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    第2章 对称图形——圆(单元测试·基础卷)-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练(苏科版)
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    第2章 对称图形——圆(单元测试·基础卷)-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练(苏科版)

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    这是一份第2章 对称图形——圆(单元测试·基础卷)-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练(苏科版),共26页。

    第2章 对称图形——圆(单元测试·基础卷)
    【要点回顾】





    一、 单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
    1.如图,在中,,,.以点为圆心,为半径作圆,当点在内且点在外时,的值可能是(    )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    2.已知平面内有和点,,若半径为,线段,,则直线与的位置关系为(      )
    A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
    3.在中,直径弦于点若,则的长为(  )

    A. B.
    C. D.
    4.如图,点在上,,则(    )

    A. B. C. D.
    5.如图,是锐角三角形的外接圆,,垂足分别为,连接.若的周长为21,则的长为(    )
      
    A.8 B.4 C.3.5 D.3
    6.如图所示,是的直径,弦交于点E,连接,若,则的度数是(    )
      
    A. B. C. D.
    7.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是(    )

    A. B. C. D.
    8.如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是(   )
      
    A.25° B.35° C.40° D.50°
    9.大自然中有许多小动物都是“小数学家”,如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形,若对角线的长约为8mm,则正六边形的边长为(   )

    A.2mm B. C. D.4mm
    10.如图,是等边的外接圆,点是弧上一动点(不与,重合),下列结论:①;②;③当最长时,;④,其中一定正确的结论有(    )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    二、 填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
    11.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴正半轴上,以点为圆心,长为半径作弧,交轴正半轴于点,则点的坐标为 .

    12.如图,在⊙O中,弦的长为4,圆心到弦的距离为2,则的度数为 .

    13.如图,点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积为,则半圆的半径OA的长为 .

    14.如图,四边形内接于,延长至点,已知,那么 .
      
    15.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点处安装了一台监视器,它的监控角度是,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
      
    16.如图,内接于是直径,过点A作的切线.若,则的度数是 度.

    17.在中,若,,则的面积的最大值为 .
    18.如图,的半径为,为的弦,点为上的一点,将沿弦翻折,使点与圆心重合,则阴影部分的面积为 .(结果保留与根号)

    三、解答题(本大题共6小题,共58分)
    19.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA
    与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.
    (1)求证:∠B=∠D;
    (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.









    20.(8分)如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度米,拱高米,
    (1)求圆弧所在的圆的半径r的长;
    (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即米是否要采取紧急措施?







    21.(10分)如图,在中,,以为直径的交于点,过点作,垂足为点.
    (1)求证:;
    (2)判断直线与⊙O的位置关系,并说明理由.







    22.(10分)如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
    (1)求证:AC∥DE;
    (2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.







    23.(10分)已知为的直径,点C为上一点,点D为延长线一点,连接.
    (Ⅰ)如图①,,若与相切,求和的大小;
    (Ⅱ)如图②,与交于点E,于点F,连接,若,求的大小.







    24.(12分)“抖空竹”在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题.如图,,分别与相切于点,,延长,交于点,连接,,的半径为2,.
    (1)连接,,判断四边形的形状,并说明理由;
    (2)求劣弧的长;
    (3)若某时刻,与交于点,求的长.
              





    参考答案
    1.C
    【分析】先利用勾股定理可得,再根据“点在内且点在外”可得,由此即可得出答案.
    解:在中,,,,

    点在内且点在外,
    ,即,
    观察四个选项可知,只有选项C符合,
    故选:C.
    【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系,熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.
    2.D
    【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
    解:∵⊙O的半径为2cm,线段OA=3cm,线段OB=2cm,
    即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,
    ∴点A在⊙O外.点B在⊙O上,
    ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切,
    故选:D.
    【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系,正确的理解题意是解题的关键.
    3.C
    【分析】先连接OD,然后利用垂径定理和勾股定理解答即可.
    解:如图连接OD
    ∵直径AB=15,
    ∴DO=BO=7.5,
    ∵OC:OB=3:5,
    ∴CO=4.5,
    ∵DE⊥AB,
    ∴DC=
    ∴DE=2DC=12.
    故选:C.

    【点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关键.
    4.D
    【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案.
    解: 点在上,,


    故选:
    【点拨】本题考查的两条弧,两个圆心角,两条弦之间的关系,圆周角定理,等弧的概念与性质,掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键.
    5.B
    【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点,再由中位线的性质及三角形的周长求解即可.
    解:∵是锐角三角形的外接圆,,
    ∴点D、E、F分别是的中点,
    ∴,
    ∵的周长为21,
    ∴即,
    ∴,
    故选:B.
    【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质,理解题意,熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键.
    6.D
    【分析】如图所示,连接,先由同弧所对的圆周角相等得到,再由直径所对的圆周角是直角得到,则.
    解:如图所示,连接,
    ∵,
    ∴,
    ∵是的直径,
    ∴,
    ∴,
    故选D.
      
    【点拨】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是直角,正确求出的度数是解题的关键.
    7.C
    【分析】作直径AD,连接CD,如图,利用等边三角形的性质得到∠B=60°,关键圆周角定理得到∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.
    解:作直径AD,连接CD,如图,

    ∵△ABC为等边三角形,
    ∴∠B=60°,
    ∵AD为直径,
    ∴∠ACD=90°,
    ∵∠D=∠B=60°,则∠DAC=30°,
    ∴CD=AD,
    ∵AD2=CD2+AC2,即AD2=(AD)2+32,
    ∴AD=2,
    ∴OA=OB=AD=.
    故选:C.
    【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.
    8.C
    【分析】根据圆周角定理可得,根据切线的性质可得,根据直角三角形两个锐角互余即可求解.
    解:,∠ABC=25°,

    AB是⊙O的直径,


    故选C.
    【点拨】本题考查了圆周角定理,切线的性质,掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键.
    9.D
    【分析】如图,连接CF与AD交于点O,易证△COD为等边三角形,从而CD=OC=OD=AD,即可得到答案.
    解:连接CF与AD交于点O,
    ∵为正六边形,
    ∴∠COD= =60°,CO=DO,AO=DO=AD=4mm,
    ∴△COD为等边三角形,
    ∴CD=CO=DO=4mm,
    即正六边形的边长为4mm,
    故选:D.

    【点拨】本题考查了正多边形与圆的性质,正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键.
    10.C
    【分析】根据等边三角形的性质可得,从而得到∠ADB=∠BDC,故①正确;根据点是上一动点,可得不一定等于,故②错误;当最长时,DB为圆O的直径,可得∠BCD=90°,再由是等边的外接圆,可得∠ABD=∠CBD=30°,可得,故③正确;延长DA至点E,使AE=AD,证明△ABE≌△CBD,可得BD=AE,∠ABE=∠DBC,从而得到△BDE是等边三角形,可得到DE=BD,故④正确;即可求解.
    解:∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=BC,∠ABC=60°,
    ∴,
    ∴∠ADB=∠BDC,故①正确;
    ∵点是上一动点,
    ∴不一定等于,
    ∴DA=DC不一定成立,故②错误;
    当最长时,DB为圆O的直径,
    ∴∠BCD=90°,
    ∵是等边的外接圆,∠ABC=60°,
    ∴BD⊥AC,
    ∴∠ABD=∠CBD=30°,
    ∴,故③正确;
    如图,延长DA至点E,使AE=DC,

    ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形,
    ∴∠BCD+∠BAD=180°,
    ∵∠BAE+∠BAD=180°,
    ∴∠BAE=∠BCD,
    ∵AB=BC,AE=CD,
    ∴△ABE≌△CBD,
    ∴BD=AE,∠ABE=∠DBC,
    ∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°,
    ∴△BDE是等边三角形,
    ∴DE=BD,
    ∵DE=AD+AE=AD+CD,
    ∴,故④正确;
    ∴正确的有3个.
    故选:C.
    【点拨】本题主要考查了圆周角定理,三角形的外接圆,圆内接四边形的性质,垂径定理,等边三角形的判定和性质等知识,熟练掌握圆周角定理,三角形的外接圆,圆内接四边形的性质,垂径定理,等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
    11.
    【分析】连接,先根据点的坐标可得,再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形,然后根据等腰三角形的三线合一可得,由此即可得出答案.
    解:如图,连接,

    点的坐标为,

    由同圆半径相等得:,
    是等腰三角形,

    (等腰三角形的三线合一),
    又点位于轴正半轴,
    点的坐标为,
    故答案为:.
    【点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点,熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键.
    12.
    【分析】先根据垂径定理可得,再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得.
    解:由题意得:,,



    是等腰直角三角形,

    故答案为:.
    【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质,熟练掌握垂径定理是解题关键.
    13.
    【分析】如图,连接 证明再证明从而可以列方程求解半径.
    解:如图,连接
    点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,


    为等边三角形,



      


    解得: (负根舍去),
    故答案为:

    【点拨】本题考查的圆的基本性质,弧,弦,圆心角之间的关系,平行线的判定与性质,扇形面积的计算,掌握以上知识是解题的关键.
    14.
    【分析】根据圆周角定理得到,再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解.
    解:∵,
    ∴,
    ∵四边形内接于,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故答案为:.
    【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键.
    15.4
    【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数,利用圆心角的度数即可得解.
    解:∵,
    ∴对应的圆心角的度数为,
    ∵,
    ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台;
    故答案为:4
    【点拨】本题考查圆周角定理,熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半,是解题的关键.
    16.35
    【分析】根据直径所对的圆周角是直角,可得∠BAC=55°,再根据切线的性质可得∠BAD=90°,即可求解.
    解:∵AB为直径,
    ∴∠C=90°,
    ∵,
    ∴∠BAC=55°,
    ∵AD与相切,
    ∴AB⊥AD,即∠BAD=90°,
    ∴∠CAD=90°-∠BAC=35°.
    故答案为:35
    【点拨】本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,熟练掌握切线的性质,直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
    17.9+9
    【分析】首先过C作CM⊥AB于M,由弦AB已确定,可得要使△ABC的面积最大,只要CM取最大值即可,即可得当CM过圆心O时,CM最大,然后由圆周角定理,证得△AOB是等腰直角三角形,则可求得CM的长,继而求得答案.
    解:作△ABC的外接圆⊙O,过C作CM⊥AB于M,

    ∵弦AB已确定,
    ∴要使△ABC的面积最大,只要CM取最大值即可,
    如图所示,当CM过圆心O时,CM最大,
    ∵CM⊥AB,CM过O,
    ∴AM=BM(垂径定理),
    ∴AC=BC,
    ∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
    ∴OM=AM=AB=×6=3,
    ∴OA=,
    ∴CM=OC+OM=+3,
    ∴S△ABC=AB•CM=×6×(+3)=9+9.
    故答案为:9+9.
    【点拨】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质.注意得到当CM过圆心O时,CM最大是关键.
    18.
    【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形,则,,根据阴影部分面积即可求解.
    解:如图所示,连接,设交于点    
      
    ∵将沿弦翻折,使点与圆心重合,
    ∴,

    ∴,
    ∴是等边三角形,
    ∴,,
    ∴,
    ∴阴影部分面积
    故答案为:.
    19.(1)见分析(2)
    【分析】(1)由AB为⊙O的直径,易证得AC⊥BD,又由DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可证得AD=AB,即可得:∠B=∠D;
    (2)首先设BC=x,则AC=x-2,由在Rt△ABC中,,可得方程:,解此方程即可求得CB的长,继而求得CE的长.
    解:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°
    ∴AC⊥BC
    ∵DC=CB
    ∴AD=AB
    ∴∠B=∠D
    (2)设BC=x,则AC=x-2,
    在Rt△ABC中,,
    ∴,解得:(舍去).
    ∵∠B=∠E,∠B=∠D,
    ∴∠D=∠E
    ∴CD=CE
    ∵CD=CB,
    ∴CE=CB=.
    20.(1)米;(2)不需要采取紧急措施,理由见分析
    【分析】(1)连接,利用表示出的长,在中根据勾股定理求出的值即可;
    (2)连接,在中,由勾股定理得出的长,进而可得出的长,据此可得出结论.
    解:(1)连接,
    由题意得:,
    在中,由勾股定理得:,
    解得,;
    (2)连接,


    在中,由勾股定理得:,
    即:,
    解得:.


    不需要采取紧急措施.
    【点拨】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
    21.(1)见分析;(2)直线与⊙O相切,理由见分析.
    【分析】(1)AB为⊙O的直径得,结合AB=AC,用HL证明全等三角形;
    (2)由得BD=BC,结合AO=BO得OD为的中位线,由得,可得直线DE为⊙O切线.
    解:(1)∵AB为⊙O的直径

    在和中

    ∴(HL)
    (2)直线与⊙O相切,理由如下:
    连接OD,如图所示:

    由知:,
    又∵OA=OB
    ∴OD为的中位线



    ∵OD为⊙O的半径
    ∴DE与⊙O相切.
    【点拨】本题考查了全等三角形的证明,切线的判定,熟知以上知识的应用是解题的关键.
    22.(1)证明见分析;(2).
    【分析】(1)欲证明AC∥DE,只要证明AC⊥OD,ED⊥OD即可.
    (2)作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD,首先证明四边形ACDE是平行四边形,根据S平行四边形ACDE=AE•DM,只要求出DM即可.
    解:(1)∵ED与⊙O相切于D,
    ∴OD⊥DE,
    ∵F为弦AC中点,
    ∴OD⊥AC,
    ∴AC∥DE.
    (2)作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.
    ∵AC∥DE,AE=AO,
    ∴OF=DF,
    ∵AF⊥DO,
    ∴AD=AO,
    ∴AD=AO=OD,
    ∴△ADO是等边三角形,同理△CDO也是等边三角形,
    ∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DD=a,
    ∴AO∥CD,又AE=CD,
    ∴四边形ACDE是平行四边形,易知DM=,
    ∴平行四边形ACDE面积=.

    【点拨】本题考查切线的性质.熟练掌握切线的性质和两直线平行的判定是解决问题的关键.
    23.(Ⅰ),; (Ⅱ).
    【分析】(Ⅰ)根据直角三角形的性质求出的大小,利用圆周角定理求出的大小;
    (Ⅱ)首先根据直径所对的圆周角是90°,得出,然后根据圆内接四边形的性质得出,即可得出.
    解:(Ⅰ)连接,如图所示,

    ∵是的切线,
    ∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    ∴.
    ∴;
    (Ⅱ)连接,如图所示:

    ∵是的直径,
    ∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∵四边形是的内接四边形,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    【点拨】此题属于容易题,主要考查切线的性质与判定、圆周角定理及其圆内接四边形的性质.失分原因:(1)不能根据直角三角形的性质求出的大小,不能利用圆周角定理求出的大小;(2)未掌握直径所对的圆周角是90°,不能灵活运用圆内接四边形的性质.
    24.(1)四边形为正方形,理由见分析;(2)劣弧的长为;(3)
    【分析】(1)根据切线的性质得到,根据正方形的判定定理即可得到结论;
    (2)求得圆心角,利用弧长公式即可求解;
    (3)过点作于点,在中,得到,,再设,据此求解即可.
    (1)解:四边形为正方形.
    理由:∵,分别与相切,
    ∴,,
    ∴,
    又∵,
    ∴四边形为矩形,
    ∵,
    ∴四边形为正方形;
    (2)解:由(1)可知,四边形为正方形,
    ∴,
    ∴劣弧的长;
    (3)解:如图,过点作于点,
      
    由(1)可知,四边形为正方形,
    ∴,,
    ∴,
    在中,,
    ∴,,
    设,则,.
    ∵,
    ∴,
    解得,
    ∴.
    【点拨】本题是圆的综合题,考查了正方形的判定,切线的性质,直角三角形的性质,弧长公式,正确的作出辅助线是解题的关键.
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