2024年江苏省泗阳县王集中学数学九上开学预测试题【含答案】

这是一份2024年江苏省泗阳县王集中学数学九上开学预测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知 x＝－1 是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的一个根，则代数式 p－q 的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
2、（4分）下列各图象中，不是y关于x的函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）点P（﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6、（4分）如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）点P(-2，3)关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(2，3)B．(-2，3)C．(2，-3)D．(-2，-3)
8、（4分）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝5，点E是边AB上的动点（不与A，B点重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，点H在线段AD上，且DH＝AD，连接EH，HF，记图中阴影部分的面积为S1，△EHF的面积记为S2，则S1＝_____，S2的取值范围是_____．
10、（4分）在平面直角坐标系xOy中，第三象限内有一点A，点A的横坐标为﹣2，过A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，矩形OMAN的面积为6，则直线MN的解析式为_____．
11、（4分）如图,在四边形中, 是边的中点，连接并延长,交的延长线与点, ,请你添加一个条件(不需要添加任何线段或字母),使之能推出四边形为平行四边形,你添加的条件是_________,并给予证明.
12、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…分别在x轴上，点B1，B2，B3，…分别在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B1B2A2，△B2A2A3，△B2B3A3…，都是等腰直角三角形，如果OA1＝1，则点A2019的坐标为_____．
13、（4分）如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为M，连结BM，若，则k的值是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戍五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下 表所示：（单位：分）
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分 的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看， 标准分大的考试成绩更好．请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考 得更好？
15、（8分）已知：如图，在菱形ABCD中， BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF=AE，连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF=9，CF=3，求CD的长．
16、（8分）已知长方形的长，宽.
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
17、（10分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
18、（10分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒单位的速度向点运动，点从点同时出发，以每秒单位的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）当时，若以点，和点，，，中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段为平行四边形的一边，求的值．
（2）若以点，和点，，，中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段为菱形的一条对角线，请直接写出的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，△ABC中，D，E分别 是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC= ．
20、（4分）下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线AD，使AD∥BC．
作法：如图2：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F；
②作直线EF，交AC于点O；
③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB；
④作直线AD．
∴ 直线AD就是所求作的平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ＯA =OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______________________）（填推理依据）．
∴AD∥BC（__________________________________）（填推理依据）．
21、（4分）如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.
22、（4分）计算：（π﹣3）0﹣（﹣）﹣2＝_____．
23、（4分）若，则3a______3b；______用“”，“”，或“”填空
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售．设购买个ｘ个A品牌的计算器需要ｙ1元，购买ｘ个B品牌的计算器需要ｙ2元，分别求出ｙ1、ｙ2关于ｘ的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
25、（10分）在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E．
（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________；
（1）当点在点M的左侧时，如图1．
①依题意补全图1；
②判断的形状，并加以证明．
26、（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且DE是△ABC的中位线．延长ED到F，使DF=ED，连接FC，FB．回答下列问题：
（1）试说明四边形BECF是菱形．
（2）当的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由一元二次方程的解的定义，把x＝－1代入已知方程，化简整理即可求得结果.
【详解】
解：∵x＝－1 是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的一个根，
∴，即，
∴p－q =1.
故选A.
本题考查了一元二次方程的解的定义，此类问题的一般思路：见解代入，整理化简.
2、B
【解析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】
解:由函数的定义可知，
每一个给定的x，都有唯一确定的y值与其对应的才是函数，
故选项A、C、D中的函数图象都是y关于x的函数，B中的不是，
故选：B．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3、C
【解析】
由第二象限纵坐标大于零得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】
解：由题意知m+1＞0，
解得m＞﹣1，
故选：C．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A不是轴对称图形，是中心对称图形；
B是轴对称图形，也是中心对称图形；
C和D是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5、A
【解析】
作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案．
【详解】
作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，
∴DH=DG，
在Rt△DEG和Rt△DFH中，

∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL），
∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°，
∴∠BFD+∠BED=180°，
∴∠BFD的度数=180°-140°=40°，
故选：A．
此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线
6、C
【解析】
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案
【详解】
解:从图象得到，当x＞-2时，的图象在函数y=ax-3的图象上
∴不等式3x+b>ax-3的解集是x>-2,
故选:C
此题考查一次函数和一元一次不等式的应用,解题关键在于看懂函数图象
7、A
【解析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】
点P（−2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．
故选：A．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8、D
【解析】
根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【详解】
解：一元二次方程，则它的一次项系数为-2，
故选：D．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，根据题意可证△ADF≌△BDE，可得△DFE是等腰直角三角形．可证△BME≌△ANF，可得NF=BM．所以S1= HD×BD，
代入可求S1．由点E是边AB上的动点（不与A，B点重合），可得DE垂直AB时DE最小，即,且S2=S△DEF-S1，代入可求S2的取值范围
【详解】
作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，
∵EM⊥BD，AD⊥BC
∴EM∥AD
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，AB＝5
∴∠B＝∠C＝45°＝∠BAD＝∠DAC，BD＝CD＝AD＝
∵DF⊥DE
∴∠ADF+∠ADE＝90°且∠ADE+∠BDE＝90°
∴∠ADF＝∠BDE且AD＝BD，∠B＝∠DAF＝45°
∴△ADF≌△BDE，
∴AF＝BE，DE＝DF
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵AF＝BE，∠B＝∠DAF＝45°，∠EMB＝∠ANF＝90°
∴△BME≌△ANF
∴NF＝BM
∵∵点E是边AB上的动点
∴
∵
∴
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证△DEF是等腰直角三角形．
10、y＝﹣x﹣1
【解析】
确定M、N点的坐标，再利用待定系数法求直线MN的关系式即可．
【详解】
由题意得：OM=2，∴M（-2，0）
∵矩形OMAN的面积为6，
∴ON=6÷2=1，
∵点A在第三象限，
∴N（0，-1）
设直线MN的关系式为y=kx+b，（k≠0）将M、N的坐标代入得：
b=-1，-2k+b=0，
解得：k=-，b=-1，
∴直线MN的关系式为：y=-x-1
故答案为：y=-x-1．
考查待定系数法求一次函数的关系式，确定点的坐标是解决问题的关键．
11、添加的条件是：∠F=∠CDE
【解析】
由题目的已知条件可知添加∠F=∠CDE，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB，进而证明四边形ABCD为平行四边形．
【详解】
条件是：∠F=∠CDE，
理由如下：
∵∠F=∠CDE
∴CD∥AF
在△DEC与△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB
∴DC=BF，∠C=∠EBF
∴AB∥DC
∵AB=BF
∴DC=AB
∴四边形ABCD为平行四边形
故答案为：∠F=∠CDE．
本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12、（22018，0）
【解析】
根据OA1＝1，△OA1B1是等腰直角三角形，得到A1和B1的横坐标为1，根据点A1在直线y＝x上，得到点B1的纵坐标，结合△B1A1A2为等腰直角三角形，得到A2和B2的横坐标为1+1＝2，同理：A3和B3的横坐标为2+2＝4＝22，A4和B4的横坐标为4+4＝8＝23，…依此类推，即可得到点A2019的横坐标，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：
A1和B1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x得：y＝1
B1的纵坐标为1，
即A1B1＝1，
∵△B1A1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，
A2和B2的横坐标为1+1＝2，
同理：A3和B3的横坐标为2+2＝4＝22，
A4和B4的横坐标为4+4＝8＝23，
…
依此类推，
A2019的横坐标为22018，纵坐标为0，
即点A2019的坐标为（22018，0），
故答案为：（22018，0）．
此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质；此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
13、1
【解析】
由题意得：S△ABM＝1S△AOM，又S△AOM＝|k|，则k的值可求出．
【详解】
解：设A（x，y），
∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴B（−x，−y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM＋S△BOM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±1．
又由于反比例函数图象位于一三象限，
∴k＞0，故k＝1．
故答案为：1.
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）70，6；（2）从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
【解析】
（1）由平均数、标准差的公式计算即可；
（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差，再比较即可．
【详解】
（1）数学平均分为=（71+72+69+68+70）÷5=70分，
英语考试成绩的标准差:
＝
=6分
（2）设甲同学数学考试成绩的标准分为P数学，英语考试成绩的标准分为，则
＝(71－70)÷， ＝(88－85)÷6＝ .
∵ ，
∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
本题考查平均数和标准差的计算，解题关键是熟记公式．
15、（1）四边形EBCF是矩形，证明见解析；（2）CD =5
【解析】
（1）由菱形的性质证得EF=BC，由此证明四边形EBCF是平行四边形.，再利用BE⊥AD即可证得四边形EBCF是矩形；
（2）设CD=x，根据菱形的性质及矩形的性质得到DF=9-x，再利用勾股定理求出答案.
【详解】
（1）四边形EBCF是矩形
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD=BC，AD∥BC.
又∵DF=AE，
∴DF+DE=AE+DE，
即：EF = AD.
∴ EF = BC.
∴四边形EBCF是平行四边形.
又∵BE⊥AD，
∴ ∠BEF=90°.
∴四边形EBCF是矩形.
（2） ∵ 四边形ABCD菱形，
∴ AD=CD.
∵ 四边形EBCF是矩形，
∴ ∠F=90°.
∵AF=9，CF=3，
∴设CD=x， 则DF=9-x，
∴ ，
解得：
∴CD =5.
此题考查菱形的性质，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，熟记各定理是解题的关键.
16、（1）；（2）长方形的周长大.
【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
试题解析：
(1)
∴长方形的周长为 .
(2)长方形的面积为：
正方形的面积也为4.边长为
周长为：

∴长方形的周长大于正方形的周长．
17、（1）C；（2）（x﹣2）1；（3）（x+1）1．
【解析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣1x+1）（x2﹣1x+7）+9，设x2﹣1x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+1）2=（x2﹣1x+1）2=（x﹣2）1．
故答案为：（x﹣2）1；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）1．
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
18、（1）当t=或4时，线段为平行四边形的一边；（2）v的值是2或1
【解析】
（1）由线段为平行四边形的一边分两种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得到结论；
（2）由线段为菱形的一条对角线，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度.
【详解】
（1）由线段为平行四边形的一边，分两种情况：
①当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，
∵AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
此时t=22-3t，解得t=；
②当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD∥QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形，
此时16-t=3t，解得t=4；
综上，当t=或4时，线段为平行四边形的一边；
（2）在Rt△ABP中，，AP=t
∴，
当PD=BQ=BP时，四边形PBQD是菱形，
∴，解得
∴当t=6，点Q的速度是每秒2个单位时四边形PBQD是菱形；
在Rt△ABQ中，，BQ=22-vt，
∴，
当AP=AQ=CQ时，四边形AQPC是菱形，
∴，解得,
∴当t=，点Q的速度是每秒1个单位时四边形AQPC是菱形，
综上，v的值是2或1.
此题考查图形与动点问题，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，正确理解图形的形状及性质是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，再由三角形的中位线定理进行解答即可．
试题解析：∵△ABC中，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE=2
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×2=1．
考点：三角形中位线定理．
20、对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形对边平行
【解析】
根据平行四边形的判定及性质依次判断即可.
【详解】
证明：连接CD，
∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∴AD∥BC (平行四边形的对边平行)，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行.
此题考查平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.
21、1或2
【解析】
根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【详解】
根据题意画出图形，过点作，交于点，交于点，四边形为正方形，.
在中，，cm，
cm.
根据勾股定理得cm.
为的中点，cm，
在和中，
，
，.
，，
，即.
在中，， cm.
由对称性得到 cm，
综上，等于1cm或2cm.
故答案为：1或2.
此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22、-1．
【解析】
根据零指数幂以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【详解】
解：原式＝1﹣（﹣2）2＝1﹣4＝﹣1
故答案为：﹣1．
本题考查了零指数幂以及负整数指数幂的运算，掌握基本的运算法则是解题的关键．
23、
【解析】
根据不等式的性质逐一进行解答即可得.
【详解】
若，根据不等式性质2，两边同时乘以3，不等号方向不变，则；
根据不等式性质3，不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，则有，再根据不等式性质1，两边同时加上1，不等号方向不变，则，
故答案为：；．
本题考查了不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）30元，32元（2）（3）当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
【解析】
（1）根据“购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元”和“购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元”列方程组求解即可.
（2）根据题意分别列出函数关系式.
（3）由、、列式作出判断.
【详解】
解：（1）设A品牌计算机的单价为ｘ元，B品牌计算机的单价为ｙ元，则由题意可知：
，解得.
答：A，B两种品牌计算机的单价分别为30元，32元.
（2）由题意可知：，即.
当时，；
当时，，即.
（3）当购买数量超过5个时，.
①当时，，解得，
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；
②当时，，解得，
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；
③当时，，解得，
即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
25、（1）等腰直角三角形；（1）①补全图形;②的形状是等腰三角形,证明见解析.
【解析】
（1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由点P与点B重合，点M，N分别为BC，AP的中点，易得BN=BM，即可判定△EPN的形状是：等腰直角三角形；
（1）①首先根据题意画出图形；
②首先在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，易得MN是△APF的中位线，证得∠1=∠1，易证得△ABF≌△DCP（SAS），则可得∠1=∠3，继而证得∠1=∠1，则可判定△EPM的形状是：等腰三角形.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵点M，N分别为BC，AP的中点，
∴当点P与点B重合时，BN=BM，
∴当点P与点B重合时，△EPM的形状是：等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（1）补全图形，如图1所示．
的形状是等腰三角形．
证明： 在MC上截取MF，使MF = PM，连结AF，
如图1所示．∵ N是AP的中点，PM = MF，
∴MN是△APF的中位线．∴MN∥AF．
∴．=
∵ M是BC的中点，PM = MF，∴BM+MF=CM+PM．即BF=PC．
∵四边形ABCD是正方形，∴，AB=DC．
∴△ABF≌△DCP． ∴．
∴．
∴EP=EM．∴△EPM是等腰三角形．
此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键.
26、（1）见解析；（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
【解析】
分析：（1）根据已知条件发现：可以证明四边形的对角线互相垂直平分即是一个菱形．
（2）菱形要是一个正方形，则根据正方形的对角线平分一组对角，即∠BEF=45°，则∠A=45°．
详（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC．
又∵∠ACB=90°，
∴EF⊥BC．
又∵BD=CD，DF=ED，
∴四边形BECF是菱形．
（2）解：要使菱形BECF是正方形
则有BE⊥CE
∵E是△ABC的边AB的中点
∴当△CBA是等腰三角形时，满足条件
∵∠BCA=90°
∴△CBA是等腰直角三角形
∴当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
点睛：（1）熟悉菱形的判定方法；（2）探索性的试题，可以从若要满足结论，则需具备什么条件进行分析．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
戍
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85