04 第32讲　平面向量的综合问题 【答案】听课高考数学练习

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【知识聚焦】
1.向量 向量问题 向量运算
【对点演练】
1.5 [解析] ∵AC·BD=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×5×25=5.
2.|v1|+|v2| [解析] 顺风行驶的速度的大小为|v1|+|v2|.
3.-14,2 [解析] 取线段AB的中点O,连接OC,则OC⊥AB,以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设P(a,0),则-1≤a≤1,B(1,0),C(0,3),所以PB=(1-a,0),PC=(-a,3),所以PB·PC=a(a-1)=a-122-14∈-14,2.
4.重 [解析] 由原等式得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法则知AB+AC=2AD(D为BC的中点),所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.
5.外心 [解析] 设D为BC的中点,可得AC+AB=2AD,∵AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB),∴2AP·BC=AC2-AB2=2AD·(AC-AB),∵BC=AC-AB,∴AP·BC=AD·BC,移项得BC·(AD-AP)=0,即BC·PD=0,∴BC⊥PD,∴点P是△ABC的外心.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由三角形“四心”的性质即可判断出答案.(2)利用正弦定理将sin A·OA+sin B·OB+sin C·OC=0化为aOA+bOB+cOC=0后,再变形为a+b+c)OC=-abCA|CA|+CB|CB|,进而得到结论.
(1)B (2)C [解析] (1)∵MA+MB+MC=0,∴MA+MB=-MC,设AB的中点为D,则MA+MB=2MD,∴C,M,D三点共线,即M为△ABC的中线CD上的点,且MC=2MD,∴M为△ABC的重心.∵|NA|=|NB|=|NC|,∴NA=NB=NC,∴N为△ABC的外心.∵PA·PB=PB·PC,∴PB·(PA-PC)=0,即CA·PB=0,∴PB⊥AC.同理可得,PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.故选B.
(2)由题及正弦定理得aOA+bOB+cOC=0,可得cOC=-aOA-bOB=-a(OC+CA)-b(OC+CB),所以(a+b+c)OC=-aCA-bCB=-abCA|CA|+CB|CB|,所以点O在C的平分线上.同理可得,O也在A,B的平分线上.故点O是△ABC的内心.
变式题 (1)C (2)1 [解析] (1)设AB的中点为D,连接OD,因为点O为△ABC的外心,所以OD⊥AB,所以AB·AO=AB·(AD+DO)=AB·AD+AB·DO=12AB2+0=12×22=2.
(2)如图所示,∵OH=m(OA+OB+OC),OH=AH-AO,∴AH-AO=m(OA+OB+OC),∴AH=(m-1)OA+m(OB+OC),取BC的中点D,连接OD,则OD⊥BC,∴OB+OC=2OD,OD·BC=0.∵AH⊥BC,∴AH·BC=0,∵AH·BC=(m-1)OA·BC+2mOD·BC,∴0=(m-1)OA·BC+0,∵OA·BC不恒为0,∴m-1=0,解得m=1.
例2 [思路点拨] (1)以AB,AD为基底,求DE·DC,利用函数性质求最小值.(2)在△ABC中,根据已知条件与余弦定理可得到BC=3AC,进而求得EC=2AC,AE=32AC,再利用余弦定理可得cs∠AEC=78,即可求得答案.
(1)B (2)A [解析] (1)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,则|AB|=|AD|=2,AB·AD=|AB|·|AD|·cs∠BAD=2×2×12=2.因为DE=AE-AD=xAB+1-x3AD-AD=xAB+-2-x3AD,DC=AB,所以DE·DC=xAB+-2-x3AD·AB=xAB2+-2-x3AD·AB=4x-43-23x=10x-43,又x∈[0,1],所以当x=0时,DE·DC取得最小值-43.故选B.
(2)在△ABC中,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(BA+AC)=13AB+23AC,因为AB·AD=4AC·AD,所以(AB-4AC)·AD=0,所以(AB-4AC)·13AB+23AC=0,整理得|AB|2-2AB·AC-8|AC|2=0,即|AB|2-2|AB|·|AC|cs∠BAC-8|AC|2=0,由余弦定理得AB2-2AC·AB·AB2+AC2-BC22AC·AB-8AC2=0,整理可得BC=3AC,又BD=2CD,BD,CD的中点分别为E,F,所以EC=23BC=2AC,AE=EF=32AC.在△AEC中,由余弦定理得cs∠AEC=AE2+EC2-AC22AE·EC=94AC2+4AC2-AC22×32AC×2AC=78,
因为cs∠AEC=1-2sin2∠AEC2=78,且0<∠AEC2<π2,所以sin∠AEC2=14,
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变式题 D [解析] 取BC的中点D,连接OD,则OD⊥BC,所以BC·AO=BC·(AD+DO)=BC·AD+BC·DO=BC·AD=(AC-AB)·12(AC+AB)=12(AC2-AB2)=12(b2-c2)=12[b2-(2b-b2)]=b2-b=b-122-14,因为c2=2b-b2>0,即b(b-2)<0,所以0例3 [思路点拨] 将向量a,b,c的起点平移到坐标原点O,设向量2a,b,c的终点分别为A,B,C,将(c-2a)·(c-b)=0化为AC⊥BC,得点C在以AB为直径的圆上,利用圆的知识可求出结果.
D [解析] 将向量a,b,c的起点平移到坐标原点O,设向量2a,b,c的终点分别为A,B,C,则c-2a=OC-OA=AC,c-b=OC-OB=BC,由(c-2a)·(c-b)=0,得AC·BC=0,得AC⊥BC,则点C在以AB为直径的圆上.因为a,b均为单位向量,且夹角为π3,所以不妨设a=(1,0),b=12,32,则A(2,0),B12,32(如图),所以以线段AB为直径的圆的圆心M54,34,半径为122-122+0-322=32,又|MO|=2516+316=72,所以|c|=|OC|≤|OM|+32=72+32,所以|c|的最大值为7+32.故选D.
变式题 A [解析] 依题意可设a=OA=(1,0),b=OB=(x,y),c=OC,则4a-b=(4-x,-y),又|4a-b|=1,所以(4-x)2+(-y)2=1,即(x-4)2+y2=1,则点B在以D(4,0)为圆心,1为半径的圆上运动(如图).因为=π6,所以点C在曲线y=±33x(x>0)上运动,根据对称性不妨令点C在曲线y=33x(x>0)上,则|b-c|表示圆D上的点B与曲线y=33x(x>0)上的点C之间的距离,因为圆心D到曲线y=33x(x>0)的距离d=4(3)2+12=2,所以|b-c|的最小值为d-1=1.故选A.