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高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系精品学案及答案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系精品学案及答案，文件包含23匀变速直线运动的位移与时间的关系原卷版docx、23匀变速直线运动的位移与时间的关系解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。
知识点1：匀速直线运动的位移
1.位移公式
x= vt，方向由起点指向终点。
2.v-t 图像
如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位移为正；当“面积”在t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移为负。
对相对位移的理解
如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示，甲、乙反向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。
知识点2： 匀变速直线运动的位移
1.微分思想在匀变速直线运动的v-t 图像中的应用
（1）微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想。
如图所示，在匀变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若△t时间内速度的变化非常小，△t内的运动就可近似看成匀速运动，Si=vi△t，S面积=v1△t+v2△t＋v3△t+…，但每一个△t内的速度v都小于实际的速度，故S面积只能粗略表示0～t0时间内的位移。
当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线与t轴所围图形的面积，此面积更能精确表示0～t0时间内的位移。
（2）匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。
2.匀变速直线运动的位移的表达式
（1）公式推导
如图所示，匀变速直线运动在0～t时间内的位移在数值上等于直线AP与t轴围成的梯形OAPQ的面积。
方法1∶x=x1+x2=OA·OQ＋AR·RP=v0t+at·t，即位移x=v0t+at2。
方法2∶x=（OA＋QP）×OQ，即x=（v0＋v）t，又v=v0＋at，联立可得x=v0t+at2。
x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
对x=v0t+at2的理解
①适用范围∶位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。
②矢量性∶公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动，若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。
③公式的基本应用∶公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。
公式x=v0t+at2经常与公式v=v0＋at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。
（1）匀变速直线运动的v-t图像
如图所示，0～t1时间内的位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移为x1与x2的代数和，总路程为Ix1I＋lx2I。
（2）匀加速直线运动的x-t图像
①匀加速直线运动的位移—时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次函数关系，位移不是随时间均匀增大的。
②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为-t图像再分析。
（3）位移—时间公式的适用范围
位移—时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。
（4）位移公式的两种特殊形式
①当a= 0时，x=v0t（匀速直线运动）。
②当v0= 0时，x=at2，即位移与时间的平方成正比。
（5） 匀减速直线运动的位移表达式
物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，位移表达式可以写成x=v0t-at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=v0t+at2（a代入的数值应为负值）。
逆向思维法∶末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x = vt-at2。
【典例1】质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t+t2（各物理量均采用国际单位制单位），下列说法正确的是（ ）
A．该质点的加速度大小为1m/s2B．该质点在1s末的速度大小为6m/s
C．前2s内的位移为8mD．该质点第2s内的平均速度为8m/s
【典例2】做匀减速直线运动的物体经4 s停止，若在4 s内的位移是32 m，则最后1 s内的位移大小是（ ）
A．3.5 mB．2 m
C．1 mD．0
【典例3】某物体沿平直轨道以2m/s2的加速度做匀变速直线运动，某时刻测得物体的速度大小为4m/s，则在此后的2s内，物体的位移大小可能为（ ）
A．6mB．12mC．8mD．0
【典例4】以8m/s的速度行驶的汽车，零时刻以4m/s2的加速度做匀加速直线运动。求：
（1） 汽车3s末的速度大小；
（2）汽车在第4s内的位移大小；
（3）若汽车在零时刻以4m/s2的加速度刹车，刹车过程看做匀减速直线运动，求3s后汽车速度与位移大小。
知识点3： 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.公式推导
物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=v0＋at，位移公式x=v0t+at2，联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-v02=2ax。
如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-v02=2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。
2.对公式v2-v02=2ax的理解
（1）v2-v02=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。
②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。
（2）特殊情况∶当v0=0时，公式简化为v2=2ax（物体做初速度为零的匀加速直线运动）;当v=0时，公式简化为-v02=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），也可以视为从静止开始、末速度为v0的反向的匀加速直线运动。
（1）匀减速直线运动的速度与位移的关系
公式x =中，a和x可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减为零后即静止，故a为负，x不可能为负。
（2）用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有“-”。要根据实际情况来判断“+”有“-”是否都有意义。
知识点4：匀变速直线运动规律总结
1.匀变速直线运动的基本关系式及推论
（1）速度与时间关系式∶v=v0＋at①，题目中不涉及位移x，可直接选用。
（2）位移与时间关系式∶x=v0t+at2②，题目中不涉及末速度v，方便使用。
（3）速度与位移关系式∶v2-v02=2ax③，题目中不涉及时间t，可直接选用。
（4）平均速度求位移公式∶x =④，题目中不涉及加速度a，方便使用。
（5）纸带数据常用推论公式∶△x=aT2⑤，未涉及物理量v。
（1）前三个公式包括五个物理量v、v0、a、x、t，已知其中任意三个，可求其余两个。
以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论式，公式中涉及初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取v0的方向为正方向），并注意各物理量的正负。
（2）匀变速直线运动的公式及推论
【典例5】小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时（如图所示）小车的速度为v，BC的距离是AB的2倍，则到达C点时小车的速度为（ ）
A．3vB．3vC．2vD．2v
【典例6】竖井的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一升降机从竖井的井底由静止做匀加速直线运动，在上升16m达到最大速度8m/s的瞬间立即做匀减速直线运动，运行到井口时的速度恰好为0，此次升降机运行的总时间为12s。下列说法正确的是（ ）
A．升降机减速时的加速度大小为2m/s2B．升降机加速时的加速度大小为2m/s2
C．升降机此次运行上升的总距离为32mD．升降机减速上升的距离为8m
【典例7】汽车由静止开始从A点沿直线ABC做匀加速直线运动，汽车从A点运动到C点用时2s，前一半时间汽车的平均速度大小为1m/s，后一半时间的平均速度大小为3m/s，B点为AC的位置中点，汽车可以视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的加速度为1m/s2B．AC两点的距离为8m
C．汽车在C点的速度为6m/sD．汽车在B点的速度为22m/s
重难点1：匀变速直线运动的重要推论
1.平均速度
（1）平均速度的一般表达式∶，适用于任何形式的运动。
（2）匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即
推导∶
（方法一）如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图线与横轴围成的梯形的面积，即x=（v0+vt）t，故平均速度。
（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vt=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得，即
2.中间时刻的速度
匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即：
推导∶
在方法一的v-t图像中，在0～，有；在～t，有可得。
（1）平均速度是过程量，公式中的v0和vt表示所取过程的初速度和末速度。
（2）适用于任何形式的运动，而只适用于匀变速直线运动，不适用于非匀变逃直线运动。
（3）用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但是矢量式，故应注意各物理量的方向。
3.逐差法
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移差是一个定值，即△x= x2-x1 = aT2
推导
①公式法：设物体的初速度为v0，在第1个T时间内的位移x1=v0T+aT 2，2T时间内的位移x=v0·（2T）+a·（2T）2，在第2个T时间内的位移x2=x-x1=v0T+aT 2，连续相等时间 T内的位移差△x=x2-x1=v0T+aT 2-v0T-aT 2=aT 2，即△x=aT 2
进一步推导可得;x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=xn - xn-1=aT 2
②图像法∶如图所示，可知x2-x1=aT 2
（1）该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差是一个定值，此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是匀变速直线运动。
（2）在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度时常用逐差法。
（3）xm-xn=（m-n）aT 2的推导：
x2-x1=aT2，
x3-x2=aT2
…
xm-xn=（m-n）aT 2
【典例8】做匀加速直线运动的质点，在第6s内和前5s内的平均速度之差是3m/s，则此质点运动的加速度大小为（ ）
A．1m/s2B．2m/s2C．3m/s2D．6m/s2
【典例9】在国庆节阅兵仪式中，某直升机静止在地面上空的O点处于待命状态，接到命令后，该直升机由静止开始做匀加速直线运动，先后经过A、B、C三点，如图所示。已知直升机通过AB、BC的时间相等，AB=32m，BC=40m，则O、A间的距离为（ ）
A．48mB．49m
C．50mD．51m
【典例10】有一物体从静止开始做匀加速直线运动，若在第1s内的位移是3m，则第5s内的位移是（ ）
A．30mB．15mC．27mD．22.5m
【典例11】物体沿一直线做匀加速直线运动，已知它在第2s内的位移为3m，第3s内的位移为5m，则下列判断中正确的是（ ）
A．它的初速度为1m/s
B．它在第1s内的位移是2m
C．它的加速度大小是2m/s
D．它从第2s初到第3s末内的平均速度大于4m/s
【典例12】（多选）汽车在平直公路上做匀变速直线运动，途中用了经过A、B、C三根电线杆，通过AB耗时4s，A、B间的距离为16m，通过BC耗时2s，B、C间的距离为14m则（ ）
A．车做匀减速直线运动B．车的加速度大小为1m/s2
C．车经过B点的速度为5m/sD．全程的平均速度小于B点的瞬时速度
【典例13】从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片（照片与实际大小相同），测得xAB＝15cm，xBC＝20cm.试问：
（1）小球的加速度的大小；
（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；
（3）A点的上方滚动的小球还有几个。
重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度
1.公式推导
设匀变速直线运动的初速度为v0、末速度为vt、加速度为a、位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示。
对前半段位移有，
对后半段位移有，两式联立可得。
2.结论
（1）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。
（2）不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明方法一：图像法。分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出时刻的位移小于，因此位移为的时刻，则>;由图乙可知，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
证明方法二∶数学比较法
①作差法
。则>。
②作商法
，则>。
【典例14】汽车已经走进了千家万户，成为普通家庭的消费品，驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行一项路考——定点停车。路旁竖一标志杆，在车以大小为v的速度匀速行驶的过程中，当车头与标志杆的距离为x时，学员立即刹车，让车做匀减速直线运动，车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间，则汽车刹车（ ）
A．时间为xvB．加速度大小为v22x
C．经过一半时间时的位移大小为x2D．经过一半距离时的速度大小为v2
【典例15】一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别是v和7v，经过AB的时间是t，则下列判断中不正确的是（ ）
A．经过AB的平均速度为4v
B．经过AB的中间时刻的速度为4v
C．经过AB的中点的速度为4v
D．通过前一半位移所需时间是通过后一半位移所需时间的2倍
【典例16】（多选）“科技冬奥”是北京冬奥会馆的一大亮点，上百个机器人承担起疫情防控和服务的重任，提供消杀、送餐、导引、清洁等服务。已知一机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则（ ）
A．该机器人在这段时间内前进的距离为12vt
B．该机器人在前12t内和后12t内的位移之比为3∶1
C．该机器人在位移中点的速度为12v
D．该机器人在中间时刻的速度为22v
重难点3：纸带问题的外理方法
1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动
常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等的时间间隔内的位移差是否满足关系式xn+1 - xn=恒量。
若x2 - x1=x3 - x2=x4 - x3=0，则物体做匀速直线运动
若x2 - x1=x3 - x2=x4 - x3=△x≠0，则物体做匀变速直线运动.
若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表△x，若为定值（不为零），则物体做匀变速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。
2.瞬时速度 v的求法
（1）非首、末点的瞬时速度∶一般利用“平均速度法”，即n=
（2）首、末点的瞬时速度∶一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速度的平均值，即
若为理想纸带（即不考虑△x的误差），可将首、末点前延或后补一段位移，该段位移的大小为x±△x，从而使首、末点变为非首末点进行处理。
3.由纸带求物体运动加速度的方法
（1）利用“逐差法”求加速度。若为偶数段（假设为6段），则，，，然后取平均值，即；或由直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"整体二分法".
（2）图像法∶
①瞬时速度一时间图像：图线斜率表示加速度a，先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时速度，然后作出v-t图像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即a=。
②平均速度—时间图像∶斜率代表a。
如图所示，x代表物体自计时起点t时间内发生的位移，符合匀变速直线运动的位移—时间关系式x =v0＋at2，故 ，即此时图线的斜率k =a。
重难点4：几种常见纸带的处理
1.连续型纸带
如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点0到各个计数点间的距离;如图乙所示纸带中，可以测得具有相等时间间隔的相邻各个计数点间的距离.
以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法△x=aT2求匀变速直线运动的加速度。
2.间隔型纸带
如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不可测量，这种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（s1+s2）视为一段，（s5+s6）视为另一段，利用xm-xn=（m-n）aT2求解加速度a即可。
3.重叠型纸带
如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重叠，这种即为重叠型纸带，可利用已知数据之差x2-x1，结合x2→3 - x0→1=2aT2，从而求得加速度a。
【典例17】某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为50Hz。
（1）打点计时器是一种______（选填“计时”或“测位移”）的仪器，图甲中电火花打点计时器的工作电压为______（选填“直流”或“交流”）_____V（选填“220V”或“8V”）。
（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、砝码、导线及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有________
A．天平
B．电压可调的直流电源
C．刻度尺
D．秒表
（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，则v = ___________m/s，a = ___________m/s2。（结果均保留2位有效数字）
【典例18】在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，点迹分布如图所示。打点计时器接频率为f的交流电源。
（1）该实验_________平衡摩擦力，_________满足钩码质量远小于木块的质量（均选填“需要”或“不需要”）；
（2）打下点6时纸带的速度大小_________（用给定的字母表示）；
（3）如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，那么测得的速度值比真实值_________（选填“偏大”或“偏小”）。
一、单选题
1．送餐员经过一路口前做匀减速直线运动，经过A、B两点时的速度大小分别为14m/s和2m/s，C点为AB的中点，送餐员从A点运动到C点的时间为2s，AB两点间的距离为（ ）
A．48mB．32mC．16mD．8m
2．某人骑电动车，在距离十字路口停车线6m处看到信号灯变红，立即刹车，做匀减速直线运动，电动车刚好在停止线处停下。已知电动车在减速过程中，第1s的位移是最后1s位移的5倍，忽略反应时间。下列关于电动车的刹车过程说法正确的是（ ）
A．刹车时间为2s
B．刹车的加速度大小为2m/s2
C．中间时刻的速度大小为2m/s
D．中间位置的速度大小为2m/s
3．“百公里刹车距离”是指汽车以100km/h的速度行驶时，刹车踩到底，达到最大制动力时的刹车距离。某汽车做百公里刹车距离测试时，先后经过平直公路上A、B两点，已知A、B两点之间的距离为L，汽车经过A、B两点的时刻相差t0，汽车经过A点时的速度大小为经过B点时速度大小的4倍，刹车过程可视为匀减速直线运动，则此过程中该汽车刹车时的加速度大小为（ ）
A．4L3t02B．6L5t02C．L2t02D．2Lt02
4．一个做匀减速直线运动的物体，先后通过A、B两点时的速度分别是vA、vB，所经历的时间为t，经过的位移是s。则当物体经过t2时间和s2位移的瞬时速度分别为（ ）
A．vA+vB2,vA+vB2B．vA−vB2,vA2+vB22
C．vA+vB2,vA2+vB22D．vA−vB2,vA2−vB22
5．一辆汽车在平直公路上由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后保持匀速运动。已知汽车在启动后的第2s内前进了6m，第4s内前进了13.5m，下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速时的加速度大小为6m/s2B．汽车在前4s内前进了31.5m
C．汽车的最大速度为16m/sD．汽车的加速距离为20m
6．2024年3月28日小米SU7在北京发布，若该款汽车在平直道路上行驶时，从某时刻开始的一段时间内其位置与时间的关系是x=5t2+3t+6m，则以下说法正确的是（ ）
A．初始时刻汽车在坐标原点B．1s末汽车离坐标原点8m
C．第一秒内平均速度为8m/sD．前两秒内平均速度为16m/s
7．A、B两个质点在同一地点沿同一方向运动，运动的位移x随时间t变化规律如图所示，A的图像为抛物线，B的图像为倾斜直线，两图像相切于P点，则0~3s内，A、B两质点的最大距离为（ ）
A．4.5mB．6mC．9mD．13.5m
8．国产新型磁悬浮列车甲、乙（都可视为质点）分别处于两条平行直轨道上。开始时（t=0），乙车在前，甲车在后，两车间距为x0，在t=0时甲车先启动，t=3s时乙车再启动，两车启动后都是先做匀加速运动，后做匀速运动，两车运动的v−t图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在两车加速过程中，甲车的加速度大于乙车的加速度
B．无论x0取何值，甲、乙两车一定在7s末相遇
C．若x0=70m，则两车间距离最小为30m
D．在0∼7s内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
二、实验题
9．某同学应用图1所示的装置探究小车速度随时间的变化。
（1）使用的器材有：斜面（含垫片）小车，纸带、刻度尺，电磁打点计时器和导线等。电磁打点计时器应接 （填选项序号）。
A．低压直流电源 B．频率为50Hz的低压交流电源
C．频率为50Hz的220V交流电源 D．220V直流电源
（2）图2是实验得到的一条纸带（图中相邻两计数点间还有4个计时点未画出）。小车的加速度大小a= m/s2，计数点6对应的小车瞬时速度大小为 （结果均保留2位有效数字）。
（3）该同学将上述纸带每隔0.1s剪断，得到6条短纸条，把它们并排贴在一张纸上，使纸条的下端对齐，作为时间坐标轴，标出时间。最后将纸条上端中心连起来，于是得到如图所示的v—t图像。这种方法可行，是因为在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度 （填“大于”“等于”或“小于”）该段时间中间时刻的瞬时速度。
三、解答题
10．2024年，东北地区：哈尔滨、长春、沈阳、大连四座城市将有新的地铁线路开通，新线路将会大大减轻交通压力，加快城市的发展。沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6km，列车运行最大速度为72km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大小的45倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，S→A用时2s，B→C用时4s，且SA长2m，BC长24m。求：
（1）列车在C点的速度大小；
（2）列车匀速行驶的时间。
知识点1：匀速直线运动的位移
1.位移公式
x= vt，方向由起点指向终点。
2.v-t 图像
如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位移为正；当“面积”在t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移为负。
对相对位移的理解
如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示，甲、乙反向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。
知识点2： 匀变速直线运动的位移
1.微分思想在匀变速直线运动的v-t 图像中的应用
（1）微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想。
如图所示，在匀变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若△t时间内速度的变化非常小，△t内的运动就可近似看成匀速运动，Si=vi△t，S面积=v1△t+v2△t＋v3△t+…，但每一个△t内的速度v都小于实际的速度，故S面积只能粗略表示0～t0时间内的位移。
当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线与t轴所围图形的面积，此面积更能精确表示0～t0时间内的位移。
（2）匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。
2.匀变速直线运动的位移的表达式
（1）公式推导
如图所示，匀变速直线运动在0～t时间内的位移在数值上等于直线AP与t轴围成的梯形OAPQ的面积。
方法1∶x=x1+x2=OA·OQ＋AR·RP=v0t+at·t，即位移x=v0t+at2。
方法2∶x=（OA＋QP）×OQ，即x=（v0＋v）t，又v=v0＋at，联立可得x=v0t+at2。
x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
对x=v0t+at2的理解
①适用范围∶位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。
②矢量性∶公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动，若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。
③公式的基本应用∶公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。
公式x=v0t+at2经常与公式v=v0＋at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。
（1）匀变速直线运动的v-t图像
如图所示，0～t1时间内的位移x1取正值，t1～t2时间内的位移x2取负值，则0～t2时间内的总位移为x1与x2的代数和，总路程为Ix1I＋lx2I。
（2）匀加速直线运动的x-t图像
①匀加速直线运动的位移—时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次函数关系，位移不是随时间均匀增大的。
②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为-t图像再分析。
（3）位移—时间公式的适用范围
位移—时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。
（4）位移公式的两种特殊形式
①当a= 0时，x=v0t（匀速直线运动）。
②当v0= 0时，x=at2，即位移与时间的平方成正比。
（5） 匀减速直线运动的位移表达式
物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，位移表达式可以写成x=v0t-at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=v0t+at2（a代入的数值应为负值）。
逆向思维法∶末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x = vt-at2。
【典例1】质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t+t2（各物理量均采用国际单位制单位），下列说法正确的是（ ）
A．该质点的加速度大小为1m/s2B．该质点在1s末的速度大小为6m/s
C．前2s内的位移为8mD．该质点第2s内的平均速度为8m/s
【典例2】做匀减速直线运动的物体经4 s停止，若在4 s内的位移是32 m，则最后1 s内的位移大小是（ ）
A．3.5 mB．2 m
C．1 mD．0
【典例3】某物体沿平直轨道以2m/s2的加速度做匀变速直线运动，某时刻测得物体的速度大小为4m/s，则在此后的2s内，物体的位移大小可能为（ ）
A．6mB．12mC．8mD．0
【典例4】以8m/s的速度行驶的汽车，零时刻以4m/s2的加速度做匀加速直线运动。求：
（1） 汽车3s末的速度大小；
（2）汽车在第4s内的位移大小；
（3）若汽车在零时刻以4m/s2的加速度刹车，刹车过程看做匀减速直线运动，求3s后汽车速度与位移大小。
知识点3： 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.公式推导
物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=v0＋at，位移公式x=v0t+at2，联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-v02=2ax。
如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-v02=2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。
2.对公式v2-v02=2ax的理解
（1）v2-v02=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。
②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。
（2）特殊情况∶当v0=0时，公式简化为v2=2ax（物体做初速度为零的匀加速直线运动）;当v=0时，公式简化为-v02=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），也可以视为从静止开始、末速度为v0的反向的匀加速直线运动。
（1）匀减速直线运动的速度与位移的关系
公式x =中，a和x可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减为零后即静止，故a为负，x不可能为负。
（2）用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有“-”。要根据实际情况来判断“+”有“-”是否都有意义。
知识点4：匀变速直线运动规律总结
1.匀变速直线运动的基本关系式及推论
（1）速度与时间关系式∶v=v0＋at①，题目中不涉及位移x，可直接选用。
（2）位移与时间关系式∶x=v0t+at2②，题目中不涉及末速度v，方便使用。
（3）速度与位移关系式∶v2-v02=2ax③，题目中不涉及时间t，可直接选用。
（4）平均速度求位移公式∶x =④，题目中不涉及加速度a，方便使用。
（5）纸带数据常用推论公式∶△x=aT2⑤，未涉及物理量v。
（1）前三个公式包括五个物理量v、v0、a、x、t，已知其中任意三个，可求其余两个。
以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论式，公式中涉及初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取v0的方向为正方向），并注意各物理量的正负。
（2）匀变速直线运动的公式及推论
【典例5】小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时（如图所示）小车的速度为v，BC的距离是AB的2倍，则到达C点时小车的速度为（ ）
A．3vB．3vC．2vD．2v
【典例6】竖井的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一升降机从竖井的井底由静止做匀加速直线运动，在上升16m达到最大速度8m/s的瞬间立即做匀减速直线运动，运行到井口时的速度恰好为0，此次升降机运行的总时间为12s。下列说法正确的是（ ）
A．升降机减速时的加速度大小为2m/s2B．升降机加速时的加速度大小为2m/s2
C．升降机此次运行上升的总距离为32mD．升降机减速上升的距离为8m
【典例7】汽车由静止开始从A点沿直线ABC做匀加速直线运动，汽车从A点运动到C点用时2s，前一半时间汽车的平均速度大小为1m/s，后一半时间的平均速度大小为3m/s，B点为AC的位置中点，汽车可以视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的加速度为1m/s2B．AC两点的距离为8m
C．汽车在C点的速度为6m/sD．汽车在B点的速度为22m/s
重难点1：匀变速直线运动的重要推论
1.平均速度
（1）平均速度的一般表达式∶，适用于任何形式的运动。
（2）匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即
推导∶
（方法一）如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图线与横轴围成的梯形的面积，即x=（v0+vt）t，故平均速度。
（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vt=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得，即
2.中间时刻的速度
匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即：
推导∶
在方法一的v-t图像中，在0～，有；在～t，有可得。
（1）平均速度是过程量，公式中的v0和vt表示所取过程的初速度和末速度。
（2）适用于任何形式的运动，而只适用于匀变速直线运动，不适用于非匀变逃直线运动。
（3）用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但是矢量式，故应注意各物理量的方向。
3.逐差法
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移差是一个定值，即△x= x2-x1 = aT2
推导
①公式法：设物体的初速度为v0，在第1个T时间内的位移x1=v0T+aT 2，2T时间内的位移x=v0·（2T）+a·（2T）2，在第2个T时间内的位移x2=x-x1=v0T+aT 2，连续相等时间 T内的位移差△x=x2-x1=v0T+aT 2-v0T-aT 2=aT 2，即△x=aT 2
进一步推导可得;x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=xn - xn-1=aT 2
②图像法∶如图所示，可知x2-x1=aT 2
（1）该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差是一个定值，此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是匀变速直线运动。
（2）在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度时常用逐差法。
（3）xm-xn=（m-n）aT 2的推导：
x2-x1=aT2，
x3-x2=aT2
…
xm-xn=（m-n）aT 2
【典例8】做匀加速直线运动的质点，在第6s内和前5s内的平均速度之差是3m/s，则此质点运动的加速度大小为（ ）
A．1m/s2B．2m/s2C．3m/s2D．6m/s2
【典例9】在国庆节阅兵仪式中，某直升机静止在地面上空的O点处于待命状态，接到命令后，该直升机由静止开始做匀加速直线运动，先后经过A、B、C三点，如图所示。已知直升机通过AB、BC的时间相等，AB=32m，BC=40m，则O、A间的距离为（ ）
A．48mB．49m
C．50mD．51m
【典例10】有一物体从静止开始做匀加速直线运动，若在第1s内的位移是3m，则第5s内的位移是（ ）
A．30mB．15mC．27mD．22.5m
【典例11】物体沿一直线做匀加速直线运动，已知它在第2s内的位移为3m，第3s内的位移为5m，则下列判断中正确的是（ ）
A．它的初速度为1m/s
B．它在第1s内的位移是2m
C．它的加速度大小是2m/s
D．它从第2s初到第3s末内的平均速度大于4m/s
【典例12】（多选）汽车在平直公路上做匀变速直线运动，途中用了经过A、B、C三根电线杆，通过AB耗时4s，A、B间的距离为16m，通过BC耗时2s，B、C间的距离为14m则（ ）
A．车做匀减速直线运动B．车的加速度大小为1m/s2
C．车经过B点的速度为5m/sD．全程的平均速度小于B点的瞬时速度
【典例13】从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片（照片与实际大小相同），测得xAB＝15cm，xBC＝20cm.试问：
（1）小球的加速度的大小；
（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；
（3）A点的上方滚动的小球还有几个。
重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度
1.公式推导
设匀变速直线运动的初速度为v0、末速度为vt、加速度为a、位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示。
对前半段位移有，
对后半段位移有，两式联立可得。
2.结论
（1）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。
（2）不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明方法一：图像法。分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出时刻的位移小于，因此位移为的时刻，则>;由图乙可知，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
证明方法二∶数学比较法
①作差法
。则>。
②作商法
，则>。
【典例14】汽车已经走进了千家万户，成为普通家庭的消费品，驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行一项路考——定点停车。路旁竖一标志杆，在车以大小为v的速度匀速行驶的过程中，当车头与标志杆的距离为x时，学员立即刹车，让车做匀减速直线运动，车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间，则汽车刹车（ ）
A．时间为xvB．加速度大小为v22x
C．经过一半时间时的位移大小为x2D．经过一半距离时的速度大小为v2
【典例15】一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别是v和7v，经过AB的时间是t，则下列判断中不正确的是（ ）
A．经过AB的平均速度为4v
B．经过AB的中间时刻的速度为4v
C．经过AB的中点的速度为4v
D．通过前一半位移所需时间是通过后一半位移所需时间的2倍
【典例16】（多选）“科技冬奥”是北京冬奥会馆的一大亮点，上百个机器人承担起疫情防控和服务的重任，提供消杀、送餐、导引、清洁等服务。已知一机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则（ ）
A．该机器人在这段时间内前进的距离为12vt
B．该机器人在前12t内和后12t内的位移之比为3∶1
C．该机器人在位移中点的速度为12v
D．该机器人在中间时刻的速度为22v
重难点3：纸带问题的外理方法
1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动
常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等的时间间隔内的位移差是否满足关系式xn+1 - xn=恒量。
若x2 - x1=x3 - x2=x4 - x3=0，则物体做匀速直线运动
若x2 - x1=x3 - x2=x4 - x3=△x≠0，则物体做匀变速直线运动.
若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表△x，若为定值（不为零），则物体做匀变速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。
2.瞬时速度 v的求法
（1）非首、末点的瞬时速度∶一般利用“平均速度法”，即n=
（2）首、末点的瞬时速度∶一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速度的平均值，即
若为理想纸带（即不考虑△x的误差），可将首、末点前延或后补一段位移，该段位移的大小为x±△x，从而使首、末点变为非首末点进行处理。
3.由纸带求物体运动加速度的方法
（1）利用“逐差法”求加速度。若为偶数段（假设为6段），则，，，然后取平均值，即；或由直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"整体二分法".
（2）图像法∶
①瞬时速度一时间图像：图线斜率表示加速度a，先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时速度，然后作出v-t图像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即a=。
②平均速度—时间图像∶斜率代表a。
如图所示，x代表物体自计时起点t时间内发生的位移，符合匀变速直线运动的位移—时间关系式x =v0＋at2，故 ，即此时图线的斜率k =a。
重难点4：几种常见纸带的处理
1.连续型纸带
如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点0到各个计数点间的距离;如图乙所示纸带中，可以测得具有相等时间间隔的相邻各个计数点间的距离.
以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法△x=aT2求匀变速直线运动的加速度。
2.间隔型纸带
如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不可测量，这种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（s1+s2）视为一段，（s5+s6）视为另一段，利用xm-xn=（m-n）aT2求解加速度a即可。
3.重叠型纸带
如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重叠，这种即为重叠型纸带，可利用已知数据之差x2-x1，结合x2→3 - x0→1=2aT2，从而求得加速度a。
【典例17】某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为50Hz。
（1）打点计时器是一种______（选填“计时”或“测位移”）的仪器，图甲中电火花打点计时器的工作电压为______（选填“直流”或“交流”）_____V（选填“220V”或“8V”）。
（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、砝码、导线及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有________
A．天平
B．电压可调的直流电源
C．刻度尺
D．秒表
（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，则v = ___________m/s，a = ___________m/s2。（结果均保留2位有效数字）
【典例18】在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，点迹分布如图所示。打点计时器接频率为f的交流电源。
（1）该实验_________平衡摩擦力，_________满足钩码质量远小于木块的质量（均选填“需要”或“不需要”）；
（2）打下点6时纸带的速度大小_________（用给定的字母表示）；
（3）如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，那么测得的速度值比真实值_________（选填“偏大”或“偏小”）。
一、单选题
1．送餐员经过一路口前做匀减速直线运动，经过A、B两点时的速度大小分别为14m/s和2m/s，C点为AB的中点，送餐员从A点运动到C点的时间为2s，AB两点间的距离为（ ）
A．48mB．32mC．16mD．8m
2．某人骑电动车，在距离十字路口停车线6m处看到信号灯变红，立即刹车，做匀减速直线运动，电动车刚好在停止线处停下。已知电动车在减速过程中，第1s的位移是最后1s位移的5倍，忽略反应时间。下列关于电动车的刹车过程说法正确的是（ ）
A．刹车时间为2s
B．刹车的加速度大小为2m/s2
C．中间时刻的速度大小为2m/s
D．中间位置的速度大小为2m/s
3．“百公里刹车距离”是指汽车以100km/h的速度行驶时，刹车踩到底，达到最大制动力时的刹车距离。某汽车做百公里刹车距离测试时，先后经过平直公路上A、B两点，已知A、B两点之间的距离为L，汽车经过A、B两点的时刻相差t0，汽车经过A点时的速度大小为经过B点时速度大小的4倍，刹车过程可视为匀减速直线运动，则此过程中该汽车刹车时的加速度大小为（ ）
A．4L3t02B．6L5t02C．L2t02D．2Lt02
4．一个做匀减速直线运动的物体，先后通过A、B两点时的速度分别是vA、vB，所经历的时间为t，经过的位移是s。则当物体经过t2时间和s2位移的瞬时速度分别为（ ）
A．vA+vB2,vA+vB2B．vA−vB2,vA2+vB22
C．vA+vB2,vA2+vB22D．vA−vB2,vA2−vB22
5．一辆汽车在平直公路上由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后保持匀速运动。已知汽车在启动后的第2s内前进了6m，第4s内前进了13.5m，下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速时的加速度大小为6m/s2B．汽车在前4s内前进了31.5m
C．汽车的最大速度为16m/sD．汽车的加速距离为20m
6．2024年3月28日小米SU7在北京发布，若该款汽车在平直道路上行驶时，从某时刻开始的一段时间内其位置与时间的关系是x=5t2+3t+6m，则以下说法正确的是（ ）
A．初始时刻汽车在坐标原点B．1s末汽车离坐标原点8m
C．第一秒内平均速度为8m/sD．前两秒内平均速度为16m/s
7．A、B两个质点在同一地点沿同一方向运动，运动的位移x随时间t变化规律如图所示，A的图像为抛物线，B的图像为倾斜直线，两图像相切于P点，则0~3s内，A、B两质点的最大距离为（ ）
A．4.5mB．6mC．9mD．13.5m
8．国产新型磁悬浮列车甲、乙（都可视为质点）分别处于两条平行直轨道上。开始时（t=0），乙车在前，甲车在后，两车间距为x0，在t=0时甲车先启动，t=3s时乙车再启动，两车启动后都是先做匀加速运动，后做匀速运动，两车运动的v−t图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在两车加速过程中，甲车的加速度大于乙车的加速度
B．无论x0取何值，甲、乙两车一定在7s末相遇
C．若x0=70m，则两车间距离最小为30m
D．在0∼7s内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
二、实验题
9．某同学应用图1所示的装置探究小车速度随时间的变化。
（1）使用的器材有：斜面（含垫片）小车，纸带、刻度尺，电磁打点计时器和导线等。电磁打点计时器应接 （填选项序号）。
A．低压直流电源 B．频率为50Hz的低压交流电源
C．频率为50Hz的220V交流电源 D．220V直流电源
（2）图2是实验得到的一条纸带（图中相邻两计数点间还有4个计时点未画出）。小车的加速度大小a= m/s2，计数点6对应的小车瞬时速度大小为 （结果均保留2位有效数字）。
（3）该同学将上述纸带每隔0.1s剪断，得到6条短纸条，把它们并排贴在一张纸上，使纸条的下端对齐，作为时间坐标轴，标出时间。最后将纸条上端中心连起来，于是得到如图所示的v—t图像。这种方法可行，是因为在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度 （填“大于”“等于”或“小于”）该段时间中间时刻的瞬时速度。
三、解答题
10．2024年，东北地区：哈尔滨、长春、沈阳、大连四座城市将有新的地铁线路开通，新线路将会大大减轻交通压力，加快城市的发展。沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6km，列车运行最大速度为72km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大小的45倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，S→A用时2s，B→C用时4s，且SA长2m，BC长24m。求：
（1）列车在C点的速度大小；
（2）列车匀速行驶的时间。
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