苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题5.3期末全真模拟试卷03(压轴卷)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题5.3期末全真模拟试卷03(压轴卷)特训(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了3期末全真模拟试卷03，5．，4，等内容，欢迎下载使用。
班级：____________ 姓名：________________ 得分：______________
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•工业园区校级期末）两个三角形相似比是2：3，其中小三角形的周长为18，则另一个大三角形的周长是（ ）
A．12B．18C．24D．27
2．（2022春•崇川区期末）某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为x，由题意可列得方程是（ ）
A．2（1﹣x）2＝7B．2（1+x）2＝7C．2（1﹣2x）＝7D．2（1+2x）＝7
3．（2021秋•沭阳县期末）若将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
4．（2021秋•镇江期末）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4B．5，4C．5，5D．都无法确定
5．（2022春•工业园区校级期末）“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春•崇川区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022春•亭湖区校级期末）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．cmB．8cmC．6cmD．10cm
8．（2021秋•沭阳县期末）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•惠山区校级期末）已知方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值是 ．
10．（2022春•通州区期末）在学校举行的“庆祝建团百年”诗歌朗诵比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为90分，80分，80分，最后再按5：3：2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是 分．
11．（2022春•仪征市期末）一个不透明的袋里装有除颜色外其他完全相同的10个小球，其中有6个黄球，3个白球，1个黑球，将袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大．
12．（2022春•工业园区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，AE和BD相交于点P，已知△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，则四边CDFE形的面积是 ．
13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在正八边形△ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为 °．
14．（2022春•崇川区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
15．（2021秋•海陵区校级期末）已知α、β为锐角，若，，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（α+β）＝ ．
16．（2021秋•滨海县期末）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•工业园区校级期末）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
18．（2022春•工业园区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）求出的值．
19．（2021秋•沭阳县期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均作格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的面积．
20．（2021秋•南京期末）甲、乙两班各10名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如下表：
（1）填写下表：
（2）利用方差判断哪个班的成绩更加稳定？
21．（2021秋•高邮市期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．
（1）第一个节目是说相声的概率是 ；
（2）求第二个节目是弹古筝的概率．
22．（2021秋•建邺区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
23．（2021秋•沭阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE．⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，AC＝16，求S△ADE．
24．（2022春•崇川区期末）5月19日，崇川区进行了一次全民核酸检测，某小区上午6点开始检测，居民陆续到采集点排队，7点20排队完毕，秀秀就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：
秀秀把数据在平面直角坐标系里描点连线，得到如图所示函数图象：
当0≤x≤80，y是x的二次函数；当80＜x≤100，y是x的一次函数．
（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；
（2）若排队人数在200人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态持续的时间多长？
25．（2021秋•仪征市期末）如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．
小明的部分证明如下：
证明：∵AB∥MH，
∴△DMH∽△DAB，
∴．
同理可得：＝ ，
…．
（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；
（2）求证：；
（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．
26．（2021秋•启东市期末）定义：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝ax2+bx+c（m≤x≤n）图象上任意三个不重合的点，若满足y1，y2，y3中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且y1，y2，y3都大于0，则称函数y＝ax2+bx+c是m≤x≤n上的“仿三角形函数”．
（1）①函数y＝x2（1≤x≤2）的最小值是m，最大值是n，则2m n；（填写“＞”，“＜”或“＝”）
②函数y＝x2 1≤x≤2上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）
（2）若二次函数函数y＝ax2﹣2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y＝x2﹣2mx在1≤x≤上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
成绩
人数
班级
6分
7分
8分
9分
10分
甲班
1人
2人
4人
2人
1人
乙班
2人
3人
1人
1人
3人
平均数
中位数
众数
甲班
8
8

乙班


7和10
时间x（分钟）
0
20
40
60
80
85
90
95
100
人数y（人）
80
150
200
230
240
180
120
60
0
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】
专题5.3期末全真模拟试卷03（压轴卷）
班级：____________ 姓名：________________ 得分：______________
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•工业园区校级期末）两个三角形相似比是2：3，其中小三角形的周长为18，则另一个大三角形的周长是（ ）
A．12B．18C．24D．27
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，求解即可．
【解答】解：设大三角形的周长为x．
∵两个相似三角形相似比是2：3，其中小三角形的周长为18，
∴18：x＝2：3，
∴x＝27，
故选：D．
2．（2022春•崇川区期末）某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为x，由题意可列得方程是（ ）
A．2（1﹣x）2＝7B．2（1+x）2＝7C．2（1﹣2x）＝7D．2（1+2x）＝7
【分析】设该企业这两年的年平均增长率均为x，则2020年的产值是2（1+x），2021年在2020年的基础上，产值是2（1+x）（1+x）根据2021年产值是7亿元，即可列方程求解．
【解答】解：设该企业这两年的年平均增长率均为x，
由题意得，2020年的产值为2（1+x），
2021年的产值为：2（1+x）2＝7．
故选：B．
3．（2021秋•沭阳县期末）若将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】易得圆锥的母线长为16cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×16÷2＝16π（cm），
∴圆锥的底面半径为16π÷2π＝8（cm），
故选：C．
4．（2021秋•镇江期末）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4B．5，4C．5，5D．都无法确定
【分析】先根据数据的总个数得出a+b＝3，再利用众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵一共抽取10名同学，
∴a+b＝10﹣2﹣4﹣1＝3，
∴这组数据中5出现次数最多，有4次，
∴众数为5，
中位数是第5、6个数据的平均数，而第5、6个数据均为5，
∴这组数据的中位数为＝5，
故选：C．
5．（2022春•工业园区校级期末）“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是＝，
故选：C．
6．（2022春•崇川区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；当x＝﹣1时，y＜0，即可判断②；当x＝2时，y＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有2个交点，即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵2a+b＝0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②观察函数图象，可知：
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②错误．
③∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：B．
7．（2022春•亭湖区校级期末）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．cmB．8cmC．6cmD．10cm
【分析】如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．利用面积法构建方程求解．
【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AD∥CB，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，
∵BC＝24cm，
∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），
∴CD＝＝＝25（cm），
设OE＝OF＝OG＝rcm，
则有×（9+24）×20＝×20×r+×24×r+×25×r+×9×（20﹣r），
∴r＝8，
故选：B．
8．（2021秋•沭阳县期末）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
【分析】由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将x2+bx+3﹣t＝0转化为抛物线y＝x2+bx+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点的问题，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），
将x2+bx+3﹣t＝0整理为x2﹣2x+3＝t，
∴当t＝2时，抛物线顶点落在直线y＝2上，满足题意，
把（﹣1，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
把（3，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
∴2≤t＜6满足题意，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2022春•惠山区校级期末）已知方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【解答】解：∵方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，
∴把x＝1代入，得
12+k×1﹣2＝0，
解得，k＝1．
故答案是：1．
10．（2022春•通州区期末）在学校举行的“庆祝建团百年”诗歌朗诵比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为90分，80分，80分，最后再按5：3：2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是 85 分．
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求出小华的最终得分．
【解答】解：根据题意得：＝85（分），
∴小华的最终得分是85分．
故答案为：85．
11．（2022春•仪征市期末）一个不透明的袋里装有除颜色外其他完全相同的10个小球，其中有6个黄球，3个白球，1个黑球，将袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出 黄 球的可能性最大．
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【解答】解：因为袋子中有6个黄球，3个白球，1个黑球，从中任意摸出一个球，
①为黑球的概率是；
②为黄球的概率是；
③为白球的概率是．
可见摸出黄球的可能性大．
故答案为：黄．
12．（2022春•工业园区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，AE和BD相交于点P，已知△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，则四边CDFE形的面积是 22 ．
【分析】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝18，所以S△ABD＝S△CBD＝30，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．
【解答】解：∵△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，
即S△ABF：S△BEF＝12：8＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴S△AFD＝×8＝18，
∴S△ABD＝S△CBD＝12+18＝30，
∴四边形CDFE的面积＝30﹣8＝22．
故答案为：22．
13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在正八边形△ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为 45 °．
【分析】连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】解：连接AG、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠CAE＝45°，
故答案为：45．
14．（2022春•崇川区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣a≤且a≠0 ．
【分析】将已知点代入解析式，用含a的代数式表示b，再表示出对称轴，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：将（1，3）代入y＝ax2+bx+c得3＝a+b+c①，
将（4，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝16a+4b+c②，
由②﹣①得﹣3＝15a+3b，
∴5a＝﹣1﹣b，b＝﹣5a﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝+，
∵当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，
a＜0时，+≤1，
解得﹣≤a＜0，
a＞0时，+≥4，
解得0＜a≤，
综上所述，﹣a≤且a≠0．
15．（2021秋•海陵区校级期末）已知α、β为锐角，若，，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（α+β）＝ 2 ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后证明α+β＝∠ABD+∠EBC＝∠ABC，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设点D，点E在格点上，如图：
由题意得：
AB2＝12+22＝5，
AC2＝22+42＝20，
BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝2，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
在Rt△BEC中，tan∠EBC＝＝，
∵，，
∴∠ABD＝α，∠EBC＝β，
∴α+β＝∠ABD+∠EBC＝∠ABC，
∴tan（α+β）＝tan∠ABC＝2，
故答案为：2．
16．（2021秋•滨海县期末）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 5+1 ．
【分析】当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥CD，OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝6，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝6﹣+1＝5+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为5+1，
故答案为：5+1．
三．解答题（共10小题）
17．（2022春•工业园区校级期末）用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣45＝0，
（x﹣9）（x+5）＝0，
x﹣9＝0或x+5＝0，
x1＝9，x2＝﹣5；
（2）2x2﹣5x+1＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1
＝25﹣8
＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（2022春•工业园区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）求出的值．
【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝36°，得∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，由BD是△ABC的角平分线求得∠DBC＝36°，则∠DBC＝∠BAC，而∠C是△BDC和△ABC的公共角，即可证明△BDC∽△ABC；
（2）先证明AD＝BD，BD＝BC，则AD＝BC，设AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，由△BDC∽△ABC得＝，所以BC2＝AC•（AC﹣AD），可列方程x2＝a（a﹣x），解方程求得符合题意的x的值为a，即可求出的值．
【解答】（1）△BDC∽△ABC．
证明：AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBA＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC．
（2）解：∵∠DBA＝∠BAC，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠DBA+∠A＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
设AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，
∵△BDC∽△ABC，
∴＝，
∴BC2＝AC•（AC﹣AD），
∴x2＝a（a﹣x），
解得x1＝a，x2＝a（不符合题意，舍去），
∴BC＝a，
∴＝＝．
19．（2021秋•沭阳县期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均作格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的面积．
【分析】（1）利用位似变换的性质分两种情形分别画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形，利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△OA'B'或△OA''B''即为所求．
（2）如图，△OA1B1即为所求．
∵，
∴线段OB旋转过程中所形成扇形的面积＝．
20．（2021秋•南京期末）甲、乙两班各10名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如下表：
（1）填写下表：
（2）利用方差判断哪个班的成绩更加稳定？
【分析】（1）根据平均数和众数的概念求出甲的平均数与众数，根据方差的计算公式求出甲的方差；
（2）先求出两个班成绩的方差，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可知，甲班预赛成绩的众数为：8分；
乙班预赛成绩的平均数为：×（6×2+7×3+8×1+9×1+10×3）＝8（分），
中位数为：＝7.5（分）．
填表如下：
故答案为：8，8，7.5；
（2）甲班预赛成绩的方差为：×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，
乙班预赛成绩的方差为：×[2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+3×（10﹣8）2]＝2.4，
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更加稳定．
21．（2021秋•高邮市期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．
（1）第一个节目是说相声的概率是 ；
（2）求第二个节目是弹古筝的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二个节目是弹古筝的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）第一个节目是说相声的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中第二个节目是弹古筝的结果数为3，
∴第二个节目是弹古筝的概率为＝．
22．（2021秋•建邺区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 0.6 m．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）因为OA＝OB，由勾股定理求得OB，再根据AM＝OD+DM﹣OA便可求得结果．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，
∴EM＝DM+DE＝1.8（m），
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；
（3）∵OA＝OB＝＝3（m），
∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．
故答案为：0.6．
23．（2021秋•沭阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE．⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，AC＝16，求S△ADE．
【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明AC∥OE，即可解答；
（2）先证明△ACE∽△AED，求出AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵AE平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠OEA，
∴AC∥OE，
∴∠C＝∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴△ACE∽△AED，
∴，
即，
∴，
∴DE＝＝＝4，
∴S△ADE＝AE•DE＝×8×4＝80．
24．（2022春•崇川区期末）5月19日，崇川区进行了一次全民核酸检测，某小区上午6点开始检测，居民陆续到采集点排队，7点20排队完毕，秀秀就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：
秀秀把数据在平面直角坐标系里描点连线，得到如图所示函数图象：
当0≤x≤80，y是x的二次函数；当80＜x≤100，y是x的一次函数．
（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；
（2）若排队人数在200人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态持续的时间多长？
【分析】（1）将A，B点的坐标代入二次函数解析式中即可；
（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝200分别代入两个函数求出x，相减即可得出答案．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+240，
将A（0，80）代入得a＝﹣，
∴二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣80）2+240＝﹣x2+4x+80；
（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，
将C（80，240），D（100，0）代入，
得：，
解得：，
∴CD的解析式为：y＝﹣12x+1200，
将y＝200代入y＝﹣x2+4x+80中，
得：x2﹣160x+4800，
解得：x＝40或x＝120（舍去），
将y＝200代入y＝﹣12x+1200中，
得：﹣12x+1200＝200，
解得：x＝，
∵﹣40＝，
∴满负荷状态的时间为分．
25．（2021秋•仪征市期末）如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．
小明的部分证明如下：
证明：∵AB∥MH，
∴△DMH∽△DAB，
∴．
同理可得：＝ ，
…．
（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；
（2）求证：；
（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．
【分析】（1）将和＝两式相加，变形证得结论；
（2）作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，，，从而，同理可得：，进一步变形命题得证；
（3）可证得△ADG∽△ABC，从而，根据，从而，进一步命题得证．
【解答】证明：（1）∴＝，
两边都除以MH，得，
；
（2）如图1，
作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，
∴AE∥MF∥CG，
∴，
∵HH∥AB，
∴，
∴，
同理可得：，
由（1）得，，
两边乘以，得
，
（3）如图2，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∵四边形DEFG是正方形，
∴MN＝DE＝DG，
∴，
两边都除以DG，得，
．
26．（2021秋•启东市期末）定义：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝ax2+bx+c（m≤x≤n）图象上任意三个不重合的点，若满足y1，y2，y3中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且y1，y2，y3都大于0，则称函数y＝ax2+bx+c是m≤x≤n上的“仿三角形函数”．
（1）①函数y＝x2（1≤x≤2）的最小值是m，最大值是n，则2m ＜ n；（填写“＞”，“＜”或“＝”）
②函数y＝x2 不是 1≤x≤2上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）
（2）若二次函数函数y＝ax2﹣2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y＝x2﹣2mx在1≤x≤上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．
【分析】（1）①当x＝1时，函数的最小值为m＝1，当x＝4时，函数的最大值为n＝4，由此即可求解；
②任意取三个函数值，如当x＝1.1时，函数的最小值为1.21，当x＝2时，函数的最大值为4，当x＝1时，函数值为1，此时不满足任意任意两函数值之和大于第三个函数值，由此可求解；
（2）当x＝1时，y＝﹣a+3，当x＝2时，y＝3，分两种情况讨论：①当a＞0时，由，可求得0＜a≤； ②当a＜0时，则2×3≥﹣a+3，求得﹣3≤a＜0；即可求解；
（3）求出函数最小值为﹣m2，当x＝1时，y＝1﹣2m；x＝时，y＝﹣3m；分两种情况讨论：①当m≥1时，x＝1时y＝1﹣2m＜0，不满足题意； ②当m＜1时，则，解得：m≤﹣；由此可求m的取值范围．
【解答】解：（1）①∵1≤x≤2，
∴当x＝1时，函数的最小值为m＝1，
当x＝4时，函数的最大值为n＝4，
∴2m＜n，
故答案为：＜；
②当x＝1.1时，函数的最小值为1.21，
当x＝2时，函数的最大值为4，
当x＝1时，函数值为1，
∵1.21+1＜4，
∴函数y＝x2 不是1≤x≤2上的“仿三角形函数”；
故答案为：不是；
（2）当x＝1时，y＝﹣a+3，当x＝2时，y＝3，
①当a＞0时，函数y＝ax2﹣2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，
则，
解得：0＜a≤；
②当a＜0时，函数y＝ax2﹣2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，
则2×3≥﹣a+3，
∴﹣3≤a＜0；
综上所述，a的取值范围为0＜a≤或﹣3≤a＜0；
（3）∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
∴函数最小值为﹣m2，
当x＝1时，y＝1﹣2m；
x＝时，y＝﹣3m；
①当m≥1时，x＝1时y＝1﹣2m＜0，不满足题意；
②当m＜1时，函数y＝x2﹣2mx在1≤x≤上是“仿三角形函数”，
则，
解得：m≤﹣；
综上所述：若函数y＝x2﹣2mx在1≤x≤上是“仿三角形函数”时m的取值范围为m≤﹣．
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
成绩
人数
班级
6分
7分
8分
9分
10分
甲班
1人
2人
4人
2人
1人
乙班
2人
3人
1人
1人
3人
平均数
中位数
众数
甲班
8
8
8
乙班
8
7.5
7和10
平均数
中位数
众数
甲班
8
8
8
乙班
8
7.5
7和10
时间x（分钟）
0
20
40
60
80
85
90
95
100
人数y（人）
80
150
200
230
240
180
120
60
0