还剩28页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程同步训练题
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程同步训练题，共31页。
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．(2023·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知A4,3，B1,−1，以AB为直径；
(2)圆心为点C1,3且与直线3x−4y−6=0相切.
2．(2023·浙江·高二期末）已知圆C经过A(0,2)，B(0,8)两点，且与x轴的正半轴相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：x−y+3=0与圆C交于M，N，求|MN|.
3．(2023·河南开封·高二阶段练习）已知M(m,n)为圆C:x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的取值范围；
(2)求n−3m+2的最大值和最小值.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点Px,y是直线kx+y+4=0k>0上一动点，PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
5．(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
6．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+(y−1)2=r2(r>0)，过点A(−2,4)引圆M的切线，切线长为3.
(1)求r的值；
(2)若点P是圆M上一动点，点Q是曲线y=1x(x>0)上一动点，求|PQ|的最小值.
7．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C的方程为x2+y2−4x+6y−m=0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．
8．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M：x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆m相切于A、B两点.
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
9．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C:x−22+y2=1，动直线l过点P1,2.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程
(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.
10．(2023·福建福州·高二期末）圆C的圆心为C(1,0)，且过点A12,32．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：kx−y+2=0与圆C交M,N两点，且MN=2，求k．
11．(2023·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线x+2y−3=0与圆C：x2+y2+x−6y+m=0交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
12．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线y=−x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为（0，−3），探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
13．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线C:x2+y2−2x−4y+m=0和直线l:x+2y−4=0．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为25，求m的值．
14．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x−12+y−22=25及直线l:2m+1x+m+1y=7m+4m∈R．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
15．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点Px1,y1向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标．
16．(2023·全国·高二课时练习）若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于423，求实数t的取值范围．
17．(2023·云南·高二开学考试）已知圆C:x2+y2−2x+ay+3=0和直线l相切于点P2,−1.
(1)求圆C的标准方程及直线l的一般式方程；
(2)已知直线m经过点P，并且被圆C截得的弦长为22，求直线m的方程.
18．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C过点M(0，−2)，N(3，1) ，且圆心C在直线x+2y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P(2，0) 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0．
(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求m的值；
(2)当m=3时，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
20．(2023·全国·高二课时练习）已知圆M:x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若AB=2413，求直线MQ的方程．
21．(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过定点0,2，且与圆C:x2−2x+y2=0交于M、N两点．
(1)求直线l的斜率的取值范围．
(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x2+y2=8内有一点P−1,2，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
23．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C:x−22+y2=9．
(1)直线l1过点D−1,1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l2:x+3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积S的最大值．
24．(2023·四川省高二开学考试）已知两个定点A0,4、B0,1，动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线E，直线l:y=kx−4．
(1)求曲线E的方程；
(2)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
25．(2023·内蒙古·高一期中）已知点Pt,−t−1，圆C：x−32+y2=4．
(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)当t=5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．
26．（2023·吉林高二开学考试）已知圆C：x2+y2−2y−2=0，直线l：mx−y+1+m=0，点P(−1,1)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于不同的两点A,B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若|AP||PB|=2，求直线l的方程．
27．(2023·江苏省高二开学考试）已知直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0与圆C:x2+y2−4x=0.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
28．(2023·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：x−22+y−32=5，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
29．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A2,6，且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
(3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
30．(2023·江苏南京·高二开学考试）已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
(1)求⊙C的方程；
(2)设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO，（O为原点）记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程；
②过点M1，0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
专题2.17 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．(2023·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知A4,3，B1,−1，以AB为直径；
(2)圆心为点C1,3且与直线3x−4y−6=0相切.
【解题思路】（1）根据题意得到圆心52,1，半径为4−12+3+122，即可得到答案.
（2）根据直线与圆的位置关系求解即可.
【解答过程】（1）
圆心为AB的中点52,1，半径为4−12+3+122=52，
所以圆的标准方程为x−522+y−12=254.
（2）
点C到直线3x−4y−6=0的距离为d=3−12−632+−42=3，
所以圆的标准方程为x−12+y−32=9.
2．(2023·浙江·高二期末）已知圆C经过A(0,2)，B(0,8)两点，且与x轴的正半轴相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：x−y+3=0与圆C交于M，N，求|MN|.
【解题思路】（1）由题意，设圆心C(m,n)且半径r=|n|，由圆所过的点列方程求参数，结合与x轴的正半轴相切确定圆的方程；
（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求|MN|.
【解答过程】（1）
若圆心C(m,n)，则圆的半径r=|n|，即(x−m)2+(y−n)2=n2，
又圆C经过A(0,2)，B(0,8)，则{m2+n2−4n+4=n2m2+n2−16n+64=n2，可得{m=±4n=5，
所以(x−4)2+(y−5)2=25或(x+4)2+(y−5)2=25，又圆与x轴的正半轴相切，
故圆C的标准方程为(x−4)2+(y−5)2=25.
（2）
由（1）知：C(4,5)到直线l的距离为|4−5+3|2=2，圆的半径为r=5，
所以|MN|=2r2−2=223.
3．(2023·河南开封·高二阶段练习）已知M(m,n)为圆C:x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的取值范围；
(2)求n−3m+2的最大值和最小值.
【解题思路】（1）问题化为直线t=x+2y与圆有交点，即圆心到直线距离d≤22，即可求范围；
（2）Q(−2,3)，问题化为求直线MQ的斜率k最值，利用直线MQ与圆有交点，结合点线距离公式求范围，即可得结果.
【解答过程】（1）
因为x2+y2−4x−14y+45=0圆心C(2,7)，半径r=22，
设m+2n=t看成直线方程，其与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d=|2+2×7−t|12+22≤22，解得16−210≤t≤16+210，
所以所求的取值范围是[16−210,16+210].
（2）
记Q(−2,3)，因为n−3m+2表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y−3=k(x+2)，即kx−y+2k+3=0.
因为直线与圆有公共点，所以|2k−7+2k+3|1+k2≤22，可得2−3≤k≤2+3
所以n−3m+2的最大值为2+3，最小值为2−3.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点Px,y是直线kx+y+4=0k>0上一动点，PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
【解题思路】连接CA,CB，求出圆心和半径，由题意可得SPACB=2×12PA⋅CA=PA，然后由四边形PACB的最小面积是2，可得点C到直线的距离为5，再利用点到直线的距离公式列方程可求得答案.
【解答过程】连接CA,CB，
由x2+y2−2y=0，得x2+(y−1)2=1，
则圆心C(0,1)，半径为1，
因为PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，
所以PA=PB,PA⊥CA,PB⊥CB，
所以SPACB=2×12PA⋅CA=PA，
因为SPACB≥2，所以PA≥2，
因为PC2=PA2+CA2=PA2+1，
所以PC2≥5，
所以当四边形PACB的最小面积是2时，点C到直线的距离为5，
所以1+4k2+1=5，
解得k=2或k=−2（舍去），
5．(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆A的半径即可求解；(2)首先当直线l斜率不存在时，求出弦长|MN|，满足题意；当直线l斜率存在时设出直线l的方程，利用圆的弦长公式求出|AQ|，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，
所以A−1,2到直线l1的距离d0=−1+4+75=25=r，
故圆A的方程为：(x+1)2+(y−2)2=20.
（2）
①当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为：x=−2，
此时，圆心A−1,2到直线l的距离为1，
从而弦长|MN|=220−1=219，满足题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
连接AQ，则AQ⊥MN，
∵MN=219，所以AQ=r2−(|MN|2)2=20−19=1，
从而AQ=−k−2+2kk2+12=1，得k=34，
故直线l的方程：3x−4y+6=0.
综上所述，直线l的方程为：x=−2或3x−4y+6=0.
6．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+(y−1)2=r2(r>0)，过点A(−2,4)引圆M的切线，切线长为3.
(1)求r的值；
(2)若点P是圆M上一动点，点Q是曲线y=1x(x>0)上一动点，求|PQ|的最小值.
【解题思路】（1）利用勾股定理进行求解.
（2）设Qx0,y0，利用两点间的距离公式，通过配方求解.
【解答过程】（1）
由题意得圆心M的坐标为(−1,1)，
又A(−2,4)，故|AM|2=10，
因为切线长3，所以|AM|2−r2=32，
所以r=1.
（2）
设Qx0,y0，则y0=1x0，
故|MQ|2=x0+12+1x0−12=x02+1x02+2x0−1x0+2=x0−1x02+2x0−1x0+4
=x0−1x0+12+3≥3，
当且仅当x0−1x0+1=0，即x0=5−12时取等号，
故|MQ|的最小值为3，
故|PQ|的最小值为3−1.
7．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C的方程为x2+y2−4x+6y−m=0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．
【解题思路】（1）将圆C的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+m>0，解之即可；
（2）利用弦长公式MN=2r2−d2求得r，进而得到m+13=5，易得m的值.
【解答过程】（1）
方程x2+y2−4x+6y−m=0可化为(x−2)2+(y+3)2=13+m，
∵此方程表示圆，
∴13+m>0，即m>−13，即m∈−13,+∞.
（2）
由（1）可得圆心C(2,−3)，半径r=m+13，
则圆心C(2,−3)到直线l:x+y+3=0的距离为d=|2−3+3|12+12=2，
由弦长公式MN=2r2−d2及MN=23，得23=2r2−22，解得r=5，
∴r=m+13=5，得m=−8．
8．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M：x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆m相切于A、B两点.
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
【解题思路】（1）设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设点Q的坐标，根据SQAMB=2SQAM求出面积，再分析面积的最小值即可.
【解答过程】（1）
由题意，过点Q1,0且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为x=1，
当过点Q1,0的直线不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x−1），即kx−y−k=0，由−2−kk2+1=1解得k=−34，此时切线方程为3x+4y−3=0.
（2）
连接QM，因为圆的方程为x2+y−22=1，所以M0,2，r=1，设Qm,0，所以QM=m2+4，根据勾股定理得QA=m2+3，所以SQAMB=2S△QAM=2×12×m2+3×1=m2+3，所以当m=0时，四边形QAMB的面积最小，Smin=3.
9．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C:x−22+y2=1，动直线l过点P1,2.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程
(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【解题思路】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为x=1，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为−34，即可写出切线方程.
（2）设Mx,y，根据CM2+PB2=PC2，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.
【解答过程】（1）
当直线l斜率不存在时x=1，显然直线l与圆C相切且切点为E1,0，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则∠EPD=2∠EPC，又tan∠EPC=12
所以tan∠EPD=2tan∠EPC1−tan2∠EPC=43，由图知，直线DP的倾斜角的补角与∠EPD互余，
所以直线DP的斜率为−34，故另一条切线方程为y−2=−34x−1，即3x+4y−11=0，
综上，直线l的方程为x=1或3x+4y−11=0.
（2）
由（1）知直线l与圆C相交于A､B两点，则斜率必存在，
设Mx,y，则CM2+PM2=PC2=5，
所以x−22+y2+x−12+y−22=5，整理得x−322+y−12=54，
当直线l与圆C相切于点D时，直线CD的斜率为43，其方程为：
y=43(x−2)，由y=43x−23x+4y−11=0，得x=135y=45，即切点D(135,45)，
对于M的轨迹方程x−322+y−12=54，当x=32时，y=1−52，
所以1综上，M的轨迹方程为x−322+y−12=54且110．(2023·福建福州·高二期末）圆C的圆心为C(1,0)，且过点A12,32．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：kx−y+2=0与圆C交M,N两点，且MN=2，求k．
【解题思路】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；
（2）由题知圆心C到直线l的距离为d=22，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
解：因为圆C的圆心为C(1,0)，且过点A12,32,
所以半径r=(1−12)2+(0−32)2=1，
所以，圆C的标准方程为(x−1)2+y2=1
（2）
解：设圆心C到直线l的距离为d，因为MN=2
所以|MN|=2r2−d2=21−d2=2，解得d=22
所以，由圆心到直线距离公式可得d=|k+2|k2+1=22．
解得k=−1或k=−7．
11．(2023·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线x+2y−3=0与圆C：x2+y2+x−6y+m=0交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
【解题思路】（1）求得线段PQ垂直平分线的方程，通过求两条直线的交点的方法求得M.
（2）联立直线x+2y−3=0与圆C的方程，化简写出根与系数关系，根据OP⊥OQ列方程，化简求得m，从而求得圆的半径，进而求得圆的面积.
【解答过程】（1）
圆C的圆心为C−12,3，直线x+2y−3=0的斜率为−12，
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为2，
线段PQ的垂直平分线经过C−12,3，
所以线段PQ的垂直平分线方程为y−3=2x+12,y=2x+4，
由y=2x+4x+2y−3=0⇒M−1,2
（2）
由x+2y−3=0x2+y2+x−6y+m=0消去x并化简得5y2−20y+12+m=0，
设Px1,y1,Qx2,y2，则y1+y2=4,y1⋅y2=12+m5，
x1=−2y1+3,x2=−2y2+3，
由于OP⊥OQ，所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=0，
即3−2y13−2y2+y1y2=0，
即9−6y1+y2+5y1y2=0，
所以9−6×4+5×12+m5=0,m=3.
所以圆的半径为1+36−4m2=1+36−122=52，
所以圆的面积为π×522=25π4.
12．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线y=−x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为（0，−3），探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将A,B代入方程，即可求解，
（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及PM×PN=PM⋅PN即可求解.
【解答过程】（1）
由于圆心在y=−x，故设圆的方程为x−a2+y+a2=r2，将A（1，2），B（2，1）代入可得1−a2+2+a2=r22−a2+1+a2=r2，解得a=0r2=5，
所以圆的方程为：x2+y2=5
（2）
当直线l⊥x轴时，PM×PN=3−53+5=4，
当直线l有斜率时，设其方程为：y=kx−3，
联立直线与圆的方程x2+y2=5y=kx−3，消元得k2+1x2−6kx+4=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2,则x1x2=4k2+1，Δ=20k2−16>0，
由于点P在圆外，所以PM×PN=PM⋅PN=x1x2+y1+3y2+3=x1x2+k2x1x2=1+k2x1x2，
因此PM×PN=1+k2x1x2=1+k241+k2=4，
综上，无论l的位置如何变化，PM×PN=4，为定值.
13．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线C:x2+y2−2x−4y+m=0和直线l:x+2y−4=0．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为25，求m的值．
【解题思路】（1）通过对x2+y2−2x−4y+m=0变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知m<5，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距d，利用弦心距､半径与半弦长的关系计算即得结论
【解答过程】（1）
∵x2+y2−2x−4y+m=0，∴(x−1)2+(y−2)2=5−m，
又∵曲线C表示圆，∴5−m>0，即m<5，
所以m的取值范围为−∞,5；
（2）
由（1）可知m<5，圆心坐标为1,2，
又∵直线l:x+2y−4=0，∴圆心到直线l的距离d=|1+4−4|1+22=55，
∵直线l截得的弦长为25，∴5−m=2522+552，
解得：m=−15.
14．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x−12+y−22=25及直线l:2m+1x+m+1y=7m+4m∈R．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
【解题思路】（1）根据直线过定点3,1，而该点在圆内，即可求解，
（2）由l⊥CM时，圆心到直线l的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.
【解答过程】（1）
将直线l的方程变形为2x+y−7m+x+y−4=0，令2x+y=7x+y=4，解得x=3y=1，即直线l过定点3,1．因为3−12+1−22=5<25，所以点3,1在圆内部．所以不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
（2）
（1）的结论知直线l过定点M3,1，且当直线l⊥CM时，此时圆心到直线l的距离最大，进而l被圆所截的弦长AB最短，故CM=3−12+1−22=5,
从而此时AB=2r2−CM2=252−52=45，
此时kAB=−1kCM=2,直线AB方程为y−1=2(x−3)，即2x−y−5=0.
15．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点Px1,y1向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标．
【解题思路】（1）根据题意，设所求切线方程为x+y=aa≠0，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数a的等式，解出a的值，即可得出所求切线的方程；
（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点P在直线2x−4y+3=0上，再由PM=PO可知当OP与直线2x−4y+3=0垂直时，PM取最小值，求出此时PO的方程，与直线2x−4y+3=0的方程联立可求得点P的坐标.
【解答过程】（1）
解：∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为x+y=aa≠0，
又∵圆C的标准方程为x+12+y−22=2，
所以，圆心C−1,2到切线的距离等于圆的半径2，
则−1+2−a2=2，解得a=−1或a=3，
因此，所求切线的方程为x+y+1=0或x+y−3=0.
（2）
解：∵PM⊥CM，∴PM2=PC2−CM2=PC2−2，
又∵PM=PO，∴PC2−2=PO2，
所以，x1+12+y1−22−2=x12+y12，则2x1−4y1+3=0．
所以，点P在直线2x−4y+3=0上．
∵PM=PO，∴PM的长度的最小值就是PO长度的最小值，
而PO长度的最小值为O到直线2x−4y+3=0的距离，
此时直线PO的方程为2x+y=0．
由2x−4y+3=02x+y=0，解得x=−310y=35，
因此，使得PM的长度取得最小值的点P的坐标为−310,35．
16．(2023·全国·高二课时练习）若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于423，求实数t的取值范围．
【解题思路】利用直线与圆相交时圆心到直线距离与半径的关系以及所给弦长条件建立不等式求解即得.
【解答过程】解：圆x2+y2=8的圆半径为r=22，
设直线被圆截得的弦长为l，圆心0,0到直线y=x+t的距离d=t2，
由题意，得d又l22+d2=r2=8，所以l2=32−2t2≤4232，所以t≤−823或t≥823，
结合−4综上，实数t的取值范围为(−4,−823]∪823,4．
17．(2023·云南·高二开学考试）已知圆C:x2+y2−2x+ay+3=0和直线l相切于点P2,−1.
(1)求圆C的标准方程及直线l的一般式方程；
(2)已知直线m经过点P，并且被圆C截得的弦长为22，求直线m的方程.
【解题思路】（1）将点P的坐标代入圆C的方程，求出实数a的值，可得出圆C的标准方程，求出直线PC的斜率，由圆的几何性质可得PC⊥l，可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线m过圆心，求出直线m的斜率，利用点斜式可得出直线m的方程.
【解答过程】（1）
把点P2,−1代入圆C的方程，可得4+1−4−a+3=0，解得a=4，
∴得C的方程为x2+y2−2x+4y+3=0，即x−12+y+22=2，
∵圆心为C1,−2，所以，直线PC的斜率为kPC=−1+22−1=1，
由圆的几何性质可知PC⊥l，则直线l的斜率为−1，
∴直线l的方程为y+1=−x−2，即x+y−1=0.
（2）
由（1）可知，圆C的直径为22，故直线m经过圆心C1,−2，
且直线PC的斜率为kPC=1，∴直线m的方程为y+1=x−2，即x−y−3=0．
18．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C过点M(0，−2)，N(3，1) ，且圆心C在直线x+2y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P(2，0) 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意列出方程组，解方程组求得答案；
（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心C(3，−2) 必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.
【解答过程】（1）
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则有−D2−E+1=04−2E+F=010+3D+E+F=0，解得D=−6E=4F=4，
所以圆C的方程为x2+y2−6x+4y+4=0，
化为标准方程，得x−32+y+22=9．
（2）
假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，
故圆心C(3，−2) 必在直线l上，所以直线l的斜率kPC=22−3=−2，
又kAB=a=−1kPC，所以a=12．
将ax−y+1=0与圆C的方程联立，
整理得a2+1x2+6a−1x+9=0，由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36a−12−36a2+1>0，解得a<0，与a=12矛盾，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
19．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0．
(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求m的值；
(2)当m=3时，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
【解题思路】（1）由已知得出r=5−m，再根据圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半列出关于r的等式，求出r，即可得到m的值；
（2）根据截距为零和截距不为零分情况设出切线的方程，利用圆心到切线的距离为半径构建等式可得到答案。
【解答过程】（1）解：将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y−2)2=5−m，所以圆C的圆心为C(−1,2)，半径为r=5−m．因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，所以(r4)2+22=r2，所以r2=6415，即5−m=6415，解得m=1115．
（2）当m=3时将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心C(−1,2)，半径r=2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y=kx，所以圆心到切线的距离为|−k−2|k2+1=2，即k2−4k−2=0，解得k=2±6．所以切线方程为y=(2+6)x或y=(2−6)x．②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为x+y−a=0，所以圆心到切线的距离为|−1+2−a|2=2，即|a−1|=2，解得a=3或−1．所以切线方程为x+y+1=0或x+y−3=0．
综上所述，所求切线方程为y=(2+6)x或y=(2−6)x或x+y+1=0或x+y−3=0.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知圆M:x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若AB=2413，求直线MQ的方程．
【解题思路】（1）根据过点Q的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（2）求得四边形QAMB面积的表达式，由MQ的最小值求得面积的最小值.
（3）根据AB=2413以及圆的切线的几何性质求得Q点坐标，进而求得直线MQ的方程.
【解答过程】（1）
圆M:x2+y−22=1的圆心为0,2，半径为1，
当过点Q的切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，与圆相切，符合题意；
当过点Q的切线的斜率存在时，设切线方程为y=kx−1，即kx－y－k＝0，
所以圆心0,2到切线的距离d=2+kk2+1=1，解得k=−34．
所以切线方程为3x＋4y－3＝0．
综上，切线方程为x＝1或3x＋4y－3＝0．
（2）
由题意得四边形QAMB的面积S=2S△MAQ=2×12×1×MQ2−1=MQ2−1，
所以当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2，
所以四边形QAMB面积的最小值为22−1=3．
（3）
由题意得圆心M到弦AB的距离为1−12132=513．
设MQ=x，x>0，则QA2=x2−1．
又AB⊥MQ，所以x−5132+12132=x2−1，解得x=135，
OQ2=MQ2−OM2=16925−4=6925，
所以Q695,0或Q−695,0，
所以kMQ=±2−00−695=±106969，
所以直线MQ的方程为y=−106969x+2或y=106969x+2．
21．(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过定点0,2，且与圆C:x2−2x+y2=0交于M、N两点．
(1)求直线l的斜率的取值范围．
(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，利用点到直线的距离公式可得出关于k的不等式，解之即可；
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+2，将该直线的方程与圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出k1+k2的值.
【解答过程】（1）
解：圆C的标准方程为x−12+y2=1，圆心为C1,0，半径为1.
若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意.
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，
由题意可得k+2k2+1<1，解得k<−34.
因此，直线l的斜率的取值范围是−∞,−34.
（2）
解：设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+2.
联立y=kx+2x2−2x+y2=0，得1+k2x2+4k−2x+4=0，其中k<−34，
所以x1+x2=2−4k1+k2，x1x2=41+k2，
则k1+k2=y1x1+y2x2=y1x2+y2x1x1x2=kx1+2x2+kx2+2x1x1x2=2kx1x2+2x1+x2x1x2 =2k+2×2−4k1+k241+k2=2k+1−2k=1，
所以k1+k2为定值1.
22．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x2+y2=8内有一点P−1,2，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，
（2）根据直线垂直斜率乘积为−1，即可得直线AB的斜率，进而根据点斜式即可求方程，
（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.
【解答过程】（1）
当α=135°时，则kAB=tan135∘=−1，此时直线AB方程为：y−2=−1x+1⇒x+y−1=0，故圆心到直线AB的距离d=12，又r=22，
所以AB=2r2−d2=2222−122=30，
（2）
弦AB被点P平分时，则OP⊥AB,kOP=−2⇒kAB=12,所以直线AB方程为：y−2=12x+1⇒x−2y+5=0，
（3）
设中点为Q(x,y)，则PQ=x+1,y−2,OQ=(x,y)，由于OQ⊥PQ,
所以PQ⋅OQ=0⇒x(x+1)+y(y−2)=0，即x+122+y−12=54，
故点Q是以−12,1为圆心，52为半径的圆．
23．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C:x−22+y2=9．
(1)直线l1过点D−1,1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l2:x+3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积S的最大值．
【解题思路】（1）根据直线l1的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出MN，再根据几何性质可知，当CP⊥AB时，点P到直线l2距离的最大值为半径加上圆心C到直线AB的距离，即可解出．
【解答过程】（1）
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线l1与圆C相切，得2k−0+k+1k2+1=3，解得k=43，所以直线l1的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x=−1，显然与圆C相切．
综上，直线l1的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）
由题意得圆心C到直线l2的距离d=2+0−11+3=12，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以MN=2×32−122=35，
点P到直线l2距离的最大值为r+d=72，
则△PMN的面积的最大值Smax=12×MN×r+d=12×35×72=7354．
24．(2023·四川省高二开学考试）已知两个定点A0,4、B0,1，动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线E，直线l:y=kx−4．
(1)求曲线E的方程；
(2)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解题思路】（1）设点P的坐标为x,y，由PA=2PB结合平面内两点间的距离公式化简可得出点P的轨迹方程；
（2）设Gx0,y0为圆x2+y2=4上任意一点，先证明出圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x0x+y0y=4，设点Qt,t−4、Mx1,y1、Nx2,y2，可写出直线QM、QN的方程，将点Q的坐标代入直线QM、QN的方程，可求得直线MN的方程，化简直线MN的方程，可求得直线MN所过定点的坐标.
【解答过程】（1）
解：设点P的坐标为x,y，
由PA=2PB可得，x2+y−42=2x2+y−12，整理可得x2+y2=4，
所以曲线E的方程为x2+y2=4．
（2）
解：设Gx0,y0为圆x2+y2=4上任意一点，则x02+y02=4，
当x0y0≠0时，kOG=y0x0（O为坐标原点），
此时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为y−y0=−x0y0x−x0，即x0x+y0y=4；
当x0=0时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为y=2或y=−2，切线方程满足x0x+y0y=4；
当y0=0时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x=2或x=−2，切线方程满足x0x+y0y=4.
因此，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x0x+y0y=4.
当k=1时，直线l的方程为y=x−4，设点Qt,t−4、Mx1,y1、Nx2,y2，
则直线QM的方程为x1x+y1y=4，直线QN的方程为x2x+y2y=4，
所以，tx1+t−4y1=4tx2+t−4y2=4，
所以，点M、N的坐标满足方程tx+t−4y=4，
故直线MN的方程为tx+t−4y=4，即tx+y−4y+1=0，
由x+y=0y+1=0，解得x=1y=−1，
因此，直线MN过定点1,−1.
25．(2023·内蒙古·高一期中）已知点Pt,−t−1，圆C：x−32+y2=4．
(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)当t=5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．
【解题思路】（1）把点P的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点P在圆外；
（2）分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；
（3）由经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，得到CP⩽6，代入可求t的范围．
【解答过程】（1）
把点P的坐标代入圆的方程的左边计算，
(t−3)2+(−t−1)2=2t2−4t+10=2(t−1)2+8>4，
所以点P在圆外．
（2）
当t=5时，点P的坐标为(5,−6)，
由圆C:(x−3)2+y2=4．知圆心为(3,0)，r=2，
①当直线n的斜率不存在，方程为x=5，圆以到直线x=5的距离为2，
所以x=5是圆的切线；
②当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为y+6=k(x−5)，即kx−y−5k−6=0，
由题意有3k−0−5k−6k2+1=2，解得k=−43，
所以直线n的方程为y+6=−43(x−5)，即4x+3y−2=0，
综上所述，过点P与圆相切的直线方程为x=5或4x+3y−2=0
（3）
若存在经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，
由圆的半径为2，所以AB⩽4，
则有PB⩽8，CP⩽6，当AB为直径时，CP有最大值6，
所以有(t−3)2(−t−1)2⩽6，
解得1−14⩽t⩽1+14，
所以横坐标的取值范围为{t|1−14⩽t⩽1+14}．
26．（2023·吉林高二开学考试）已知圆C：x2+y2−2y−2=0，直线l：mx−y+1+m=0，点P(−1,1)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于不同的两点A,B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若|AP||PB|=2，求直线l的方程．
【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【解答过程】（1）
因为直线l：mx−y+1+m=0过定点(−1,1)，
又(−1)2+12−2×1−2=−2<0，所以(−1,1)在圆C内，
所以直线l与圆C相交；
（2）
设M(x,y)，当M与P不重合，即x≠−1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理|CM|2+|MP|2=|CP|2．则x2+(y−1)2+(x+1)2+(y−1)2=1，化简得：x2+y2+x−2y+1=0（x≠−1）；当M与P重合时，x=−1，y=1也满足上式，故弦AB的中点的轨迹方程为x2+y2+x−2y+1=0；
（3）
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为|AP||PB|=2，所以AP=2PB，
所以−1−x1=2(x2+1)，化简得x1=−3−2x2． ①
又{mx−y+1+m=0,x2+(y−1)2=3,消去y并整理得(1+m2)x2+2m2x+m2−3=0，
所以x1+x2=−2m21+m2②，x1x2=m2−31+m2． ③
由①②③联立，解得m=±3，
所以直线l的方程为3x−y+1+3=0或3x+y+3−1=0．
27．(2023·江苏省高二开学考试）已知直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0与圆C:x2+y2−4x=0.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）由已知(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0,可得(2x+y−3)+m(x−2y+6)=0.根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点(0,3).
（2）设出直线l的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.
【解答过程】（1）
由直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0得m(x−2y+6)+(2x+y−3)=0，
联立x−2y+6=02x+y−3=0，解得x=0y=3，
∴直线l恒过定点(0,3).
（2）
圆C:x2+y2−4x=0的圆心为2,0，半径为2，直线l过点0,3，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+3，
联立y=kx+3x2+y2−4x=0，得(1+k2)x2+(6k−4)x+9=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−6k−41+k2，x1x2=91+k2，
k1+k2=y1x1+y2x2=kx1+3x1+kx2+3x2=2k+3(x1+x2)x1x2=2k+3(4−6k)9=43.
∴k1+k2是定值，定值为43.
28．(2023·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：x−22+y−32=5，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
【解题思路】（1）方法一：求出直线l的方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得到结论；
方法二：观察到点D在圆C上，求出直线l的斜率及直线CD的斜率，得到直线l与直线CD垂直，从而证明出相切；
（2）选择①：得到直线l过圆心C（2，3），求出直线l的方程，得到D到直线l的距离及AB的长，从而求出面积；
选择②：求出直线l的方程，观察到圆心C（2，3）在直线l上，得到D到直线l的距离及AB的长，从而求出面积；
【解答过程】（1）
方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为y−0=2−04−3x−3，即2x－y－6＝0．
由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径r=5，则圆心C（2，3）到直线l的距离为2×2−3−622+1=5=r，
所以直线l与圆C相切．
方法二：由D（4，2）满足C：x−22+y−32=5，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）．
若直线l经过点D，则直线l的斜率kl=2−04−3=2，
又kCD=2−34−2=−12，所以kl⋅kCD=−1，所以l⊥CD．
所以直线l与圆C相切．
（2）
选择条件①：若直线l平分圆C，
则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为y−0=3−02−3x−3，即3x＋y－9＝0．
AB=2r=25，点D（4，2）到直线l的距离ℎ=3×4+2−910=102，
所以S△ABD=12AB×ℎ=12×25×102=522．
选择条件②：若直线l的斜率为－3，
则直线l的方程为y−0=−3x−3，即3x＋y－9＝0，
此时圆心C（2，3）在直线l上，则AB=2r=25，
点D（4，2）到直线l的距离ℎ=3×4+2−910=102，所以S△ABD=12AB×ℎ=12×25×102=522．
29．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A2,6，且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
(3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）设圆心为a,b，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径r，由此可得圆的方程；
（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线l2的距离d=22r=5；分别在直线l2斜率不存在和存在的情况下，根据d=5构造方程求得结果；
（3）由等边三角形性质可知QC=2r=102，设Qt,t−2，利用两点间距离公式可构造方程求得t，进而得到Q点坐标.
【解答过程】（1）
设圆心坐标为a,b，则b−4a−6=1a−22+b−62=a−62+b−42，解得：a=1b=−1，
∴圆的半径r=a−62+b−42=52，
∴圆C的方程为：x−12+y+12=50.
（2）
∵△CMN为直角三角形，CM=CN，∴CM⊥CN，
则圆心C到直线l2的距离d=22r=5；
当直线l2斜率不存在，即l2:x=6时，满足圆心C到直线l2的距离d=5；
当直线l2斜率存在时，可设l2:y−24=kx−6，即kx−y−6k+24=0，
∴d=k+1−6k+24k2+1=5，解得：k=125，
∴l2:125x−y+485=0，即12x−5y+48=0；
综上所述：直线l2的方程为x=6或12x−5y+48=0.
（3）
假设在直线l3存在点Q，使△QEF为正三角形，∴∠EQC=π6，∴QC=2r=102，
设Qt,t−2，∴QC2=t−12+t−2+12=200，解得：t=−9或t=11，
∴存在点Q−9,−11或11,9，使△QEF为正三角形.
30．(2023·江苏南京·高二开学考试）已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
(1)求⊙C的方程；
(2)设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO，（O为原点）记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程；
②过点M1，0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）①利用代点法求出点T的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点N的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.
【解答过程】（1）
由题意可设圆C的圆心C的坐标为(1,b)，∵圆C的圆心C在直线3x−y−3=0上，
∴ 3−b−3=0，解得：b=0，即圆心为(1，0)，
∴圆心到直线l的距离为d=22，设圆C的半径为r，∴弦长为2r2−d2=2r2−8，
由已知2r2−8=2
所以r2=9，所以圆C的标准方程为(x−1)2+y2=9；
（2）
设T(x，y)，D(x'，y')，则DT=(x−x',y−y'),TO=(−x,−y)，
由DT=2TO得：{x−x'=−2xy−y'=−2y，所以{x'=3xy'=3y
D在圆C上运动，(3x−1)2+(3y)2=9，
整理可得点T的轨迹方程E为：(x−13)2+y2=1
当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−1)，
联立{(x−13)2+y2=1y=k(x−1)化简可得(1+k2)x2+(−23−2k2)x+k2−89=0，
方程(1+k2)x2+(−23−2k2)x+k2−89=0的判别式Δ=(−2k2−23)2−4(k2+1)(k2−89)=209k2+4>0，
设N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1+x2=23+2k21+k2,x1x2=k2−891+k2
若x轴平分∠ANB，则kAN+kBN=0，所以y1x1−t+y2x2−t=0，
又y1=k(x1−1)，y2=k(x2−1)，
所以2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t=0，
所以2⋅k2−891+k2−(t+1)23+2k21+k2+2t=0，
所以k2−89−(t+1)(13+k2)+t(1+k2)=0
所以−89−13(t+1)+t=0
解得t=116，
∴当N(116,0)时，能使x轴平分∠ANB.
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．(2023·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知A4,3，B1,−1，以AB为直径；
(2)圆心为点C1,3且与直线3x−4y−6=0相切.
2．(2023·浙江·高二期末）已知圆C经过A(0,2)，B(0,8)两点，且与x轴的正半轴相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：x−y+3=0与圆C交于M，N，求|MN|.
3．(2023·河南开封·高二阶段练习）已知M(m,n)为圆C:x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的取值范围；
(2)求n−3m+2的最大值和最小值.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点Px,y是直线kx+y+4=0k>0上一动点，PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
5．(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
6．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+(y−1)2=r2(r>0)，过点A(−2,4)引圆M的切线，切线长为3.
(1)求r的值；
(2)若点P是圆M上一动点，点Q是曲线y=1x(x>0)上一动点，求|PQ|的最小值.
7．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C的方程为x2+y2−4x+6y−m=0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．
8．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M：x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆m相切于A、B两点.
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
9．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C:x−22+y2=1，动直线l过点P1,2.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程
(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.
10．(2023·福建福州·高二期末）圆C的圆心为C(1,0)，且过点A12,32．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：kx−y+2=0与圆C交M,N两点，且MN=2，求k．
11．(2023·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线x+2y−3=0与圆C：x2+y2+x−6y+m=0交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
12．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线y=−x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为（0，−3），探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
13．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线C:x2+y2−2x−4y+m=0和直线l:x+2y−4=0．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为25，求m的值．
14．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x−12+y−22=25及直线l:2m+1x+m+1y=7m+4m∈R．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
15．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点Px1,y1向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标．
16．(2023·全国·高二课时练习）若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于423，求实数t的取值范围．
17．(2023·云南·高二开学考试）已知圆C:x2+y2−2x+ay+3=0和直线l相切于点P2,−1.
(1)求圆C的标准方程及直线l的一般式方程；
(2)已知直线m经过点P，并且被圆C截得的弦长为22，求直线m的方程.
18．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C过点M(0，−2)，N(3，1) ，且圆心C在直线x+2y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P(2，0) 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0．
(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求m的值；
(2)当m=3时，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
20．(2023·全国·高二课时练习）已知圆M:x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若AB=2413，求直线MQ的方程．
21．(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过定点0,2，且与圆C:x2−2x+y2=0交于M、N两点．
(1)求直线l的斜率的取值范围．
(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x2+y2=8内有一点P−1,2，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
23．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C:x−22+y2=9．
(1)直线l1过点D−1,1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l2:x+3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积S的最大值．
24．(2023·四川省高二开学考试）已知两个定点A0,4、B0,1，动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线E，直线l:y=kx−4．
(1)求曲线E的方程；
(2)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
25．(2023·内蒙古·高一期中）已知点Pt,−t−1，圆C：x−32+y2=4．
(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)当t=5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．
26．（2023·吉林高二开学考试）已知圆C：x2+y2−2y−2=0，直线l：mx−y+1+m=0，点P(−1,1)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于不同的两点A,B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若|AP||PB|=2，求直线l的方程．
27．(2023·江苏省高二开学考试）已知直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0与圆C:x2+y2−4x=0.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
28．(2023·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：x−22+y−32=5，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
29．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A2,6，且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
(3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
30．(2023·江苏南京·高二开学考试）已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
(1)求⊙C的方程；
(2)设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO，（O为原点）记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程；
②过点M1，0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
专题2.17 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．(2023·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知A4,3，B1,−1，以AB为直径；
(2)圆心为点C1,3且与直线3x−4y−6=0相切.
【解题思路】（1）根据题意得到圆心52,1，半径为4−12+3+122，即可得到答案.
（2）根据直线与圆的位置关系求解即可.
【解答过程】（1）
圆心为AB的中点52,1，半径为4−12+3+122=52，
所以圆的标准方程为x−522+y−12=254.
（2）
点C到直线3x−4y−6=0的距离为d=3−12−632+−42=3，
所以圆的标准方程为x−12+y−32=9.
2．(2023·浙江·高二期末）已知圆C经过A(0,2)，B(0,8)两点，且与x轴的正半轴相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：x−y+3=0与圆C交于M，N，求|MN|.
【解题思路】（1）由题意，设圆心C(m,n)且半径r=|n|，由圆所过的点列方程求参数，结合与x轴的正半轴相切确定圆的方程；
（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求|MN|.
【解答过程】（1）
若圆心C(m,n)，则圆的半径r=|n|，即(x−m)2+(y−n)2=n2，
又圆C经过A(0,2)，B(0,8)，则{m2+n2−4n+4=n2m2+n2−16n+64=n2，可得{m=±4n=5，
所以(x−4)2+(y−5)2=25或(x+4)2+(y−5)2=25，又圆与x轴的正半轴相切，
故圆C的标准方程为(x−4)2+(y−5)2=25.
（2）
由（1）知：C(4,5)到直线l的距离为|4−5+3|2=2，圆的半径为r=5，
所以|MN|=2r2−2=223.
3．(2023·河南开封·高二阶段练习）已知M(m,n)为圆C:x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的取值范围；
(2)求n−3m+2的最大值和最小值.
【解题思路】（1）问题化为直线t=x+2y与圆有交点，即圆心到直线距离d≤22，即可求范围；
（2）Q(−2,3)，问题化为求直线MQ的斜率k最值，利用直线MQ与圆有交点，结合点线距离公式求范围，即可得结果.
【解答过程】（1）
因为x2+y2−4x−14y+45=0圆心C(2,7)，半径r=22，
设m+2n=t看成直线方程，其与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d=|2+2×7−t|12+22≤22，解得16−210≤t≤16+210，
所以所求的取值范围是[16−210,16+210].
（2）
记Q(−2,3)，因为n−3m+2表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y−3=k(x+2)，即kx−y+2k+3=0.
因为直线与圆有公共点，所以|2k−7+2k+3|1+k2≤22，可得2−3≤k≤2+3
所以n−3m+2的最大值为2+3，最小值为2−3.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点Px,y是直线kx+y+4=0k>0上一动点，PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
【解题思路】连接CA,CB，求出圆心和半径，由题意可得SPACB=2×12PA⋅CA=PA，然后由四边形PACB的最小面积是2，可得点C到直线的距离为5，再利用点到直线的距离公式列方程可求得答案.
【解答过程】连接CA,CB，
由x2+y2−2y=0，得x2+(y−1)2=1，
则圆心C(0,1)，半径为1，
因为PA ，PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，
所以PA=PB,PA⊥CA,PB⊥CB，
所以SPACB=2×12PA⋅CA=PA，
因为SPACB≥2，所以PA≥2，
因为PC2=PA2+CA2=PA2+1，
所以PC2≥5，
所以当四边形PACB的最小面积是2时，点C到直线的距离为5，
所以1+4k2+1=5，
解得k=2或k=−2（舍去），
5．(2023·四川·高二开学考试（文））已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M､N两点，Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=219时，求直线l的方程.
【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆A的半径即可求解；(2)首先当直线l斜率不存在时，求出弦长|MN|，满足题意；当直线l斜率存在时设出直线l的方程，利用圆的弦长公式求出|AQ|，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，
所以A−1,2到直线l1的距离d0=−1+4+75=25=r，
故圆A的方程为：(x+1)2+(y−2)2=20.
（2）
①当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为：x=−2，
此时，圆心A−1,2到直线l的距离为1，
从而弦长|MN|=220−1=219，满足题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0，
连接AQ，则AQ⊥MN，
∵MN=219，所以AQ=r2−(|MN|2)2=20−19=1，
从而AQ=−k−2+2kk2+12=1，得k=34，
故直线l的方程：3x−4y+6=0.
综上所述，直线l的方程为：x=−2或3x−4y+6=0.
6．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M:(x+1)2+(y−1)2=r2(r>0)，过点A(−2,4)引圆M的切线，切线长为3.
(1)求r的值；
(2)若点P是圆M上一动点，点Q是曲线y=1x(x>0)上一动点，求|PQ|的最小值.
【解题思路】（1）利用勾股定理进行求解.
（2）设Qx0,y0，利用两点间的距离公式，通过配方求解.
【解答过程】（1）
由题意得圆心M的坐标为(−1,1)，
又A(−2,4)，故|AM|2=10，
因为切线长3，所以|AM|2−r2=32，
所以r=1.
（2）
设Qx0,y0，则y0=1x0，
故|MQ|2=x0+12+1x0−12=x02+1x02+2x0−1x0+2=x0−1x02+2x0−1x0+4
=x0−1x0+12+3≥3，
当且仅当x0−1x0+1=0，即x0=5−12时取等号，
故|MQ|的最小值为3，
故|PQ|的最小值为3−1.
7．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C的方程为x2+y2−4x+6y−m=0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．
【解题思路】（1）将圆C的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+m>0，解之即可；
（2）利用弦长公式MN=2r2−d2求得r，进而得到m+13=5，易得m的值.
【解答过程】（1）
方程x2+y2−4x+6y−m=0可化为(x−2)2+(y+3)2=13+m，
∵此方程表示圆，
∴13+m>0，即m>−13，即m∈−13,+∞.
（2）
由（1）可得圆心C(2,−3)，半径r=m+13，
则圆心C(2,−3)到直线l:x+y+3=0的距离为d=|2−3+3|12+12=2，
由弦长公式MN=2r2−d2及MN=23，得23=2r2−22，解得r=5，
∴r=m+13=5，得m=−8．
8．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆M：x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆m相切于A、B两点.
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
【解题思路】（1）设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设点Q的坐标，根据SQAMB=2SQAM求出面积，再分析面积的最小值即可.
【解答过程】（1）
由题意，过点Q1,0且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为x=1，
当过点Q1,0的直线不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x−1），即kx−y−k=0，由−2−kk2+1=1解得k=−34，此时切线方程为3x+4y−3=0.
（2）
连接QM，因为圆的方程为x2+y−22=1，所以M0,2，r=1，设Qm,0，所以QM=m2+4，根据勾股定理得QA=m2+3，所以SQAMB=2S△QAM=2×12×m2+3×1=m2+3，所以当m=0时，四边形QAMB的面积最小，Smin=3.
9．(2023·河南·高二阶段练习）已知圆C:x−22+y2=1，动直线l过点P1,2.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程
(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【解题思路】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为x=1，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为−34，即可写出切线方程.
（2）设Mx,y，根据CM2+PB2=PC2，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.
【解答过程】（1）
当直线l斜率不存在时x=1，显然直线l与圆C相切且切点为E1,0，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则∠EPD=2∠EPC，又tan∠EPC=12
所以tan∠EPD=2tan∠EPC1−tan2∠EPC=43，由图知，直线DP的倾斜角的补角与∠EPD互余，
所以直线DP的斜率为−34，故另一条切线方程为y−2=−34x−1，即3x+4y−11=0，
综上，直线l的方程为x=1或3x+4y−11=0.
（2）
由（1）知直线l与圆C相交于A､B两点，则斜率必存在，
设Mx,y，则CM2+PM2=PC2=5，
所以x−22+y2+x−12+y−22=5，整理得x−322+y−12=54，
当直线l与圆C相切于点D时，直线CD的斜率为43，其方程为：
y=43(x−2)，由y=43x−23x+4y−11=0，得x=135y=45，即切点D(135,45)，
对于M的轨迹方程x−322+y−12=54，当x=32时，y=1−52，
所以1
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：kx−y+2=0与圆C交M,N两点，且MN=2，求k．
【解题思路】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；
（2）由题知圆心C到直线l的距离为d=22，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
解：因为圆C的圆心为C(1,0)，且过点A12,32,
所以半径r=(1−12)2+(0−32)2=1，
所以，圆C的标准方程为(x−1)2+y2=1
（2）
解：设圆心C到直线l的距离为d，因为MN=2
所以|MN|=2r2−d2=21−d2=2，解得d=22
所以，由圆心到直线距离公式可得d=|k+2|k2+1=22．
解得k=−1或k=−7．
11．(2023·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线x+2y−3=0与圆C：x2+y2+x−6y+m=0交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
【解题思路】（1）求得线段PQ垂直平分线的方程，通过求两条直线的交点的方法求得M.
（2）联立直线x+2y−3=0与圆C的方程，化简写出根与系数关系，根据OP⊥OQ列方程，化简求得m，从而求得圆的半径，进而求得圆的面积.
【解答过程】（1）
圆C的圆心为C−12,3，直线x+2y−3=0的斜率为−12，
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为2，
线段PQ的垂直平分线经过C−12,3，
所以线段PQ的垂直平分线方程为y−3=2x+12,y=2x+4，
由y=2x+4x+2y−3=0⇒M−1,2
（2）
由x+2y−3=0x2+y2+x−6y+m=0消去x并化简得5y2−20y+12+m=0，
设Px1,y1,Qx2,y2，则y1+y2=4,y1⋅y2=12+m5，
x1=−2y1+3,x2=−2y2+3，
由于OP⊥OQ，所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=0，
即3−2y13−2y2+y1y2=0，
即9−6y1+y2+5y1y2=0，
所以9−6×4+5×12+m5=0,m=3.
所以圆的半径为1+36−4m2=1+36−122=52，
所以圆的面积为π×522=25π4.
12．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线y=−x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为（0，−3），探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将A,B代入方程，即可求解，
（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及PM×PN=PM⋅PN即可求解.
【解答过程】（1）
由于圆心在y=−x，故设圆的方程为x−a2+y+a2=r2，将A（1，2），B（2，1）代入可得1−a2+2+a2=r22−a2+1+a2=r2，解得a=0r2=5，
所以圆的方程为：x2+y2=5
（2）
当直线l⊥x轴时，PM×PN=3−53+5=4，
当直线l有斜率时，设其方程为：y=kx−3，
联立直线与圆的方程x2+y2=5y=kx−3，消元得k2+1x2−6kx+4=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2,则x1x2=4k2+1，Δ=20k2−16>0，
由于点P在圆外，所以PM×PN=PM⋅PN=x1x2+y1+3y2+3=x1x2+k2x1x2=1+k2x1x2，
因此PM×PN=1+k2x1x2=1+k241+k2=4，
综上，无论l的位置如何变化，PM×PN=4，为定值.
13．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线C:x2+y2−2x−4y+m=0和直线l:x+2y−4=0．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为25，求m的值．
【解题思路】（1）通过对x2+y2−2x−4y+m=0变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知m<5，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距d，利用弦心距､半径与半弦长的关系计算即得结论
【解答过程】（1）
∵x2+y2−2x−4y+m=0，∴(x−1)2+(y−2)2=5−m，
又∵曲线C表示圆，∴5−m>0，即m<5，
所以m的取值范围为−∞,5；
（2）
由（1）可知m<5，圆心坐标为1,2，
又∵直线l:x+2y−4=0，∴圆心到直线l的距离d=|1+4−4|1+22=55，
∵直线l截得的弦长为25，∴5−m=2522+552，
解得：m=−15.
14．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x−12+y−22=25及直线l:2m+1x+m+1y=7m+4m∈R．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
【解题思路】（1）根据直线过定点3,1，而该点在圆内，即可求解，
（2）由l⊥CM时，圆心到直线l的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.
【解答过程】（1）
将直线l的方程变形为2x+y−7m+x+y−4=0，令2x+y=7x+y=4，解得x=3y=1，即直线l过定点3,1．因为3−12+1−22=5<25，所以点3,1在圆内部．所以不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
（2）
（1）的结论知直线l过定点M3,1，且当直线l⊥CM时，此时圆心到直线l的距离最大，进而l被圆所截的弦长AB最短，故CM=3−12+1−22=5,
从而此时AB=2r2−CM2=252−52=45，
此时kAB=−1kCM=2,直线AB方程为y−1=2(x−3)，即2x−y−5=0.
15．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点Px1,y1向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标．
【解题思路】（1）根据题意，设所求切线方程为x+y=aa≠0，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数a的等式，解出a的值，即可得出所求切线的方程；
（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点P在直线2x−4y+3=0上，再由PM=PO可知当OP与直线2x−4y+3=0垂直时，PM取最小值，求出此时PO的方程，与直线2x−4y+3=0的方程联立可求得点P的坐标.
【解答过程】（1）
解：∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为x+y=aa≠0，
又∵圆C的标准方程为x+12+y−22=2，
所以，圆心C−1,2到切线的距离等于圆的半径2，
则−1+2−a2=2，解得a=−1或a=3，
因此，所求切线的方程为x+y+1=0或x+y−3=0.
（2）
解：∵PM⊥CM，∴PM2=PC2−CM2=PC2−2，
又∵PM=PO，∴PC2−2=PO2，
所以，x1+12+y1−22−2=x12+y12，则2x1−4y1+3=0．
所以，点P在直线2x−4y+3=0上．
∵PM=PO，∴PM的长度的最小值就是PO长度的最小值，
而PO长度的最小值为O到直线2x−4y+3=0的距离，
此时直线PO的方程为2x+y=0．
由2x−4y+3=02x+y=0，解得x=−310y=35，
因此，使得PM的长度取得最小值的点P的坐标为−310,35．
16．(2023·全国·高二课时练习）若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于423，求实数t的取值范围．
【解题思路】利用直线与圆相交时圆心到直线距离与半径的关系以及所给弦长条件建立不等式求解即得.
【解答过程】解：圆x2+y2=8的圆半径为r=22，
设直线被圆截得的弦长为l，圆心0,0到直线y=x+t的距离d=t2，
由题意，得d
结合−4
17．(2023·云南·高二开学考试）已知圆C:x2+y2−2x+ay+3=0和直线l相切于点P2,−1.
(1)求圆C的标准方程及直线l的一般式方程；
(2)已知直线m经过点P，并且被圆C截得的弦长为22，求直线m的方程.
【解题思路】（1）将点P的坐标代入圆C的方程，求出实数a的值，可得出圆C的标准方程，求出直线PC的斜率，由圆的几何性质可得PC⊥l，可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线m过圆心，求出直线m的斜率，利用点斜式可得出直线m的方程.
【解答过程】（1）
把点P2,−1代入圆C的方程，可得4+1−4−a+3=0，解得a=4，
∴得C的方程为x2+y2−2x+4y+3=0，即x−12+y+22=2，
∵圆心为C1,−2，所以，直线PC的斜率为kPC=−1+22−1=1，
由圆的几何性质可知PC⊥l，则直线l的斜率为−1，
∴直线l的方程为y+1=−x−2，即x+y−1=0.
（2）
由（1）可知，圆C的直径为22，故直线m经过圆心C1,−2，
且直线PC的斜率为kPC=1，∴直线m的方程为y+1=x−2，即x−y−3=0．
18．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C过点M(0，−2)，N(3，1) ，且圆心C在直线x+2y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P(2，0) 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意列出方程组，解方程组求得答案；
（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心C(3，−2) 必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.
【解答过程】（1）
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则有−D2−E+1=04−2E+F=010+3D+E+F=0，解得D=−6E=4F=4，
所以圆C的方程为x2+y2−6x+4y+4=0，
化为标准方程，得x−32+y+22=9．
（2）
假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，
故圆心C(3，−2) 必在直线l上，所以直线l的斜率kPC=22−3=−2，
又kAB=a=−1kPC，所以a=12．
将ax−y+1=0与圆C的方程联立，
整理得a2+1x2+6a−1x+9=0，由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36a−12−36a2+1>0，解得a<0，与a=12矛盾，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
19．(2023·全国·高二单元测试）已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0．
(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，求m的值；
(2)当m=3时，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
【解题思路】（1）由已知得出r=5−m，再根据圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半列出关于r的等式，求出r，即可得到m的值；
（2）根据截距为零和截距不为零分情况设出切线的方程，利用圆心到切线的距离为半径构建等式可得到答案。
【解答过程】（1）解：将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y−2)2=5−m，所以圆C的圆心为C(−1,2)，半径为r=5−m．因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半，所以(r4)2+22=r2，所以r2=6415，即5−m=6415，解得m=1115．
（2）当m=3时将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心C(−1,2)，半径r=2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y=kx，所以圆心到切线的距离为|−k−2|k2+1=2，即k2−4k−2=0，解得k=2±6．所以切线方程为y=(2+6)x或y=(2−6)x．②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为x+y−a=0，所以圆心到切线的距离为|−1+2−a|2=2，即|a−1|=2，解得a=3或−1．所以切线方程为x+y+1=0或x+y−3=0．
综上所述，所求切线方程为y=(2+6)x或y=(2−6)x或x+y+1=0或x+y−3=0.
20．(2023·全国·高二课时练习）已知圆M:x2+y−22=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若Q1,0，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若AB=2413，求直线MQ的方程．
【解题思路】（1）根据过点Q的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（2）求得四边形QAMB面积的表达式，由MQ的最小值求得面积的最小值.
（3）根据AB=2413以及圆的切线的几何性质求得Q点坐标，进而求得直线MQ的方程.
【解答过程】（1）
圆M:x2+y−22=1的圆心为0,2，半径为1，
当过点Q的切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，与圆相切，符合题意；
当过点Q的切线的斜率存在时，设切线方程为y=kx−1，即kx－y－k＝0，
所以圆心0,2到切线的距离d=2+kk2+1=1，解得k=−34．
所以切线方程为3x＋4y－3＝0．
综上，切线方程为x＝1或3x＋4y－3＝0．
（2）
由题意得四边形QAMB的面积S=2S△MAQ=2×12×1×MQ2−1=MQ2−1，
所以当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2，
所以四边形QAMB面积的最小值为22−1=3．
（3）
由题意得圆心M到弦AB的距离为1−12132=513．
设MQ=x，x>0，则QA2=x2−1．
又AB⊥MQ，所以x−5132+12132=x2−1，解得x=135，
OQ2=MQ2−OM2=16925−4=6925，
所以Q695,0或Q−695,0，
所以kMQ=±2−00−695=±106969，
所以直线MQ的方程为y=−106969x+2或y=106969x+2．
21．(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过定点0,2，且与圆C:x2−2x+y2=0交于M、N两点．
(1)求直线l的斜率的取值范围．
(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，利用点到直线的距离公式可得出关于k的不等式，解之即可；
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+2，将该直线的方程与圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出k1+k2的值.
【解答过程】（1）
解：圆C的标准方程为x−12+y2=1，圆心为C1,0，半径为1.
若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意.
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，
由题意可得k+2k2+1<1，解得k<−34.
因此，直线l的斜率的取值范围是−∞,−34.
（2）
解：设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+2.
联立y=kx+2x2−2x+y2=0，得1+k2x2+4k−2x+4=0，其中k<−34，
所以x1+x2=2−4k1+k2，x1x2=41+k2，
则k1+k2=y1x1+y2x2=y1x2+y2x1x1x2=kx1+2x2+kx2+2x1x1x2=2kx1x2+2x1+x2x1x2 =2k+2×2−4k1+k241+k2=2k+1−2k=1，
所以k1+k2为定值1.
22．(2023·全国·高二课时练习）已知圆C:x2+y2=8内有一点P−1,2，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，
（2）根据直线垂直斜率乘积为−1，即可得直线AB的斜率，进而根据点斜式即可求方程，
（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.
【解答过程】（1）
当α=135°时，则kAB=tan135∘=−1，此时直线AB方程为：y−2=−1x+1⇒x+y−1=0，故圆心到直线AB的距离d=12，又r=22，
所以AB=2r2−d2=2222−122=30，
（2）
弦AB被点P平分时，则OP⊥AB,kOP=−2⇒kAB=12,所以直线AB方程为：y−2=12x+1⇒x−2y+5=0，
（3）
设中点为Q(x,y)，则PQ=x+1,y−2,OQ=(x,y)，由于OQ⊥PQ,
所以PQ⋅OQ=0⇒x(x+1)+y(y−2)=0，即x+122+y−12=54，
故点Q是以−12,1为圆心，52为半径的圆．
23．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C:x−22+y2=9．
(1)直线l1过点D−1,1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l2:x+3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积S的最大值．
【解题思路】（1）根据直线l1的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出MN，再根据几何性质可知，当CP⊥AB时，点P到直线l2距离的最大值为半径加上圆心C到直线AB的距离，即可解出．
【解答过程】（1）
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线l1与圆C相切，得2k−0+k+1k2+1=3，解得k=43，所以直线l1的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x=−1，显然与圆C相切．
综上，直线l1的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）
由题意得圆心C到直线l2的距离d=2+0−11+3=12，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以MN=2×32−122=35，
点P到直线l2距离的最大值为r+d=72，
则△PMN的面积的最大值Smax=12×MN×r+d=12×35×72=7354．
24．(2023·四川省高二开学考试）已知两个定点A0,4、B0,1，动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线E，直线l:y=kx−4．
(1)求曲线E的方程；
(2)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解题思路】（1）设点P的坐标为x,y，由PA=2PB结合平面内两点间的距离公式化简可得出点P的轨迹方程；
（2）设Gx0,y0为圆x2+y2=4上任意一点，先证明出圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x0x+y0y=4，设点Qt,t−4、Mx1,y1、Nx2,y2，可写出直线QM、QN的方程，将点Q的坐标代入直线QM、QN的方程，可求得直线MN的方程，化简直线MN的方程，可求得直线MN所过定点的坐标.
【解答过程】（1）
解：设点P的坐标为x,y，
由PA=2PB可得，x2+y−42=2x2+y−12，整理可得x2+y2=4，
所以曲线E的方程为x2+y2=4．
（2）
解：设Gx0,y0为圆x2+y2=4上任意一点，则x02+y02=4，
当x0y0≠0时，kOG=y0x0（O为坐标原点），
此时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为y−y0=−x0y0x−x0，即x0x+y0y=4；
当x0=0时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为y=2或y=−2，切线方程满足x0x+y0y=4；
当y0=0时，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x=2或x=−2，切线方程满足x0x+y0y=4.
因此，圆x2+y2=4在点G处的切线方程为x0x+y0y=4.
当k=1时，直线l的方程为y=x−4，设点Qt,t−4、Mx1,y1、Nx2,y2，
则直线QM的方程为x1x+y1y=4，直线QN的方程为x2x+y2y=4，
所以，tx1+t−4y1=4tx2+t−4y2=4，
所以，点M、N的坐标满足方程tx+t−4y=4，
故直线MN的方程为tx+t−4y=4，即tx+y−4y+1=0，
由x+y=0y+1=0，解得x=1y=−1，
因此，直线MN过定点1,−1.
25．(2023·内蒙古·高一期中）已知点Pt,−t−1，圆C：x−32+y2=4．
(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)当t=5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．
【解题思路】（1）把点P的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点P在圆外；
（2）分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；
（3）由经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，得到CP⩽6，代入可求t的范围．
【解答过程】（1）
把点P的坐标代入圆的方程的左边计算，
(t−3)2+(−t−1)2=2t2−4t+10=2(t−1)2+8>4，
所以点P在圆外．
（2）
当t=5时，点P的坐标为(5,−6)，
由圆C:(x−3)2+y2=4．知圆心为(3,0)，r=2，
①当直线n的斜率不存在，方程为x=5，圆以到直线x=5的距离为2，
所以x=5是圆的切线；
②当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为y+6=k(x−5)，即kx−y−5k−6=0，
由题意有3k−0−5k−6k2+1=2，解得k=−43，
所以直线n的方程为y+6=−43(x−5)，即4x+3y−2=0，
综上所述，过点P与圆相切的直线方程为x=5或4x+3y−2=0
（3）
若存在经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，
由圆的半径为2，所以AB⩽4，
则有PB⩽8，CP⩽6，当AB为直径时，CP有最大值6，
所以有(t−3)2(−t−1)2⩽6，
解得1−14⩽t⩽1+14，
所以横坐标的取值范围为{t|1−14⩽t⩽1+14}．
26．（2023·吉林高二开学考试）已知圆C：x2+y2−2y−2=0，直线l：mx−y+1+m=0，点P(−1,1)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于不同的两点A,B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若|AP||PB|=2，求直线l的方程．
【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【解答过程】（1）
因为直线l：mx−y+1+m=0过定点(−1,1)，
又(−1)2+12−2×1−2=−2<0，所以(−1,1)在圆C内，
所以直线l与圆C相交；
（2）
设M(x,y)，当M与P不重合，即x≠−1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理|CM|2+|MP|2=|CP|2．则x2+(y−1)2+(x+1)2+(y−1)2=1，化简得：x2+y2+x−2y+1=0（x≠−1）；当M与P重合时，x=−1，y=1也满足上式，故弦AB的中点的轨迹方程为x2+y2+x−2y+1=0；
（3）
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为|AP||PB|=2，所以AP=2PB，
所以−1−x1=2(x2+1)，化简得x1=−3−2x2． ①
又{mx−y+1+m=0,x2+(y−1)2=3,消去y并整理得(1+m2)x2+2m2x+m2−3=0，
所以x1+x2=−2m21+m2②，x1x2=m2−31+m2． ③
由①②③联立，解得m=±3，
所以直线l的方程为3x−y+1+3=0或3x+y+3−1=0．
27．(2023·江苏省高二开学考试）已知直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0与圆C:x2+y2−4x=0.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）由已知(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0,可得(2x+y−3)+m(x−2y+6)=0.根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点(0,3).
（2）设出直线l的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.
【解答过程】（1）
由直线l:(m+2)x+(1−2m)y+6m−3=0得m(x−2y+6)+(2x+y−3)=0，
联立x−2y+6=02x+y−3=0，解得x=0y=3，
∴直线l恒过定点(0,3).
（2）
圆C:x2+y2−4x=0的圆心为2,0，半径为2，直线l过点0,3，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+3，
联立y=kx+3x2+y2−4x=0，得(1+k2)x2+(6k−4)x+9=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−6k−41+k2，x1x2=91+k2，
k1+k2=y1x1+y2x2=kx1+3x1+kx2+3x2=2k+3(x1+x2)x1x2=2k+3(4−6k)9=43.
∴k1+k2是定值，定值为43.
28．(2023·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：x−22+y−32=5，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
【解题思路】（1）方法一：求出直线l的方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得到结论；
方法二：观察到点D在圆C上，求出直线l的斜率及直线CD的斜率，得到直线l与直线CD垂直，从而证明出相切；
（2）选择①：得到直线l过圆心C（2，3），求出直线l的方程，得到D到直线l的距离及AB的长，从而求出面积；
选择②：求出直线l的方程，观察到圆心C（2，3）在直线l上，得到D到直线l的距离及AB的长，从而求出面积；
【解答过程】（1）
方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为y−0=2−04−3x−3，即2x－y－6＝0．
由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径r=5，则圆心C（2，3）到直线l的距离为2×2−3−622+1=5=r，
所以直线l与圆C相切．
方法二：由D（4，2）满足C：x−22+y−32=5，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）．
若直线l经过点D，则直线l的斜率kl=2−04−3=2，
又kCD=2−34−2=−12，所以kl⋅kCD=−1，所以l⊥CD．
所以直线l与圆C相切．
（2）
选择条件①：若直线l平分圆C，
则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为y−0=3−02−3x−3，即3x＋y－9＝0．
AB=2r=25，点D（4，2）到直线l的距离ℎ=3×4+2−910=102，
所以S△ABD=12AB×ℎ=12×25×102=522．
选择条件②：若直线l的斜率为－3，
则直线l的方程为y−0=−3x−3，即3x＋y－9＝0，
此时圆心C（2，3）在直线l上，则AB=2r=25，
点D（4，2）到直线l的距离ℎ=3×4+2−910=102，所以S△ABD=12AB×ℎ=12×25×102=522．
29．(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A2,6，且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
(3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）设圆心为a,b，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径r，由此可得圆的方程；
（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线l2的距离d=22r=5；分别在直线l2斜率不存在和存在的情况下，根据d=5构造方程求得结果；
（3）由等边三角形性质可知QC=2r=102，设Qt,t−2，利用两点间距离公式可构造方程求得t，进而得到Q点坐标.
【解答过程】（1）
设圆心坐标为a,b，则b−4a−6=1a−22+b−62=a−62+b−42，解得：a=1b=−1，
∴圆的半径r=a−62+b−42=52，
∴圆C的方程为：x−12+y+12=50.
（2）
∵△CMN为直角三角形，CM=CN，∴CM⊥CN，
则圆心C到直线l2的距离d=22r=5；
当直线l2斜率不存在，即l2:x=6时，满足圆心C到直线l2的距离d=5；
当直线l2斜率存在时，可设l2:y−24=kx−6，即kx−y−6k+24=0，
∴d=k+1−6k+24k2+1=5，解得：k=125，
∴l2:125x−y+485=0，即12x−5y+48=0；
综上所述：直线l2的方程为x=6或12x−5y+48=0.
（3）
假设在直线l3存在点Q，使△QEF为正三角形，∴∠EQC=π6，∴QC=2r=102，
设Qt,t−2，∴QC2=t−12+t−2+12=200，解得：t=−9或t=11，
∴存在点Q−9,−11或11,9，使△QEF为正三角形.
30．(2023·江苏南京·高二开学考试）已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x−y+3=0截得的弦长为2.
(1)求⊙C的方程；
(2)设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO，（O为原点）记点T的轨迹为E.
①求曲线E的方程；
②过点M1，0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）①利用代点法求出点T的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点N的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.
【解答过程】（1）
由题意可设圆C的圆心C的坐标为(1,b)，∵圆C的圆心C在直线3x−y−3=0上，
∴ 3−b−3=0，解得：b=0，即圆心为(1，0)，
∴圆心到直线l的距离为d=22，设圆C的半径为r，∴弦长为2r2−d2=2r2−8，
由已知2r2−8=2
所以r2=9，所以圆C的标准方程为(x−1)2+y2=9；
（2）
设T(x，y)，D(x'，y')，则DT=(x−x',y−y'),TO=(−x,−y)，
由DT=2TO得：{x−x'=−2xy−y'=−2y，所以{x'=3xy'=3y
D在圆C上运动，(3x−1)2+(3y)2=9，
整理可得点T的轨迹方程E为：(x−13)2+y2=1
当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−1)，
联立{(x−13)2+y2=1y=k(x−1)化简可得(1+k2)x2+(−23−2k2)x+k2−89=0，
方程(1+k2)x2+(−23−2k2)x+k2−89=0的判别式Δ=(−2k2−23)2−4(k2+1)(k2−89)=209k2+4>0，
设N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1+x2=23+2k21+k2,x1x2=k2−891+k2
若x轴平分∠ANB，则kAN+kBN=0，所以y1x1−t+y2x2−t=0，
又y1=k(x1−1)，y2=k(x2−1)，
所以2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t=0，
所以2⋅k2−891+k2−(t+1)23+2k21+k2+2t=0，
所以k2−89−(t+1)(13+k2)+t(1+k2)=0
所以−89−13(t+1)+t=0
解得t=116，
∴当N(116,0)时，能使x轴平分∠ANB.
相关试卷
数学人教A版 (2019)2.4 圆的方程测试题： 这是一份数学人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000329_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.4 圆的方程测试题</a>，共16页。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程测试题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000329_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程测试题</a>，共20页。试卷主要包含了圆的定义，圆的标准方程，圆的一般方程，二元二次方程与圆的方程，点与圆的位置关系，与圆有关的对称问题，与圆有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精练： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000328_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.3 直线的交点坐标与距离公式精练</a>，共18页。试卷主要包含了两条直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式，中点坐标公式等内容，欢迎下载使用。
