高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程当堂达标检测题，共37页。

姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C过点P的切线方程.
2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P4,3的该圆的切线方程.
3．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆C:x2+y−12=5.
(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l和圆C交于A，B两点.
①若|AB|=17，求l的倾斜角；
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m）
7．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，且圆心P在直线y=x上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点Q(−1,2)的直线交圆P于A,B两点，当AB=23时，求直线AB的方程．
8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆C1:(x+3)2+(y−2)2=8与圆C2关于直线4x−2y+1=0对称.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)直线3x+4y+m−5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在△MC2N内部，求m的取值范围.
9．（2023秋·高一单元测试）已知以点Ct,2tt∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．
(1)试写出圆C的标准方程；
(2)设直线y=−2x+4与圆C交于M，N两点，若OM=ON，求圆C的标准方程．
10．（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知圆C：x2+y2−6x−8y+21=0．
(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
11．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x+y−2=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若已知点P(4,23)，过点P作圆C的切线，求切线的方程．
12．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A0,3，B1,2两点，且圆心C在直线l:x+y=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程．
13．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：y=kx+22与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求k的取值范围；
(2)△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
14．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，且与y轴相切于点O0,0．
(1)求圆C的方程；
(2)已知过点P1,3的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程．
15．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−m2+y−2m−32=1，m∈R．
(1)当m=−1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于P−2,2，若圆C上存在点M，使MP=MO，求实数m的取值范围．
16．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x−5y−5=0与直线x−2y−8=0的交点C；②圆E恒被直线l:(m+1)x+(m−3)y−6m−2=0(m∈R)平分；③与y轴相切.
(1)求圆E的方程；
(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程.
17．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,−1，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为55；③直线l的一个方向向量为a=−2,−4.
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与曲线C:x2+y2−6x−2y+6=0相交于M,N两点，求弦长MN.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
19．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x−3y−4=0相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点P(3，2)，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
20．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知圆C：x−32+y2=4．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)设直线l：x=my+2m∈R
①求证：直线l与圆C恒相交；
②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
21．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1:x2+y2+12x−14y+60=0.设圆O2与x轴相切，与圆O1外切，且圆心O2在直线x=−6上.
(1)求圆O2的标准方程；
(2)设垂直于OO2的直线l与圆O1相交于B，C两点，且BC=37，求直线l的方程.
22．（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知圆M方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线l上，过P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
(1)若P点坐标为0,0，求∠APB
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
23．（2023春·广西柳州·高二校考期中）已知圆C：x2+y−12=5，直线l：mx−y+1−m=0.
(1)设直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=17，求直线l的方程；
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程.
24．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0.
(1)若直线l过点−2,0且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足PM=PO，求点P的轨迹方程.
25．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知直线l：y=kxk≠0与圆C：x2+y2−2x−3=0相交于A、B两点．
(1)若AB=13，求k；
(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
26．（2023春·四川内江·高二校考开学考试）已知点P0,2，设直线l：y=kx+b（b，k∈R）与圆C:x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点.
(1)若PA⊥PB，求b的值；
(2)若|AB|=23，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l的斜率k的值；
(3)当|PA|⋅|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
27．（2023春·安徽安庆·高二校考期中）已知半径小于6的圆C过点A8,1，且圆C与两坐标轴均相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与直线l:x−y+m=0交于A,B两点，__________，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120∘；条件②：AB=53．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
28．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）已知直线l:x=my−1，圆C:x2+y2+4x=0.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
29．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知过点A−1,0的直线l与圆C:x2+y−32=4相交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，且直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点N．
(1)当直线l与直线m垂直时，求证：直线l经过圆心C；
(2)当弦长PQ=23时，求直线l的方程；
(3)设t=AM⋅AN，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
30．（2023春·江西宜春·高二校联考期中）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若点D4,6，试求 12PA+PD的最小值．
专题2.9 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C过点P的切线方程.
【解题思路】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，代入三点的坐标，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解.
【解答过程】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
代入三个点0,2,1,1,2,2得，4+2E+F=0,2+D+E+F=0,8+2D+2E+F=0,解得D=−2,E=−4,F=4,
所以圆C的一般方程为x2+y2−2x−4y+4=0.
（2）圆C的一般方程化为标准形式为(x−1)2+(y−2)2=1.
当切线斜率不存在时，易知切线方程x=2符合题意.
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2k=0，
则依题意可得k−2−2kk2+1=1，解得k=−34，
此时切线方程为−34x−y+32=0，即3x+4y−6=0.
综上所述，圆C过点P的切线方程为x=2和3x+4y−6=0.
2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P4,3的该圆的切线方程.
【解题思路】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.
【解答过程】（1）设圆C的方程为x−22+y+12=r2r>0，
∵圆心到直线x−y−1=0的距离为d=2+1−112+−12=2，
又圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，∴r2=22+22=4，
∴圆的方程为：x−22+y+12=4.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为y−3=kx−4，即kx−y−4k+3=0，
由2k+1−4k+3k2+1=2得：k=34，∴切线方程为34x−y=0，即3x−4y=0，
综上所述：过点P4,3的圆的切线方程为x=4或3x−4y=0.
3．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解题思路】（1）求出过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程，与y=−2x联立求出圆心M，根据两点间的距离求出半径，即可得圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解答过程】（1）过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程为x−y−3=0，
联立x−y−3=0y=−2x，解得x=1y=−2，所以M1,−2,
所以圆M的半径为MP=2−12+−1+22=2,
所以圆M的方程为x−12+y+22=2.

（2）由（1）可知圆M的方程为x−12+y+22=2，
因为直线l被圆M截得的弦长为6，
所以M到直线l的距离为d=2−64=22，
若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx，
则d=k+2k2+1=22,即k2+8k+7=0,解得k=−1或−7,
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0.

4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【解题思路】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x+y=0的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【解答过程】（1）∵A(1,2)，B(5,−2)，故AB的中点坐标为3,0，kAB=−2−25−1=−1，
∴AB的垂直平分线为：y−0=−1−1x−3⇒y=x−3，
由y=x−32x+y=0解得圆心C(1,−2)，半径r=CA=CB=4
故圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=16；
（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=kx+3，即kx−y+3k+1=0
圆心C(1,−2)到直线l的距离为d=k+2+3k+11+k2=r=4，解得k=724，
所求的一条切线为7x−24y+45=0；
当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,−2)到x=−3的距离为4，即x=−3与圆相切，
所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．
5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆C:x2+y−12=5.
(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l和圆C交于A，B两点.
①若|AB|=17，求l的倾斜角；
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解题思路】（1）解法1，联立消元，根据Δ>0，即可得证；
解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；
解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；
（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；
②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数m，即可得解；
【解答过程】（1）解法1：将y=1+m(x−1)代入x2+(y−1)2=5，
得1+m2x2−2m2x+m2−5=0，因为Δ=16m2+20>0，
故直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|1+m2=1−11+m2<1于是直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法3：由已知，直线l:m(x−1)−(y−1)=0，令x−1=0−y−1=0，解得x=1y=1，
所以直线l恒过定点P(1,1)，
因为PC=12+(1−1)2<5，所以点P在圆C内，
于是直线l和圆C总有两个不同的交点.
（2）①圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|1+m2，
由弦长公式AB=2r2−d2，即252−|m|1+m22=17，解得m=±3，
即直线l的斜率为±3，于是l的倾斜角为π3或2π3.
②将y=1+m(x−1)代入x2+(y−1)2=5，
得1+m2x2−2m2x+m2−5=0，设Ax1,y1，Bx2,y2，显然Δ>0，
所以x1+x2=2m21+m2，则y1+y2=mx1+x2+2−2m=2m31+m2+2−2m=2−2m1+m2，
则xM=x1+x22=m21+m2，yM=y1+y22=1−m1+m2，
所以x=m21+m2y=1−m1+m2，
消去m得x−122+y−12=m21+m2−122+m1+m22=14m2−12+m21+m22=14，
即x2+y2−x−2y+1=0，其中0≤x<1.
6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m）
【解题思路】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可；
（2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可.
【解答过程】（1）设圆拱所在圆的圆心为G，以H为原点，AB方向为x轴正方向，
AB中垂线向上为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设CD与y轴交于E点，AB与y轴交于F点，连接GA
设圆的半径为r，
则AF=250，GF=r−100，AG=r，
在直角△AFG中，AF2+GF2=AG2，
所以2502+r−1002=r2，解得r=7252，
所以G0,−7252，
所以圆拱方程为x2+y+72522=5256254，y≥−100.
（2）由题意得，HE=50，
令y=−50，得x2+−50+72522=72522，
所以x2=72522−62522=7252+6252×7252−6252=13502×50=33750，
所以x=±756，所以CD=1506≈367.4.
所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4m.
7．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，且圆心P在直线y=x上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点Q(−1,2)的直线交圆P于A,B两点，当AB=23时，求直线AB的方程．
【解题思路】（1）依题意可设圆P的方程为(x−a)2+(y−a)2=r2(r>0)，圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；
（2）由弦长AB=23，可得圆心P(0,0)到直线AB的距离为1，当直线AB的斜率不存在时验证即可，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【解答过程】（1）依题意圆心P在直线y=x上，可设圆P的方程为(x−a)2+(y−a)2=r2(r>0)，
因为圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，
所以(0−a)2+(2−a)2=r2(3−a)2+(1−a)2=r2，解得a=0r2=4，
所以圆P的方程为x2+y2=4.
（2）由（1）可知，圆心P(0,0)，半径r=2，
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=−1，圆心P(0,0)到直线AB的距离为1，
此时AB=2r2−1=23满足题意；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y−2=k(x+1)，即kx−y+k+2=0，
当AB=23时，圆心P(0,0)到直线AB的距离d=r2−(3)2=1，
即有d=k+2k2+1=1，解得k=−34，
此时直线AB的方程为y−2=−34(x+1)，即为3x+4y−5=0.
综上，直线AB的方程为x=−1或3x+4y−5=0.
8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆C1:(x+3)2+(y−2)2=8与圆C2关于直线4x−2y+1=0对称.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)直线3x+4y+m−5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在△MC2N内部，求m的取值范围.
【解题思路】（1）设C2m,n，由题意可得n−2m+3×2=−14×m−32−2×n+22+1=0，解方程即可得出答案.
（2）由题意可得△MC2N是锐角三角形，令C2到MN的距离为d，则r⋅sin45∘【解答过程】（1）设C2m,n，则n−2m+3×2=−14×m−32−2×n+22+1=0，
解得m=3,n=−1,
所以圆C2的标准方程为(x−3)2+(y+1)2=8；
（2）因为△MC2N的外接圆的圆心在△MC2N内部，
所以△MC2N是锐角三角形，
又∵△MC2N是以MC2,NC2为腰的等腰三角形，
∴∠MC2N<90∘,45∘<∠C2MN<90∘，
∴令C2到MN的距离为d，则r⋅sin45∘∴2解得：m∈−102,−10∪10,102.

9．（2023秋·高一单元测试）已知以点Ct,2tt∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．
(1)试写出圆C的标准方程；
(2)设直线y=−2x+4与圆C交于M，N两点，若OM=ON，求圆C的标准方程．
【解题思路】（1）先设出圆的方程，根据圆所过点可得方程；
（2）由OM=ON可得OC⊥MN，进而可得方程.
【解答过程】（1）设圆的方程为x−t2+y−2t2=r2，
因为圆经过原点，所以r2=t2+4t2；
即圆的标准方程为：x−t2+y−2t2=t2+4t2.
（2）设线段MN的中点为P，
因为OM=ON，所以OP⊥MN；
由圆的性质可得CP⊥MN，所以OC⊥MN.
所以2t−0t−0×−2=−1，解得t=±2；
当t=−2时，显然直线和圆不相交，不合题意；
当t=2时，符合题意；
所以圆的方程为：x−22+y−12=5.

10．（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知圆C：x2+y2−6x−8y+21=0．
(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【解题思路】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【解答过程】（1）圆C：x2+y2−6x−8y+21=0
化为标准方程为(x−3)2+(y−4)2=4，
所以圆C的圆心为3，4，半径为2．
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y−1=k(x−1)．即kx−y−k+1=0．
由题意知，圆心3，4到已知直线l1的距离等于半径2，
所以|3k−4−k+1|k2+1=2，即2k−3k2+1=2，
解得k=512，所以直线方程为5x−12y+7=0．
综上，所求直线l1的方程为x=1或5x−12y+7=0．
（2）依题意，设D(a,a+2)．
又已知圆C的圆心为3，4，半径为2，
由两圆外切，可知CD=3+2=5，
所以(a−3)2+(a+2−4)2=5，
解得a=−1或a=6．所以D(−1,1)或D(6,8)，
所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y−1)2=9或(x−6)2+(y−8)2=9．
11．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x+y−2=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若已知点P(4,23)，过点P作圆C的切线，求切线的方程．
【解题思路】（1）根据题意，求出AB的中垂线方程，与直线2x−y−4=0联立，可得圆心C的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【解答过程】（1）因为圆C过A(4,0),B(2,2)，则AB的中垂线过圆心C，
设AB的中点为M，则M(3,1)，
因为kAB=4−20−2=−1，所以AB的中垂线方程为y−1=x−3，即y=x−2，
又圆心在x+y−2=0，
联立x+y−2=0y=x−2，解得x=2y=0，
因此圆心C(2,0)，半径r=OA=2，
所以圆C的方程为(x−2)2+y2=4.
.
（2）因为(4−2)2+232>4，所以P(4,23)在圆C外，
过P(4,23)作圆C的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为x=4，满足与圆C相切，
若切线斜率存在时，设切线方程y−23=k(x−4)，即kx−y−4k+23=0，
则23−2k1+k2=2，解得k=33，
所以切线方程为33x−y−4×33+23=0，即x−3y+2=0.
综上：切线方程为x=4或x−3y+2=0.
12．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A0,3，B1,2两点，且圆心C在直线l:x+y=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程．
【解题思路】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．
（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．
【解答过程】（1）A,B的中点为12,52，kAB=−1，所以线段AB的中垂线方程为x−y+2=0，
由垂径定理可知，圆心C在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组x+y=0,x−y+2=0的解，解之得x=−1,y=1,
所以圆心C的坐标是−1,1，圆的半径r=AC=5，
所以圆C的标准方程是x+12+y−12=5．
（2）设所求直线方程为x+y+b=0，圆心C到直线x+y+b=0的距离d=b2=5，
所以b=10，即b=±10，所以所求直线方程为x+y±10=0．
13．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：y=kx+22与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求k的取值范围；
(2)△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
【解题思路】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且k≠0列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令Δ＞0得到不等式求解，结合k≠0即可得到答案；
（2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案.
【解答过程】（1）解法一：
由题意知：圆心到直线的距离d=22kk2+1 ，
因为直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以0＜22kk2+1＜2，得k2＜1k≠0，解得−1＜k＜1且k≠0，
所以k的取值范围为−1,0∪0,1.
解法二：
联立y=kx+22x2+y2=4，化简得：k2+1x2+42k2x+8k2−4=0
Δ=32k4−4k2+18k2−4=16−16k2>0，得−1＜k＜1，
因为A，B，O三点构成三角形，所以k≠0
所以k的取值范围为−1,0∪0,1.
（2）直线l：y=k(x+22)，即kx−y+22k=0，
点O到直线l距离：d=22kk2+1，
所以AB=222−d2=24−（22kk2+1）2=41−k21+k2
所以S=12AB⋅d=12⋅41−k21+k2⋅22kk2+1=42k21−k21+k2，（−1＜k＜1且k≠0）
设k2+1=tt≥1，则k2=t−1，
所以S=42⋅−t2+3t−2t=42⋅−t2+3t−2t2=42⋅−21t−342+18
所以当1t=34，即t=43，即k=±33时， Smax=2
所以S的最大值为2，取得最大值时k=±33.
14．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，且与y轴相切于点O0,0．
(1)求圆C的方程；
(2)已知过点P1,3的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程．
【解题思路】（1）分析可知圆心C在直线y=0上，将直线2x+y−4=0与直线y=0的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆C的半径，由此可得出圆C的方程；
（2）求出圆心到直线l的距离，对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，根据圆心到直线l的距离求出直线l的斜率，综合可得出直线l的方程.
【解答过程】（1）解：因为圆C与y轴相切于点O0,0，所以圆心C在直线y=0上，
又因为圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，
由2x+y−4=0y=0，解得x=2y=0，即C2,0，圆C的半径r=OC=22+02=2，
所以，圆C的方程为x−22+y2=4．
（2）解：设圆心C到直线l的距离为d，则d=r2−2322=22−3=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时d=1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y−3=kx−1，
即kx−y+3−k=0．
因为圆心为C2,0，所以圆心C到直线l的距离为d=2k+3−kk2+1=k+3k2+1=1，
整理可得k2+6k+9=k2+1，解得k=−43，
所以，直线l的方程为4x+3y−13=0．
综上所述，直线l的方程为x=1或4x+3y−13=0.
15．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−m2+y−2m−32=1，m∈R．
(1)当m=−1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于P−2,2，若圆C上存在点M，使MP=MO，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；
（2）要使得MP=MO，则M在线段OP的中垂线上，从而可得线段OP的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.
【解答过程】（1）当m=−1时，圆C的方程为x+12+y+52=1，
圆心C−1,−5，半径r=1，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，
由直线l与圆C相切，则−k+5k2+1=1，解得k=125，
所以l的方程为y=125x，即12x−5y=0，
综上得，直线l的方程为x=0或12x−5y=0；
（2）圆心Cm,2m−3，kOP=−1，
则线段OP的中垂线的方程为y−1=x+1，即y=x+2，
要使得MP=MO，则M在线段OP的中垂线上，
所以存在点M既要在y=x+2上，又要在圆C上，
所以直线y=x+2与圆C有公共点，
所以m−2m+3+22≤1，解得5−2≤m≤5+2，
所以m∈5−2,5+2．

16．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x−5y−5=0与直线x−2y−8=0的交点C；②圆E恒被直线l:(m+1)x+(m−3)y−6m−2=0(m∈R)平分；③与y轴相切.
(1)求圆E的方程；
(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程.
【解题思路】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；
（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可.
【解答过程】（1）选择①：联立x−5y−5=0x−2y−8=0，解得x=10y=1，所以C(10,1)，
设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2−4F>0)，
因为A，B，C三点均在圆上，
所以1+E+F=017+D+4E+F=0101+10D+E+F=0，解得D=−10E=−2F=1，
所以圆E的方程为x2+y2−10x−2y+1=0，即(x−5)2+(y−1)2=25；
选择②：直线l的方程可化为m(x+y−6)+(x−3y−2)=0，
因为m∈R上式恒成立，所以x+y−6=0x−3y−2=0，解得x=5y=1，
所以直线l恒过定点(5,1)，且(5,1)为圆心E，
所以r=|EA|=(5−0)2+(1−1)2=5，
所以圆E的方程为(x−5)2+(y−1)2=25；
选择③：设圆E的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
由题可得a2+(1−b)2=r2(1−a)2+(4−b)2=r2r=a，解得a=5b=1r=5，
故圆E的方程为(x−5)2+(y−1)2=25；
（2）因为(10−5)2+(11−1)2=125>25，所以点P在圆E外，
①若直线斜率不存在，直线方程为x=10，圆心E5,1到直线x=10的距离为5，满足题意；
②当直线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−11=k(x−10)，
即kx−y−10k+11=0，
因为直线与圆E相切，所以圆心E到直线的距离d=|5k−1−10k+11|k2+1=5，
所以k=34，所以直线的方程为3x−4y+14=0，
综上可得：过点P(10,11)的圆E的切线方程为x=10或3x−4y+14=0.

17．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,−1，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为55；③直线l的一个方向向量为a=−2,−4.
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与曲线C:x2+y2−6x−2y+6=0相交于M,N两点，求弦长MN.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）选①，先得到点P在圆(x+1)2+y2=5上，从而根据垂直关系求出直线l的斜率，得到直线l的一般式方程；选②，求出tanα=2，从而得到直线l的一般式方程；选③，根据直线l的一个方向向量求出l的斜率，求出直线l的一般式方程；
（2）求出圆心C到直线l的距离，利用垂径定理求出弦长.
【解答过程】（1）若选①：因为(1+1)2+−12=5，故点P在圆(x+1)2+y2=5上，
且圆心−1,0与P连线的斜率为−1−01−−1=−12，
因为直线l与圆(x+1)2+y2=5相切，所以直线l的斜率为2；
所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0；
若选②：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，由csα=55得tanα=2；
故直线l的斜率k=tanα=2；
所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0；
若选③：因为直线l的一个方向向量为a=−2,−4，所以l的斜率k=−4−2=2；
所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0;
（2）曲线C:x2+y2−6x−2y+6=0，即(x−3)2+(y−1)2=4；
故C为圆，圆心为C3,1，半径为r=2；
则圆心C到直线l的距离为d=6−1−34+1=255；
所以弦长MN=2r2−d2=855.
18．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
【解题思路】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；
（2）根据直线垂直于l⊥CP时，AB有最小值可解.
【解答过程】（1）直线2+kx+1+ky+k=0，即kx+y+1+2x+y=0，
联立x+y+1=02x+y=0解得x=1y=−2所以不论k取何值，直线l必过定点P1,−2.
圆C:x2+y2=16，圆心坐标为C0,0，半径r=4，
因为PC=(1−0)2+(−2−0)2=5<4，所以点P在圆C内部，
则直线l与圆C恒有两个交点.
（2）直线l经过圆C内定点P1,−2，圆心C0,0，
记圆心到直线l的距离为d.
因为AB=2r2−d2，所以当d最大时，AB取得最小值，
所以当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短，
此时AB=242−|PC|2=242−(5)2=211，
因为kCP=−2−01−0=−2，所以直线l的斜率为12，又直线l过点P1,−2，
所以当AB取得最小值时，直线l的方程为y+2=12x−1，即x−2y−5=0，
综上：AB最小值为211，此时直线l方程为x−2y−5=0.

19．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x−3y−4=0相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点P(3，2)，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
【解题思路】（1）根据圆与直线x−3y−4=0相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案；
（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案.
【解答过程】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线x−3y−4=0相切，
故圆的半径为r=|−4|12+(−3)2=2，
故圆的方程为x2+y2=4.
（2）当过点P(3，2)的直线斜率不存在时，为x=3与圆x2+y2=4不相切；
故过点P(3，2)作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为y−2=k(x−3)，
即kx−y−3k+2=0，则|−3k+2|k2+12=2，解得k=0或k=125，
故切线方程为12x−5y−26=0或y−2=0．
20．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知圆C：x−32+y2=4．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)设直线l：x=my+2m∈R
①求证：直线l与圆C恒相交；
②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
【解题思路】（1）根据圆的标准方程，即可得解；
（2）①易知直线l恒过点N(2,0)，计算|CN|的长，并与圆C的半径比较大小，即可得证；
②设M(x,y)，其中y≠0，由CM⊥MN，结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解．
【解答过程】（1）由圆的标准方程x−32+y2=4知，圆C的圆心坐标为(3,0)，半径长为2．
（2）①证明：直线l:x=my+2恒过点N(2,0)，
因为|CN|2=(2−3)2+02=1<4，所以点N(2,0)在圆C内部，即直线l与圆C恒相交．
②解：设M(x,y)，其中y≠0，则CM=(x−3,y)，MN=(2−x,−y)，
由垂径定理知，CM⊥MN，

所以CM⋅MN=(x−3)(2−x)−y2=0，即x2+y2−5x+6=0(y≠0)，整理得(x−52)2+y2=14(y≠0)，
所以点M的轨迹方程为x−522+y2=14(y≠0)，它表示以52,0为圆心，以12为半径的圆（去除与x轴的交点）．
21．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1:x2+y2+12x−14y+60=0.设圆O2与x轴相切，与圆O1外切，且圆心O2在直线x=−6上.
(1)求圆O2的标准方程；
(2)设垂直于OO2的直线l与圆O1相交于B，C两点，且BC=37，求直线l的方程.
【解题思路】（1）由题意求出圆O1，圆O2的圆心和半径，由两圆外切，可得7−n=5+n，即可求出答案.
（2）由BC=37，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
【解答过程】（1）圆O1：x2+y2+12x−14y+60=0，
则圆O1的标准方程为x+62+y−72=25，
即圆O1的圆心坐标为−6,7，半径为5，
因为圆O2与x轴相切，与圆O1外切，则圆心O2 −6,n，n>0，
则圆O2的半径为n，
则7−n=5+n，解得n=1，
即圆O2的标准方程为x+62+y−12=1；
（2）由（1）知O2（﹣6，1），则kOO2=−16，
所以直线l的斜率为6，
设直线l的方程为y=6x+m，
因为BC=37，则圆心O1到直线l的距离d=25−3722=372，
所以−6×6−7+m36+1=372，解得m=1232或m=492，
所以直线l的方程为y=6x+1232或y=6x+492．
22．（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知圆M方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线l上，过P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
(1)若P点坐标为0,0，求∠APB
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；
（2）设P2m,m，计算出MP中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可.
【解答过程】（1）因为点P坐标为0,0，所以MP=2，
又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°,故∠APB=60∘.
（2）设P2m,m,MP的中点Qm,m2+1，因为PA为圆M的切线，
所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，
故其方程为x−m2+y−m2−12=m2+m2−12
化简得x2+y2−2y−m2x+y−2=0，
由x2+y2−2y=02x+y−2=0，解得x=0y=2（舍）或x=45y=25
所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点45,25.

23．（2023春·广西柳州·高二校考期中）已知圆C：x2+y−12=5，直线l：mx−y+1−m=0.
(1)设直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=17，求直线l的方程；
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程.
【解题思路】（1）由弦长得圆心到直线l的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程；
（2）设动点Mx,y，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程.
【解答过程】（1）圆C的圆心为C0,1,半径为5,
设圆心到直线l的距离为d，因为AB=17，则25−d2=17，解得d=32，
所以mm2+1=32，m=±3，
故直线l方程为3x−y+1−3=0或3x+y−1−3=0.
（2）直线l：y=m(x−1)+1，过定点P1,1，
设弦AB的中点Mx,y，则PM⋅CM=0，
所以(x−1)x+(y−1)2=0，即x−122+y−12=14，
所以弦AB的中点的轨迹方程为x−122+y−12=14.

24．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0.
(1)若直线l过点−2,0且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足PM=PO，求点P的轨迹方程.
【解题思路】（1）讨论直线l是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；
（2）根据题意以及几何关系，求得点P的轨迹方程，
【解答过程】（1）根据题意，圆C的方程为：x+12+y−22=2，其圆心为−1,2，半径为2，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=−2，
此时直线l与圆C的交点为A−2,1，B−2,3，AB=2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
则圆心C到直线l的距离d=−k−2+2kk2+1=1，解得k=34，
所以直线l的方程为3x−4y+6=0，
综上，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0；
（2）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，
所以△PMC为直角三角形，即PM2=PC2−MC2.
设Px,y，由（1）知C−1,2，MC=2，
因为PM=PO，所以x+12+y−22−2=x2+y2，
化简得点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.
25．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知直线l：y=kxk≠0与圆C：x2+y2−2x−3=0相交于A、B两点．
(1)若AB=13，求k；
(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，假设存在点Mm,0满足题意，即kAM+kBM=0，直线方程联立圆的方程，利用韦达定理表示x1+x2、x1x2，结合两点求斜率公式，化简计算即可求解.
【解答过程】（1）因为圆C：x−12+y2=4，
所以圆心坐标为C1,0，半径为r=2，因为AB=13，
所以C到AB的距离为d=r2−(AB2)2=4−134=32，
由点C到直线y=kx的距离为：d=kk2+1=32，解得k=±3；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，l的方程为y=kx，
则y=kxx2+y2−2x−3=0，得1+k2x2−2x−3=0，
因为Δ=4+121+k2>0，所以x1+x2=21+k2，x1x2=−31+k2，
设存在点Mm,0满足题意，即kAM+kBM=0，
所以kAM+kBM=y1x1−m+y2x2−m =kx1x1−m+kx2x2−m=0，
因为k≠0，
所以x1x2−m+x2x1−m=2x1x2−mx1+x2=0，
所以−61+k2−2m1+k2=0，解得m=−3．
所以存在点M−3,0符合题意．
26．（2023春·四川内江·高二校考开学考试）已知点P0,2，设直线l：y=kx+b（b，k∈R）与圆C:x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点.
(1)若PA⊥PB，求b的值；
(2)若|AB|=23，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l的斜率k的值；
(3)当|PA|⋅|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据PA⊥PB可知直线l过圆x2+y2=4的圆心(0,0)，可得b=0；
（2）由|AB|=23得原点O(0,0)到直线l的距离为1，得b2=1+k2，再根据面积得b2=433|k|，联立消去b2可得k的值；
（3）联立直线与圆x2+y2=4，化为关于x的一元二次方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理可得y1+y2和y1y2，利用y1+y2和y1y2，将|PA|⋅|PB|=4化为k2=b2−4b+3，利用k2=b2−4b+3求出点P(0,2)到直线y=kx+b的距离为1，由此可得结果.
【解答过程】（1）因为PA⊥PB，又P(0,2)在圆x2+y2=4上，
所以直线l过圆x2+y2=4的圆心(0,0)，所以b=0.
（2）因为|AB|=23，圆x2+y2=4的半径为2，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d=4−(3)2=1，
由点到直线的距离公式可得d=|b|1+k2=1，得b2=1+k2，
当k=0时，直线l与坐标轴不能围成三角形，故k≠0，
在y=kx+b中，令x=0，得y=b；令y=0，得x=−bk，
所以12|b|⋅|−bk|=233，得b2=433|k|，
所以1+k2=433|k|，解得|k|=3或|k|=33，
所以k=±3或k=±33.
（3）联立x2+y2=4y=kx+b，消去y并整理得(k2+1)x2+2kbx+b2−4=0，
Δ=4k2b2−4(k2+1)(b2−4)>0，即b2<4k2+4，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−2kbk2+1，x1x2=b2−4k2+1，
所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=−2k2bk2+1+2b =2bk2+1，
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2 =k2(b2−4)k2+1−2k2b2k2+1+b2
=b2−4k2k2+1，
所以|PA|⋅|PB| =x12+(y1−2)2⋅x22+(y2−2)2=4，
所以4−y12+(y1−2)2⋅4−y22+(y2−2)2=16，
所以(8−4y1)(8−4y2)=16，
所以(2−y1)(2−y2)=1，
所以y1y2−2(y1+y2)+3=0，
所以b2−4k2k2+1−4bk2+1+3=0，即k2=b2−4b+3，
所以点P(0,2)到直线y=kx+b的距离为|−2+b|k2+1 =|b−2|b2−4b+3+1 =|b−2|(b−2)2=1，
所以直线y=kx+b与以P(0,2)为圆心，1为半径的圆相切，
所以存在一个定圆M:x2+(y−2)2=1，使得直线l与圆M:x2+(y−2)2=1相切.
27．（2023春·安徽安庆·高二校考期中）已知半径小于6的圆C过点A8,1，且圆C与两坐标轴均相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与直线l:x−y+m=0交于A,B两点，__________，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120∘；条件②：AB=53．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）设圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2(00，b>0，且a=b=r，解出r，即可得出圆C的方程；
（2）选①：过点C作CD⊥AB于点D，由∠ACB=120∘得出∠CAB=30°，则CD=12AC=52，得出圆心C到直线l的距离d=52，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在△ABC中，由余弦定理得出∠ACB=120°，则∠CAB=30°，过点C作CD⊥AB于点D，得出CD=12AC=52，则圆心C到直线l的距离d=52，由点到直线距离公式列出方程求解即可．
【解答过程】（1）设圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2(0因为圆C过点A8,1，
所以(8−a)2+(1−b)2=r2，
又因为圆C两坐标轴均相切，
所以得a>0，b>0且a=b=r，
则(8−r)2+(1−r)2=r2，解得r=13或r=5，
因为圆C的半径小于6，
所以r=5，即a=b=5，
所以C:(x−5)2+(y−5)2=25．
（2）如果选择条件①：
由∠ACB=120°，CA=CB=5，得∠CAB=∠CBA=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=12AC=52，
所以圆心C到直线l的距离d=52，
则d=5−5+m2=52，
解得m=±522；
如果选择条件②：AB=53，
在△ABC中，CA=CB=5，
由余弦定理得cs∠ACB=AC2+BC2−AB22ACBC=52+52−(53)22×5×5=−12，
所以∠ACB=120°，
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=12AC=52，
所以圆心C到直线l的距离d=52，
则d=5−5+m2=52，
解得m=±522．
28．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）已知直线l:x=my−1，圆C:x2+y2+4x=0.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【解题思路】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可；
（2）求出圆的圆心坐标，设出M的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可；
（3）设点Qx0,y0，证明Q，A，B，C四点共圆，求出圆的方程，求出与圆C相交弦的方程，即为直线l的方程，可求点Q坐标的特征．
【解答过程】（1）证明：如图所示，
圆C:x2+y2+4x=0，化成标准方程为x+22+y2=4，圆心C−2,0，半径为2，
直线l:x=my−1过定点P−1,0，定点到圆心距离为1，即P−1,0在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，
设点Mx,y，由垂径定理得CM⊥PM，即x+2,y⋅x+1,y=0，整理得x2+y2+3x+2=0，
直线l不过圆心C，则x≠−2，
所以点M的轨迹方程为x2+y2+3x+2=0x≠−2；
（3）依题意有CA⊥AQ，CB⊥BQ，
四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径，
设Qx0,y0，则圆心坐标为x0−22,y02， 半径为(x0+2)2+y022，
则圆的标准方程为 x−x0−222+y−y022=(x0+2)2+y0222，
整理得x2+y2+(2−x0)x−y0y−2x0=0，与圆C的方程C:x2+y2+4x=0联立，
消去二次项得∶(x0+2)x+y0y+2x0=0，即为直线l的方程，
因为直线l:x=my−1过定点P−1,0，所以2x0=x0+2，解得：x0=2，
所以当m变化时，点Q恒在直线x=2上．
29．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知过点A−1,0的直线l与圆C:x2+y−32=4相交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，且直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点N．
(1)当直线l与直线m垂直时，求证：直线l经过圆心C；
(2)当弦长PQ=23时，求直线l的方程；
(3)设t=AM⋅AN，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
【解题思路】（1）利用垂直时km⋅kl=−1求出kl，利用点斜式即可得出直线l的方程，然后验证圆心C在直线l上即可；
（2）讨论直线l斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据CM=1即可得解；
（3）先转化AM⋅AN=AC⋅AN，根据直线斜率是否存在分别求出点N点坐标，计算后即可得解.
【解答过程】（1）解：∵直线l与直线m垂直，且km=−13，∴ kl=−1km=3.
故直线l方程为y=3x+1，即3x−y+3=0.
圆心为C0,3，且3×0−3+3=0，故当直线l与直线m垂直时，直线l经过圆心C.
（2）解：①当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x=−1，圆心C到直线l的距离为1，
且PQ=222−12=23，合乎题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+1，即kx−y+k=0，
∵PQ=23，M是PQ中点，圆C圆心为0,3，半径为2，
∴CM=4−3=1，则由CM=k−3k2+1=1，得k=43，
此时，直线l的方程为y=43x+1，即4x−3y+4=0.
综上所述，直线l的方程为x=−1或4x−3y+4=0.
（3）解：∵ CM⊥NA，∴ AM⋅AN=AC+CM⋅AN=AC⋅AN+CM⋅AN=AC⋅AN.
①当l与x轴垂直时，直线l的方程为x=−1，联立x=−1x+3y+6=0可得x=−1y=−53，
即点N−1,−53，则AN=0,−53，
又AC=1,3，∴ AM⋅AN=AC⋅AN=−5.
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，其中k≠−13，
则由y=kx+1x+3y+6=0可得x=−3k−63k+1y=−5k3k+1，即点N−3k−61+3k,−5k1+3k，则AN=−51+3k,−5k1+3k.
∴ AM⋅AN=AC⋅AN=−51+3k+−15k1+3k=−5.
综上所述，t=AM⋅AN与直线l的斜率无关，且t=AM⋅AN=−5.
30．（2023春·江西宜春·高二校联考期中）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若点D4,6，试求 12PA+PD的最小值．
【解题思路】（1）设圆C的方程为x2+y−b2=649(b>0)，根据直线与圆相切可求解；
（2）设B0,mm≠−1，Px,y，利用两点距离公式可求得PBPA=m2−353+263−2my−323+323y，可知当m2−353−323=263−2m323>0，PBPA为定值，从而可解；
（3）由（2）可知，12 PA+PD= PB+PD，当且仅当P、B、D三点共线时， PB+PD的值最小，从而可解.
【解答过程】（1）由题意设圆心坐标为0,b(b>0)，则圆C的方程为x2+y−b2=649(b>0)．
因为直线12x−9y−1=0与圆C相切，
所以点C0,b到直线12x−9y−1=0的距离d=−9b−1122+−92=83，
因为b>0，所以b=133，故圆C的标准方程为x2+y−1332=649．
（2）假设存在定点B，设B0,mm≠−1，Px,y，
则x2=649−y−1332=−y2+263y−353，
则PBPA=x2+y−m2x2+y+12=−y2+263y−353+y−m2−y2+263y−353+y+12=m2−353+263−2my−323+323y．
当m2−353−323=263−2m323>0，即m=3（m=−1舍去）时，PBPA为定值，且定值为12，
故存在定点B，且B的坐标为0,3．
（3）由（2）知 PBPA=12，故PB=12 PA，从而12 PA+PD= PB+PD，
当且仅当P、B、D三点共线时， PB+PD的值最小，且PB+PDmin =BD=5.