03 第31讲　平面向量的数量积 【正文】听课高考数学练习

这是一份03 第31讲　平面向量的数量积 【正文】听课高考数学练习，共8页。试卷主要包含了能用坐标表示平面向量垂直的条件等内容，欢迎下载使用。

1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则
∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
③向量垂直:如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)数量积概念
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= .
规定:零向量与任一向量的数量积为 ,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则
就是向量a在向量b上的投影向量,且OM1=|a|cs θ e(θ为OM与ON的夹角,e为与b方向相同的单位向量).
2.平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
①e·a=a·e= .
②a⊥b⇔ .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a= 或|a|= .
④|a·b| |a||b|.
3.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
常用结论
1.①(a+b)·(a-b)=a2-b2;②(a+b)2=a2+2a·b+b2;③(a-b)2=a2-2a·b+b2.
2.S△ABC=12|AB||AC|sin A=12|AB|2·|AC|2-(AB·AC)2.
3.若AP=λAB|AB|+AC|AC|(λ≠0),则AP所在直线为∠BAC的平分线.
4.已知非零向量a,b.
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0;
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b