02 第30讲　平面向量基本定理及坐标表示 【答案】听课高考数学练习

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【知识聚焦】
1.(1)不共线 任一 有且只有一对 (2)不共线 所有
2.互相垂直
3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
(2)(x2-x1,y2-y1) (x2-x1)2+(y2-y1)2
4.x1y2-x2y1=0
【对点演练】
1.(9,7) [解析] 依题意得AB=(2,1),CD=(5,5),所以2AB+CD=2(2,1)+(5,5)=(9,7).
2.(1,5) [解析] 设D(x,y),因为AB=DC,所以(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y),即4=5-x,1=6-y,解得x=1,y=5,即D(1,5).
3.13 [解析] MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(CA+AB)=12AB-16AC,又MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-16,所以x+y=13.
4.2 [解析] 这三个向量中,b∥c,a与b不平行,a与c不平行,所以可以构成基底的是{a,b},{a,c},所以能构成2个基底.
5.2 [解析] 因为a=(1,-2),b=(-1,m),a∥b,所以1×m-(-2)×(-1)=0,解得m=2.
6.-53,83或(1,0) [解析] 由点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,可得AP=2PB或AP=-2PB.当AP=2PB时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-53,b=83,此时点P的坐标为-53,83.当AP=-2PB时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).综上,点P的坐标为-53,83或(1,0).
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)将AG用AB,AD表示出来,得到x,y的值,即可求解.(2)过点E作直线EH∥BF交AG于点H,结合BE=38BG和AF=13AG可求出AOAE=47,再用AB,BG表示出AO即可得出答案.
(1)A (2)C [解析] (1)设AC与BD相交于点O,则O为AC,BD的中点,因为G为△ABC的重心,所以BG=23BO=23×12BD=13BD=13(AD-AB),所以AG=AB+BG=AB+13(AD-AB)=23AB+13AD,又AG=xAB+yAD,所以x=23,y=13,所以x+2y=23+2×13=43.故选A.
(2)如图,过点E作直线EH∥BF交AG于点H,因为BE=38BG,所以FHHG=BEEG=35.设AF=1,因为AF=13AG,所以FG=2,所以FH=2×38=34.因为EH∥BF,所以AOAE=AFAH=11+34=47,所以AO=47AE=47(AB+BE)=47AB+38BG=47AB+314BG.故选C.
变式题 (1)D (2)D [解析] (1)因为CP=3PD,AD=2DB,所以CP=34CD,AD=23AB,所以AP=AC+CP=AC+34CD=AC+34AD-34AC=14AC+34AD=14AC+34×23AB=14AC+12AB,又AP=mAC+nAB(m,n∈R),所以m=14,n=12,所以m+n=34.故选D.
(2)易知△APB∽△CPD,所以ABCD=APPC=PBPD=21=2,即AP=2PC,PB=2PD,则AP=2PC,故A中结论正确;因为四边形ABCD是等腰梯形,所以AP=PB,所以|AP|=2|PD|,故B中结论正确;AP=AD+DP=AD+13DB=AD+13(AB-AD)=23AD+13AB,故C中结论正确;AC=32AP=32×23AD+13AB=AD+12AB,故D中结论错误.故选D.
例2 [思路点拨] (1)代入各点坐标即可求解.(2)以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,求得△ABC内切圆的半径r=2,设BD=mAB+nAC,用坐标表示BD,AB,AC,再利用平面向量基本定理求得m,n的值即可.
(1)B (2)A [解析] (1)因为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),所以12AB+12AC=12[(3,2)+(-5,4)]=12(-2,6)=(-1,3).故选B.
(2)如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.由已知可得|BC|=62+82=10,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,则四边形AEDF为正方形,∴△ABC的内切圆的半径r=6+8-102=2,∴D(2,2),B(6,0),C(0,8).设BD=mAB+nAC(m,n∈R),则(-4,2)=m(6,0)+n(0,8),∴-4=6m,2=8n,解得m=-23,n=14,∴BD=-23AB+14AC.故选A.
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变式题 (1)D (2)B [解析] (1)a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(-3)2=5.故选D.
(2)如图,以B为坐标原点,AB,BC所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,设AB=1,则B(0,0),A(1,0),C(0,1),D(1,1).当点E在BC上时,设E(0,m),m∈[0,1],则(-1,m)=λ(-1,0)+μ(-1,1),即-λ-μ=-1,m=μ,此时λ+μ=1;当点E在CD(不包括端点)上时,设E(t,1),t∈(0,1),则(t-1,1)=λ(-1,0)+μ(-1,1),即-λ-μ=t-1,μ=1,解得λ=-t,μ=1,此时λ+μ=1-t∈(0,1);当点E在AD上时,设E(1,u),u∈[0,1],则(0,u)=λ(-1,0)+μ(-1,1),即-λ-μ=0,μ=u,此时λ+μ=0.综上,λ+μ的取值范围是[0,1].故选B.
例3 [思路点拨] (1)首先求出2a+b的坐标,再根据向量共线的坐标表示得到方程,即可求解.(2)设出点D的坐标,求出AD,BC的坐标,利用向量共线构造方程求解.
(1)A (2)A [解析] (1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴2a+b=(4,2),又c=(m,-1),c∥(2a+b),∴2m+4=0,解得m=-2.故选A.
(2)设D(x,y),则AD=(x,y-2),BC=(4,3),因为BC=2AD,所以4=2x,3=2(y-2),解得x=2,y=72,所以顶点D的坐标为2,72.故选A.
变式题 (1)C (2)3 [解析] (1)∵m=(c-6,a-b),n=(a-b,c+6),且m∥n,∴(a-b)2=(c-6)(c+6),即a2+b2-c2=2ab-6,∴cs C=a2+b2-c22ab=2ab-62ab=12,解得ab=6,∴S△ABC=12absin C=12×6×32=332.故选C.
(2)∵OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),∴AB=OB-OA=(2,2-k),BC=OC-OB=(k+1,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB∥BC,∴k+12=-22-k,又k>0,∴k=3.