的距离为6m，求自动扶梯距离地面的高度AC（精确到0.1m）．【参考数据：sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin62°≈0.88, cos62°≈0.47,tan62°≈1.88】2．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）(2)求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，3≈1.73）3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年10月13日将是第26个国际减灾日，主题是“掌握防灾减灾知识，保护生命安全”，各有关部门要切实加强防灾减灾宣传教育，大力推广和普及科普知识和自救互救技能，逐步提升全民防灾减灾意识．云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处此时云梯臂AC长为40米，它与水平面的夹角为68°，转动点A距地面的高度AB为3.8米．已知该小区高层住宅楼的层高是2.8米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）4．（2022·江苏·东海实验中学三模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．(1)用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；(2)一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．（参考数据：tan53°≈43，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）5．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，小明想测量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE⊥AE，______，求AB的长．给出下列条件：①DE=10m；②EC=103m：③AE=203m；请在3个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题．6．（2022·江苏泰州·一模）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求建筑物AB的高度和广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）7．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．(1)如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道（包括助滑区DE和着陆坡EF）及看台区GF三部分构成（AC、GF均与水平面平行），其中BD⊥AC于点B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长（结果精确到1m，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.80）．9．（2022·江苏连云港·二模）某广播电视塔由塔下、塔房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在M处用无人机在距地面120米的B处测得电视塔最高点A的仰角为22°，然后沿MN方向前进30米到达N处，用无人机在距地面80米的C处测得点A的仰角为45°，求ON的距离和电视塔OA的高度，（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，玫瑰家园小区有甲、乙两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶B处观测乙居民楼楼底D处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：2=1.414，3=1.732，结果精确到0.1m）11．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）12．（2020·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60 ，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）13．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．(1)求∠C的度数；(2)求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．14．（2022·江苏南京·模拟预测）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．(参考数据：tan31°≈35，sin31°≈12)15．（2021·江苏·九年级专题练习）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到公路AC的距离．（参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247）16．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为163nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？17．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向(15+153)km处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30kmh，哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．18．（2022·江苏·星海实验中学九年级阶段练习）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为i=5:12 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为35°，然后小李沿斜坡AC走了241米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：cos35°≈45， tan35°≈710，cos18°≈910，tan18°≈13）19．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，学校数学兴趣小组组织测量一山坡上电线杆PQ的高度，队员们在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，随后沿直线走了6m到达B点处，测得杆顶端点P的仰角是60°，B处到电线杆底端Q的坡度i=1：1.5，求电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）备用数据：3≈1.7．20．（2022·江苏常州·二模）为践行绿水青山就是金山银山的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现一棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26m，在距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角∠AED=60°，求古树CD的高度为多少米？（古树CD与山坡AB的割面、点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直）21．（2022·江苏南京·一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离． (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．)22．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．(1)求AE的长（结果取整数）；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.4523．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．(1)求斜坡CD的高；(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）24．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）25．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB∥MQ，OA段与竖直方向夹角为30°．已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，OM=120cm，OA=120cm，AB=150cm．(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？（本小题中3 取1.73）26．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．27．（2022·山东青岛·九年级期中）如图，二小球从斜坡A点处抛出，正好穿过B点的篮筐，落在斜坡底部的O点，以O为坐标原点建立直角坐标系，B的坐标为12,78，斜坡的坡比为1:2，A点距地面的高度为1.5米，球的抛出路线可以用二次函数刻画．(1)求二次函数的表达式；(2)求小球到达的最高点的坐标．28．（2022·山东潍坊·九年级期中）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m，现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°．(1)求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．(2)若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）29．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(请将下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)恰为45°，则此时平台DE的长为______米；(2)坡前有一建筑物GH，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物GH高为多少米？30．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）综合与实践小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高度角（即正午太阳光线与地平面的夹角）为75° ，冬至日的正午太阳高度角为29.5° ，小明家的玻璃窗户(AB) 高为190cm ，在A点上方20cm 的C处安装与墙垂直的宽为CD的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩（CD可变化）；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬CD宽度的范围．（结果精确到0.1，参考数据：sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73，sin29.5°=0.49，cos29.5°=0.87，tan29.5°=0.57）x01234…y04.51428.548…三角函数锐角A13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.622022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.19锐角三角函数与实际问题大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·江苏淮安·一模）如图1是武威某动车站出口处的自动扶梯，图2是其简化示意图．自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面D处测得扶梯顶端A的仰角为62°，点B到点D的距离为6m，求自动扶梯距离地面的高度AC（精确到0.1m）．【参考数据：sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin62°≈0.88, cos62°≈0.47,tan62°≈1.88】【答案】自动扶梯的垂直高度AC约为5.3m【分析】根据三角形的外角定义可得AD＝DB，然后利用锐角三角函数求线段长即可．【详解】解：∵∠ADC是△ADB的外角，∴∠ADC=∠ABC+∠DAB，∵∠ADC=62°,∠ABC=31°，∴∠DAB=31°，∴AD=DB=6m，在Rt△ACD中，∠ADC=62°，∴sin∠ADC=sin62°=ACAD=AC6，∴AC=6×sin62°≈6×0.88=5.28≈5.3，答：自动扶梯的垂直高度AC约为5.3m．【点睛】本题考查了三角函数求线段长问题，涉及到解直角三角形、仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．2．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）(2)求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，3≈1.73）【答案】(1)403米(2)99米【分析】(1)在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义即可解答；(2)在Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义先求出BM，然后再加上AM即可求得．（1）解：在Rt△AMC中，CM＝120米，∠ACM＝30°，∠AMC＝∠BMC＝90°，∴AM=CM⋅tan∠ACM=120×33=403（米）， 答：大桥主架在桥面以上的高度AM为403米；（2）解：在Rt△BMC中，CM＝120米，∠BCM＝14°，tan14°≈0.25，∴MB＝CM⋅tan∠BCM≈120×0.25＝30(米)，∴AB＝AM+MB＝403+30≈99（米）答：大桥主架在水面以上的高度AB约为99米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年10月13日将是第26个国际减灾日，主题是“掌握防灾减灾知识，保护生命安全”，各有关部门要切实加强防灾减灾宣传教育，大力推广和普及科普知识和自救互救技能，逐步提升全民防灾减灾意识．云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处此时云梯臂AC长为40米，它与水平面的夹角为68°，转动点A距地面的高度AB为3.8米．已知该小区高层住宅楼的层高是2.8米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【答案】家住15楼的求救者能被顺利施救，理由见解析【分析】过点A作AD⊥CE于点D，易得出四边形ADEB是矩形，即可得出DE=AB=3.8米．在Rt△ACD中，利用正弦可求出CD=AC·sin68°≈37.2米，从而可求出CE的长，再比较即可得出答案．【详解】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图， 则∠ADE=90°，又由题意可知∠ABE=∠BED=90°，∴四边形ADEB是矩形，∴DE=AB=3.8米．在Rt△ACD中，∵AC=40米，∠CAD=68°，∴CD=AC·sin68°≈40×0.93=37.2米，∴CE=CD+DE=37.2+3.8=41米．∵2.8×(15−1)=39.2500，∴经过点B到达点D较近．【点睛】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．12．（2020·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60 ，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，分别求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．【详解】解答：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sinB=AHAB ，cosB=BHAB ，∴AH=AB⋅sinB=20×sin37°≈12 ，BH=AB⋅cosB=20×cos37°≈16 ，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=AHCH ，∴CH=AHtan∠ACH=12tan67°≈5 ，∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．(1)求∠C的度数；(2)求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．【答案】(1)30°(2)202【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）过点B作BD⊥AC与点D，根据已知可求得BD的长，再根据三角函数即可求得BC的长．（1）解：由题意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°．（2）解：作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△ABD中，AB=40×3060=20，∠BAC＝45°，∴BD=AB·sin∠BAD=20⋅sin45°=20×22=102，在Rt△CBD中，∠C＝30°，∴BC=2BD=202．即B处船与小岛C的距离为202海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．14．（2022·江苏南京·模拟预测）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．(参考数据：tan31°≈35，sin31°≈12)【答案】30m【分析】过点C作CD⊥AB于D．构造直角三角形，设CD=xm，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB于D，设CD=xm，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD=xm．∵在Rt△ACD中，∠DAC=90°−59°=31°，AD=AB+BD=20+xm，CD=xm，∴tan∠DAC=CDAD，即x20+x=35，解得x=30．经检验：符合题意答：这条河的宽度约为30m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．15．（2021·江苏·九年级专题练习）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到公路AC的距离．（参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247）【答案】360米【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM＝x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝OMtan∠OBM=724x，由题意得，840﹣x+724x＝500，解得，x＝480，∴ON＝840﹣480＝360（m），即点O到公路AC的距离360米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为163nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？【答案】有危险，60度【分析】过点P作PB⊥AE，垂足为B，求出PB的长和163比较即可，作以点P为圆心，163nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，利用特殊角的三角函数值可求．【详解】解：过点P作PB⊥AE，垂足为B，由题意得：∠PAB＝30°，在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，∴PB＝12AP＝16，     ∵16＜163，∴轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险． 作以点P为圆心，163nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，∵AQ切⊙P于点Q∴∠AQP＝90°∵PQ＝163，AP＝32∴sin∠PAQ＝PQAP=16332=32∴∠PAQ＝60°                     ∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°∴轮船自A处开始沿南偏东至多60度方向航行才能安全通过这一海域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题关键是作出恰当辅助线，利用三角函数知识进行计算推理．17．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向(15+153)km处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30kmh，哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【答案】第二组先到达目的地，理由见解析【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D． 依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝BDAD，∴33=xAD，∴AD＝3x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝BDBC=22，∴BC＝2x，∵CD+AD＝30+303，∴x+3x=30+303，∴x＝30，∴AB＝2x＝60，BC＝2x=302，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：302÷30=2（h），∵2＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组用时2小时，第二组先到达目的地．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．18．（2022·江苏·星海实验中学九年级阶段练习）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为i=5:12 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为35°，然后小李沿斜坡AC走了241米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：cos35°≈45， tan35°≈710，cos18°≈910，tan18°≈13）【答案】40.8米【分析】如图AG⊥BC于G，AH⊥DF于H，连接AD CE，根据比例设AG=5x，BG=12x，结合勾股定理求出x=2，得到AG=10，再次由勾股定理求出GC=8，设EF=m，然后利用解直角三角形，求出m=12，即可得到答案．【详解】解：如图AG⊥BC于G，AH⊥DF于H，连接AD、CE，∵AB的坡比i=5:12，设AG=5x，BG=12x，∴在Rt△ABG中，AB=AG2+BG2=5x2+12x2=13x=26，∴x=2，∴AG=10，在Rt△ACG中，GC=AC2-AG2=(241)2-102=8，设EF=m，在Rt△CEF中，tanβ=tan18°=EFCF≈13，∴CF=3m，∵四边形AGFH是矩形，∴AH=GF=GC+CF=8+3m，又∵DH=DE+EH=DE+(EF-HF)=28.8+m-10=18.8+m，在Rt△AHD中，tanα=tan35°=DHAH≈710，∴18.8+m8+3m≈710，∴m=12，∴DF=DE+EF=28.8+12=40.8，答：建筑物DF的高度为40.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出正确的辅助线是解答此题的关键．19．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，学校数学兴趣小组组织测量一山坡上电线杆PQ的高度，队员们在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，随后沿直线走了6m到达B点处，测得杆顶端点P的仰角是60°，B处到电线杆底端Q的坡度i=1：1.5，求电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）备用数据：3≈1.7．【答案】9米【分析】延长PQ交AB于点D，设PD=x米，根据∠PAD=45°得AD=PD=x米，在RtΔBPD中，根据∠PAD=45°和三角形内角和定理得∠BPD=30°，根据tan∠PBD=PDBD=33得BD=33x，根据AB=AD−BD得x=9+33，即BE=（9+33）米，在RtΔBQP中，求出QD，再根据PQ=PD−QD即可得．【详解】解：如图所示，延长PQ交AB于点D， 设PD=x米，在RtΔPAD中，∠PAD=45°，则AD=PD=x米，∵在RtΔBPD中，∠PBD=60°，∴∠BPD=180°−∠PBD−∠PDA=30°，在Rt△BPD中，tan∠PBD=PDBD=33，即BD=33x，∴AB=AD−BDx−33x=6解得x=9+33，则BD=（3+33）米，在RtΔBQP中，QD=33BD=(3+3)（米），∴PQ=PD−QD=9+33−(3+3)=6+23≈9（米），即电线杆PQ的高度约为9m．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点．20．（2022·江苏常州·二模）为践行绿水青山就是金山银山的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现一棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26m，在距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角∠AED=60°，求古树CD的高度为多少米？（古树CD与山坡AB的割面、点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直）【答案】古树CD的高度为303−10米【分析】设CD与直线AE交于点H．由勾股定理和坡度求得，CH:AH:AC=5:12:13，CH=10，AH=24，在Rt△EDH中，利用正切函数求解即可得出结果．【详解】解：设CD与直线AE交于点H．由题意可知CHAH＝12.4=512，设CH=5x，AH=12x，在Rt△ACH中，由勾股定理得AC=AH2+CH2=13x，∴CH:AH:AC=5:12:13．∵AC=26，∴CH=10，AH=24，∵AE=6，∴EH=30．在Rt△EDH中，tan∠DEH=DHEH．∵∠AED=60°∴tan60°=DH30．∴DH=303．∴CD=303−10．即古树CD的高度为(303−10)米．【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理等知识，理解坡度，掌握特殊角的三角函数是解题关键．21．（2022·江苏南京·一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离． (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．)【答案】EF到AB的距离为45米【分析】过点C作CG⊥AB，交AB于点G，设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米，根据直角三角形的性质得CG=12x，根据三角函数得EM=0.6·(80−x)，根据EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍得3CG=EM+CG，解得x=10，即AC=10，则CG=5，即可得．【详解】解：如图所示，过点C作CG⊥AB，交AB于点G，设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米，由题意得，CG=12AC=12x，EM=AC•sin37°=0.6·(80−x)，则3CG=EM+CG，32x=0.6·(80−x)+12xx=30，∴AC=30，∴CG=15，∴EF到AB的距离为：3×15=45（米）．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握三角函数和直角三角形的性质．22．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．(1)求AE的长（结果取整数）；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45【答案】(1)91cm(2)32cm【分析】（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝2AN≈123.1（cm），由EM＝AM−AE，即可得出答案．（1）解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF=AFAD，∴AF=ADcos∠DAF=100×cos28°=100×0.88=88cm，在Rt△AEF中，cos∠EAF=AFAE，∴AE=AFcos∠EAF=88cos13°=880.97≈91cm．（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图所示：则∠AMN=∠MAC+∠MGA，∴∠AMN=13°+32°=45°，在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm，在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32°=0.62，∴FG=DF0.62≈75.8（cm），∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8（cm），∵AN⊥GD，∴∠ANG=90°，∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm，在Rt△ANM中，sin45°=ANAM=86.8AM，∴AM=86.822≈123.1cm，∴EM=AM−AE=123.1−91=32.1cm≈32cm，∴EH的最小值为32cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．23．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．(1)求斜坡CD的高；(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）【答案】(1)10米(2)24.3米【分析】(1)过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4可设DG=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；(2)由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】（1）解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，BC=CD=26米，∴DG=x，则CG=2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2=DC2，即x2+(2.4x)2=262，解得x=10，∴DG=10米，即：斜坡CD的高为10米；（2）∵DG=10米，∴CG=24米，∴EG=10+0.8=10.8米，BG=26+24=50米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM=BG=50米，BM=EG=10.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM=15°，∴AM=EM⋅tan15°≈50×0.27=13.5米，∴AB=AM+BM=13.5+10.8≈24.3 (米)．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）【答案】CD=1033米【分析】由题意可求得AG=5 米，分别在Rt△ADG和Rt△ACG中，利用三角函数的求出DG和CG，最后根据CD=DG−CG可得出答案．【详解】解：由题意得，BG=CE=DF=1.5米，∴AG=AB−BG=5米，在Rt△ADG中，tan30°=AGDG=5DG=33，解得DG=53，在Rt△ACG中，tan60°=AGCG=5CG=3，解得CG=533，∴CD=DG−CG=1033米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．25．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB∥MQ，OA段与竖直方向夹角为30°．已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，OM=120cm，OA=120cm，AB=150cm．(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？（本小题中3 取1.73）【答案】(1)点A到地面的距离为(120+603)cm(2)货车不能安全通过该入口【分析】（1）过点A作AN⊥ON,垂足为点N，利用三角函数求得NO=AO⋅cos30°=120×32=603cm，NM的长度即为点A到地面的距离；（2）作HF∥AB,交OA于点K,使HM=210cm，利用三角函数求出HK=OH⋅tan30°=90×33=303≈51.9cm，KF=HF−HK=OA+AB−HK=120+150−51.9=218.1cm，在高度正好的情况下，求得货车靠墙行驶需要宽度超过了KF的长度，说明不能安全通过．【详解】（1）解：如图，过点A作AN⊥ON,垂足为点NNO=AO⋅cos30°=120×32=603cmNM=NO+OM=120+603cm则点A到地面的距离为(120+603)cm（2）解：如图，作HF∥AB,交OA于点K,使HM=210cm2.1m=210cmOH=MH−OM=210−120=90cmHK=OH⋅tan30°=90×33=303≈51.9cmKF=HF−HK=OA+AB−HK=120+150−51.9=218.1cm若货车靠墙行驶需要宽度为210+10=220cm>218.1cm则货车不能安全通过该入口.【点睛】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题是解题关键．26．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．【答案】(1)(4006−4002)米(2)能，见解析【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，C位于A的北偏西45°方向，CD⊥AB，且B在A的正东方，可知∠ADC=45°，从而得到AD=CD=AC×sin45°=800×22=4002m，再利用C位于B的北偏西60°方向，可得BC=2CD=8002m，BD=4006m，最后利用AB=BD−AD求值即可；（2）由（1）可得路线总长为：AC+BC=800+ 4002≈800+800×1.4=1920m，再设新的景观步道能在x天内完成，利用前两天修的长度加乙工程队加入后一起修的长度等于总长度列方程求出所需天数，再与15比较大小即可得解．【详解】（1）解：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，∵C位于A的北偏西45°方向，CD⊥AB，且B在A的正东方，∴∠ADC=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，又∵AC=800m，∴AD=CD=AC×sin45°=800×22=4002m，又∵C位于B的北偏西60°方向，∠BCD=60°∴BC=2CD=2×4002=8002m，BD=CD×tan∠BCD=4002×3=4006m∴AB=BD−AD= 4006−4002(m)答：A、B两地的距离是(4006−4002)米（2）能，理由如下：∵AC=800m，BC=2CD=2×4002=4002m∴路线总长为：AC+BC=800+ 4002≈800+800×1.4=1920m设新的景观步道能在x天内完成，则有：60×2+60+90x−2=1920解得：x=14